5 Eventos Independentes

Dois eventos são independentes quando a ocorrencia de um não afeta a probabiliade de ocorrencia do outro.


No Exemplo 4.3, suponha que as retiradas das bolas sejam feitas com reposição, assim os valores de probabilidades associados aos eventos a cada realização do experimento não seria alterada como segue.

B: bola branca com \(P(B)=2/9\);

E: bola preta com \(P(E)=3/9\);

V: bola verde com \(P(V)=4/9\)

Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição da bola selecionada, tem-se:

\(P(VV)=P(V \cap V)= P(V)P(V)=\frac{4}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\approx 0,198\)

Note que a obtenção da bola verde na primeira retirada não alterou a probabilidade de sair novamente a bola verde na segunda retirada, nesse caso os eventos são independentes.


Definição 5.1 Dois eventos \(A\) e \(B\) são idependentes se, e somente se,

\[P(A \cap B)= P(A)\cdot P(B).\]

Exemplo.5.1 Suponha que seja observada a produção de itens por uma máquina e que cada item tem a probabilidade \(0,05\) de ser defeituoso. Suponha ainda que sejam selecionados ao acaso 4 itens e que defeitos e não defeitos ocorrem de forma independente. Nessas condições, qual a probabilidade de se tenha exatamente 1, 2, 3 e 4 itens defeituosos na amostra de tamanho 4?

Considere,

  • D: defeito;

  • B: não defeito (Bom).


\(N^o\) Eventos Possibilidades Probabilidade de cada sequência Probabiliade
0 BBBB \({4 \choose 0}=1\) \((0,95)(0,95)(0,95)(0,95)\) \({4 \choose 0}(0,95)^4\)
1 BBBD; BBDB; BDBB; DBBB; \({4 \choose 1}=4\) \((0,95)(0,95)(0,95)(0,05)\) \({4 \choose 1}(0,95)^3(0,05)\)
2 BBDD; DDBB; BDDB; DBBD; DBDB; BDBD; \({4 \choose 2}=6\) \((0,95)(0,95)(0,05)(0,05)\) \({4 \choose 2}(0,95)^2(0,05)^2\)
3 DDDB; DDBD; DBDD; BDDD; \({4 \choose 3}=4\) \((0,95)(0,05)(0,05)(0,05)\) \({4 \choose 3}(0,95)(0,05)^3\)
4 DDDD \({4 \choose 4}=1\) \((0,05)(0,05)(0,05)(0,05)\) \({4 \choose 4}(0,05)^4\)


Exemplo.5.2 Em um lote com 10 peças das quais 2 são defeituosas, retiram-se ao acaso quatro peças sem reposição, qual é a probabilidade de que duas sejam defeituosas na amostra selecionada?


Possibilidades para o evento “duas defeituosas”: BBDD; DDBB; BDDB; DBBD; DBDB; BDBD. Mas nesse caso não se pode usar o mesmo raciocínio do Exemplo 5.1, pois aqui não existe independência entre os eventos “defeito” e “não defeito”. Assim

\[P(\mbox{duas defeituosas})=\frac{{2 \choose 2}{8 \choose 2}}{{10 \choose 4}}\approx 0,13\]