5 Eventos Independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrencia de um não afeta a probabiliade de ocorrencia do outro.

No Exemplo 4.3, suponha que as retiradas das bolas sejam feitas com reposição, assim os valores de probabilidades associados aos eventos a cada realização do experimento não seria alterada como segue.

B: bola branca com $P(B)=2/9$;

E: bola preta com $P(E)=3/9$;

V: bola verde com $P(V)=4/9$

Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição da bola selecionada, tem-se:

$P(VV)=P(V \cap V)= P(V)P(V)=\frac{4}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\approx 0,198$

Note que a obtenção da bola verde na primeira retirada não alterou a probabilidade de sair novamente a bola verde na segunda retirada, nesse caso os eventos são independentes.

Definição 5.1 Dois eventos $A$ e $B$ são idependentes se, e somente se,

$$P(A \cap B)= P(A)\cdot P(B).$$

Exemplo.5.1 Suponha que seja observada a produção de itens por uma máquina e que cada item tem a probabilidade $0,05$ de ser defeituoso. Suponha ainda que sejam selecionados ao acaso 4 itens e que defeitos e não defeitos ocorrem de forma independente. Nessas condições, qual a probabilidade de se tenha exatamente 1, 2, 3 e 4 itens defeituosos na amostra de tamanho 4?

Considere,

• D: defeito;

• B: não defeito (Bom).

$N^o$	Eventos	Possibilidades	Probabilidade de cada sequência	Probabiliade
0	BBBB	${4 \choose 0}=1$	$(0,95)(0,95)(0,95)(0,95)$	${4 \choose 0}(0,95)^4$
1	BBBD; BBDB; BDBB; DBBB;	${4 \choose 1}=4$	$(0,95)(0,95)(0,95)(0,05)$	${4 \choose 1}(0,95)^3(0,05)$
2	BBDD; DDBB; BDDB; DBBD; DBDB; BDBD;	${4 \choose 2}=6$	$(0,95)(0,95)(0,05)(0,05)$	${4 \choose 2}(0,95)^2(0,05)^2$
3	DDDB; DDBD; DBDD; BDDD;	${4 \choose 3}=4$	$(0,95)(0,05)(0,05)(0,05)$	${4 \choose 3}(0,95)(0,05)^3$
4	DDDD	${4 \choose 4}=1$	$(0,05)(0,05)(0,05)(0,05)$	${4 \choose 4}(0,05)^4$

Exemplo.5.2 Em um lote com 10 peças das quais 2 são defeituosas, retiram-se ao acaso quatro peças sem reposição, qual é a probabilidade de que duas sejam defeituosas na amostra selecionada?

Possibilidades para o evento “duas defeituosas”: BBDD; DDBB; BDDB; DBBD; DBDB; BDBD. Mas nesse caso não se pode usar o mesmo raciocínio do Exemplo 5.1, pois aqui não existe independência entre os eventos “defeito” e “não defeito”. Assim

$$P(\mbox{duas defeituosas})=\frac{{2 \choose 2}{8 \choose 2}}{{10 \choose 4}}\approx 0,13$$