下面内容出自 (郑维喆 2020b)
定理 3.1 (算术基本定理) 任意非零整数 n∈\bbZn∈\bbZ 有唯一的素因子分解 n=±p1⋯pmn=±p1⋯pm (不考虑顺序的意义下唯一)
定义 3.1 (不可约元) 令 RR 为整环.
对于 x∈Rx∈R, 若 xx, x∉R×x∉R× 而且 x=yzx=yz 蕴含着 y∈R×y∈R× 或 z∈R×z∈R×, 则称 xx 为 不可约元.
对于 x,y∈Rx,y∈R, 若存在 u∈R×u∈R× 使得 x=uy,x=uy, 则称 x,yx,y 为 伴随的.
若 RR 中任意非零非单位的元素 x∈Rx∈R 都可唯一分解为不可约元素的乘积 x=a1⋯am,x=a1⋯am, 即 aiai 都为不可约元, 而且如果 xx 还有另一种不可约分解 x=b1⋯bn,x=b1⋯bn, 则有 m=nm=n 以及双射 σ:{1,…,n}→{1,…,n}σ:{1,…,n}→{1,…,n} 使得 bi=aσ(i)bi=aσ(i), 则称 RR 为 唯一分解整环
定义 3.2 (素元) 对于 RR 中的元素 xx, 若 xRxR 为素理想, 则称 xx 为素元.