第 3 讲附录: 交换代数集锦

下面内容出自 (郑维喆 2020b)

3.1 唯一分解整环

定理 3.1 (算术基本定理) 任意非零整数 $n \in \bb{Z}$ 有唯一的素因子分解 $n=\pm p_1 \cdots p_m$ (不考虑顺序的意义下唯一)

定义 3.1 (不可约元) 令 $R$ 为整环.

对于 $x \in R$, 若 $x $, $x \not\in R^{\times}$ 而且 $x =yz$ 蕴含着 $y \in R^\times$ 或 $z \in R^\times$, 则称 $x$ 为 不可约元.
对于 $x, y \in R$, 若存在 $u \in R^\times$ 使得 $x = uy,$ 则称 $x,y$ 为 伴随的.
若 $R$ 中任意非零非单位的元素 $x \in R$ 都可唯一分解为不可约元素的乘积 \[x = a_1 \cdots a_m,\] 即 $a_i$ 都为不可约元, 而且如果 $x$ 还有另一种不可约分解 $x = b_1 \cdots b_n,$ 则有 $m =n$ 以及双射 $\sigma\colon \{1,\ldots,n\} \to \{1,\ldots,n\}$ 使得 $b_i = a_{\sigma(i)}$, 则称 $R$ 为 唯一分解整环

定义 3.2 (素元) 对于 $R$ 中的元素 $x$, 若 $x R$ 为素理想, 则称 $x$ 为素元.

———. 2020b. Lectures on Algebraic Geometry. 晨兴数学中心. https://server.mcm.ac.cn/~zheng/commalg.pdf.