交换代数与代数几何
前言
打开方式
下面是一些打开方式：
代数几何中关心的拓扑空间只有两种
- 仿射空间 (affine space) \(\bb{A}_k^n\) 或者局部为仿射空间的概形 (scheme);
- 射影空间 (projective space) \(\bb{P}_k^n\) 或者局部为射影空间的概形.
同时, \(k = \overline{k}\) 时, 我们认为 \(\mathbb{A}^n = \Spec k[x_1,\ldots, x_n]\), 因为我们有同胚 \[\begin{align*} \Spec k[x_1,\ldots, x_n]&\cong\bb{A}^n \\ (x_1-a_1, \ldots, x_n-a_n) &\mapsto (a_1,\ldots, a_n) \end{align*}\] 即极大理想打到点, 闭集 \(V(\fk{p})\) 打到闭集 \(Z(\fk{p}).\)
为方便起见, 当我们用表达式 \(\Spec A\) 时, 默认 \(A=\Spec k[x_1,\ldots, x_n]\)
射影空间对应的交换代数对象就有些麻烦了, 废话如下: \[ \bb{P}^n \cong \Proj R. \] 不做展开, 这里写出来只表明有类似的故事, 处理手法相似, 只是需要更多交换代数的结论. 而且需要指出的是, 我们这里指出的框架具有相当的普适性, 不要求域是代数闭的, 也可以不要求环是多项式环, 尽管我们往往默认环是函数环.
注意到上述提到的概形神似流形的定义. 回忆一下微分流形的定义其实包括两部分:
- 局部为同维的欧式空间, 即满足拓扑流形; 且转移映射为光滑函数, 即具有光滑结构.
- 同时这些局部的同构 (局部坐标系) 满足一定的相容性, 即这些同构的定义域相交非空时, 要求它们限制到交集之后得到同一个函数.
如果想把光滑流形的定义平行地类比到概形上, 发现对于第一个条件, 我们已经有粗糙地局部描述, 关键在于光滑性不好类比, 我们需要用代数手段, 而光滑是一个分析性质. 但是注意到仅考虑紧拓扑流形时, \(f\colon X \to Y\) 为连续映射当且仅当拉回映射 \(f^*\) 把 \(C(Y)\) 中的函数打到 \(C(X)\) 中的函数, 即 Gelfand 对偶:
定理 0.1 (Gelfand-Naimark) 函子 \(X \mapsto C(X)\) 给出了下述范畴之间的等价:
\[ \text{紧 Hausdorff 空间} \to {\text{交换含幺 $C^*$-代数}}^{\op} \]对于紧拓扑流形范畴来说就是任意拓扑流形 \(X\) 完全由 \(C(X)\) 决定. 延续这一想法, 我们希望对于光滑流形也是如此, 由于需要光滑结构, 所以自然要把连续函数换成光滑函数, 也就是 \(C^{\infty} (X).\) 再结合流形的局部同构性质, 因此要决定 \(X\) 上的光滑结构, 自然需要知道全部开集上的光滑函数 \(C^{\infty} (U).\)
具体来说, 局部坐标系的光滑性可理解为, 当流形中的开集 \(U\) 同胚与某个欧式空间中的开集 \(B\) 时, \(B\) 上的光滑函数和 \(U\) 上的光滑函数有一一对应, 反过来说, 给定 \(U \to B\), 当任给 \(f \in C^{\infty} (B)\) 时, 若存在唯一的 \(g\) \[\require{AMScd} \def\diaguparrow#1{\smash{\raise.6em\rlap{\ \ \scriptstyle #1} \lower.6em{\cancelto{}{\Space{2em}{1.7em}{0px}}}}} \begin{CD} && B \\ & \diaguparrow{} @VVfV \\ U @>>\exists !> \bb{R} \end{CD}\] 在这个意义下, 我们认为 \(U\) 就是 “继承了光滑性” 的欧式空间, 即 \(U\) 上装载了光环函数, \(C^{\infty}(U),\) 而这是个函数环.
对于第二个条件, 我们需要用到米田引理 (Yoneda Lemma) 的想法.
定理 0.2 (米田引理) 下述函子是完全嵌入 (full embedding) \[\begin{align*} \ms{C} & \to \left[ \ms{C}^{\op}, \Set \right] \\ X & \mapsto h_X = \Hom_{\ms{C}} (-, X). \end{align*}\]
粗糙说就是数学对象可以由映到其内的函数来完全刻画. 当我们取 \(\ms{C} = \mc{T}\) 时, 其中 \(\mc{T}\) 的对象为 \(X\) 的全体开集, 态射为 \[\Hom_{\mc{T}} (U, V) = \begin{cases} \{\iota\} & \text{若} U \subseteq V \\ \varnothing & \text{若} U \not\subseteq V \end{cases},\] 其中 \(\iota\) 为自然包含, 那么根据米田引理, \(U \cong \Hom_{\mc{T}} (-, U) \cong \{ V \in \mc{T}: V \subseteq U\}.\) 也就是说, 任给开集 \(U\), \(U\) 的性质完全由比其更小的开集决定, 而与更大的集合没有太大关系, 那么很自然就只需要考虑限制到子集上具备同样的性质即可. 此时距离光滑流形的第二个条件——相容性——还差一些. 实际上, 相容性是在说局部唯一性, 反过来说, 给定一族开集 \(\{U_\beta\}\) 上的光滑函数 \(f_{\beta} \in C^{\infty} (U_{\beta}),\) 那么便唯一确定了 \(f \in C^{\infty} \left(\bigcup_{\beta} U_{\beta}\right)\) 使得 \(f|_{U_\beta} = f_{\beta}.\)
最后, 注意到不论是 \(C(X)\) 还是 \(C^{\infty} (U)\), 都是函数环, 而且都对应了相应的空间结构. 抽象出来的结论就是, 第一个条件为 (环) 预层条件, 第二个条件为 (环) 层条件1, 前者告诉我们局部的函数环信息全体可以唯一确定我们的几何空间, 而这告诉我们为了能够把局部的信息粘起来, 我们需要一定的唯一性条件, 换句话说, 后者告诉我们怎么把局部的信息粘起来.
两个条件结合起来, 便是我们在第 1 讲中要讲到的赋环空间, 而此处讲到的流形也正是赋环空间. 某种意义上, 代数几何完全是在对流形的理论做类比, 所以当感到困惑时, 可以先看看流形上有哪些构造, 然后尝试建立起微分流形的理论和代数几何的理论之间的联系, 诸如函数芽, 向量丛, 向量场等在代数几何中都有对应.
记号与命名
下面是对一些记号与命名法的解释.
虽然我们默认有 \(\bb{A}^n = \Spec A\) 这种等同, 但这种等同只发生在拓扑空间的范畴中, 之外则还是有区别, 比如 \(\Spec A\) 可以直接使用交换代数中的结论, 而 \(\bb{A}^n\) 则只有拓扑性质. 这种作为拓扑空间的等同, 方便了数学家们起名字, 例如和 \(\Spec A\) 的拓扑有关的性质, 都直接冠以仿射二字, 射影同理.
在 \(\bb{A}^n\) 中的闭集, 我们一般用 \(Z\) 表示, 例如 \(Z(f), Z(f_1,\ldots, f_m)\), 其中 \(Z\) 表示 zero, 零点.
在 \(\Spec A\) 中的闭集, 我们一般用 \(V\) 表示, 例如 \(V(\fk{p}), V(f)\),2 其中 \(V\) 表示 vanishing, 中文一般也翻译为零点, 或者 (函数值) 取零.
在 \(\Spec A\) 中的开集, 我们一般用 \(D\) 表示, 例如 \(D(f) = \Spec A \setminus V(f)\), 其中 \(D\) 表示 doesn’t vanish, (函数值) 不取零.
对于环 \(A\), 其内的元素我们通常用表示函数的字母 \(f\) 来表示, 因为前面提到, 代数几何中出现的环通常都是函数环, 即便根本没有提. 那么根据定义 \(V(\fk{p}):=\{\fk{q}\in \Spec A : \fk{q} \supseteq \fk{p}\}\), 其中 \(\fk{p} \in \Spec A\), 我们有 \[\begin{align*} V(f) & = \{\fk{q}\in \Spec A : \fk{q} \supseteq (f)\} \\ & = \{\fk{q}\in \Spec A : f\in\fk{q} \} \\ & = \{\fk{q}\in \Spec A : f (\fk{q}) = 0\} \end{align*}\] 最后一行很隐晦, 其实就是在说 \(f\colon \Spec A \to k\) 是个函数, 因为我们有等同 \(\Spec A = \bb{A}^n.\)
据传, 当初格罗滕迪克讲授 FGA (Fondements de la géométrie algébrique. Commentaires) 时, 每次讲课时, 都会一上来在黑板上写下竖向的概形映射:
\(\begin{CD} X\\ @VVV \\ Y \end{CD}\)
后来, 学生擦黑板时就特意留下这个映射不擦, 以免格罗滕迪克反复写. 结果有趣的是, 格罗滕迪克讲课时会把这个映射擦掉, 紧接着又重新写一遍.
不论是有意还是无意, 这个写法确实反映了纤维化 (fibration) 的观点: 下方的对象称为基空间 (base space), 上方的对象称为全空间 (total space), 纤维化是指把全空间 \(X\) 看成纤维的不交并 (严格地说需要 \(X\to Y\) 为满射), 从而即 \(X\) 是从 “基地” \(Y\) 中长出来的一族纤维 (fiber, 有的地方也写作 fibre); 当纤维彼此同构, 就好像长得很整齐的灌木丛一般, 所以此时称为纤维丛 (fiber bundle). 这也是为什么经典的纤维积交换图表又被称为基变换 (base change):
\(\begin{CD} @. X\\ @. @VVV \\ Z @>>> Y \end{CD} \quad \leadsto \quad \begin{CD} X\times_{Y} Z@>>> X\\ @VVV @VVV \\ Z @>>> Y \end{CD}\)
可以看到原本以 \(Y\) 为基, 做纤维积后得到一个新的向下箭头, 基变成了 \(Z\), 所以叫基变换, 而且原来的基底 \(X\) 被塞到了纤维积 \(X\times_{Y} Z\) 的乘号下标, 标注是原来的基底.
而原来的两个映射 \(Z\to Y \leftarrow X\), 虽然 \(Z\to Y\) 是横着写的, 但显然只是为了美观, 实际上它也是 \(X\) 的纤维化, 所以纤维积中的两个 “乘积因子” 都是原来的全空间. 换句话说, 任给一个态射, 靶对象 (target object) 都可以看成是基底, 源对象 (source object) 都可以看成是基底的纤维化, 而纤维积就是把共用基空间的两个纤维化变成共用全空间的纤维化, 基空间发生了变化, 所以称作 “基变换”.
纤维3的记号也正好和一个经常出现, 但同时又经常让人搞混的自然变换的记号相吻合. 考虑范畴和自身反范畴的配对 (pairing), 看上去就像 “内积” 一样4 : \[\begin{align*} \ms{C} \times \ms{C}^{\op} &\to \Set \\ (A,B) & \mapsto \Hom_{\ms{C}} (A,B) \end{align*}\]
就像内积空间 \(V\) 中, 如果固定内积的一个变量, 就可以得到一个线性泛函, 例如 \(\langle -,v\rangle \in V^* = \Hom (V,k),\) 即给出了一个线性映射 \(V \mapsto V^*\). 而我们熟知当 \(V\) 有限维, 即 \(\dim_{k} V < \infty\) 时, 这个线性映射是同构; 当无穷维时则不一定是同构, 但总是个嵌入.
上面提到的范畴配对也有类似的结果, 而这也正是定理 0.2 (米田引理) 的想法.
固定第一个变量为 \(X\), 我们有 \(h^{X} = \Hom_{\ms{C}} (X, -)\)
固定第二个变量为 \(X\), 我们有 \(h_{X} = \Hom_{\ms{C}} (-, X)\)
这个记号其实和纤维一样, \(X\) 为靶对象时, 作为基底, 所以记为下标; \(X\) 为源对象时, 作为生长物, 所以记为上标.
此时, \[\begin{align*} h\colon \ms{C} &\to [\ms{C}^{\op}, \Set] \\ X & \mapsto h_X, \end{align*}\] 即把 \(X\) 映到 \(X\) 的纤维化全体, 是个完全内嵌 (full embedding), 由一次印证了纤维化的观点很重要.
“纤维系列” 的记号还有一个, 就是 \(X^{Y}:=\Hom(Y,X)\), 下面举几个经典的例子:
- 代数拓扑中, J. P. May 的(May 2020) 第 41 页引入函数空间 \(\Map(X,Y)=Y^{X}\), 并且建议把同伦 \(X\times I \to Y\) 看作映射 \(X\to Y^{I}\), 接着在下一章用这一新的记号来说明同伦延拓的性质 (HET, Homotopy Extension Property).
- 多元微积分和线性代数中, \(\bb{R}^{n}=\Map (\{1,\ldots,n\}, \bb{R})\)
- 遍历论中, 最简单的无穷乘积测度空间——伯努利概形 (Bernoulli scheme) \[\left(\{0,1\}^{\bb{N}}, \mu _{1/2, 1/2}^{\bb{N}}\right)\]
一点说明
此笔记整理估计会参考这几本名著: (Hartshorne 2013) (Mumford 1999) (Eisenbud 2013), 以及郑老师在中科院的讲义 (郑维喆 2020a).
不过最主要的框架应该会是一个被称作 “代数几何 50 讲” 的讲义. 该讲义出自印度的数学家 C.S. Seshadri 之手. 从以下三个方面来说, 该讲义具有很高的价值:
当年格罗滕迪克在办 EGA 的讨论班时, Seshadri 正在法国做博后, 所以是为数不多的参与者.
Seshadri 参与了 EGA 的部分记录.
Seshadri 在印度讲授 50 讲大概有二三十年的历史, 每年讲授完一遍他都会再完善一遍.
可惜这位老先生在 2020 年因为染上新冠去世, 该讲义也只有手稿而没有电子版, 所以目前还在校稿当中, 没有出版.
我知道这些事情是因为, 我有一位印度同学, 正好之前是 Seshadri 的学生, 而且他就是参与校稿的人之一, 此外我们两个还一起研读过一段时间该讲义.
另外, 根据我与该同学的交流学习经验来看, 代数几何的难度虽然名声在外, 但这种难度很大程度上源于对其背后丰富的几何语言缺乏认识, 至少格罗滕迪克在当初举办EGA 和 SGA 讨论班时的讲课风格并不是如此抽象的, 而且据说格罗滕迪克本人面对许多交换代数的结论时, 态度也是只想承认相关结论而不想深入细节.
总之代数几何有着丰富的几何背景, 而且原始动机并不很复杂, 本笔记的目的就是尽可能记录一些书上不太写的几何直观与原始动机, 同时也尽可能打下比较坚实的交换代数基础.
最后, 尽管初衷是博采众长, 但实际结果可能事与愿违. 所以在此特别声明, 不保证笔记内容的正确性, 若发现错误欢迎留言联系, 以及读者需要自行承担风险. :)
此外, 本笔记是抽空随手写的, 很有可能会出现大段大段推倒重写的情况, 如果造成困惑, 也欢迎点击侧边栏目录下方的返回笔记列表, 在最下方的评论区进行留言.