第 3 讲 附录: 交换代数集锦

下面内容出自 (郑维喆 2020b)

3.1 唯一分解整环

定理 3.1 (算术基本定理)
任意非零整数 $n\in \text{bb}Z$ 有唯一的素因子分解 $n=\pm p_1\cdots p_m$ (不考虑顺序的意义下唯一)

定义 3.1 (不可约元) 令 $R$ 为整环.

1. 对于 $x\in R$, 若 $x$, $x\notin R^{\times }$ 而且 $x=yz$ 蕴含着 $y\in R^{\times }$ 或 $z\in R^{\times }$, 则称 $x$ 为 不可约元.

2. 对于 $x,y\in R$, 若存在 $u\in R^{\times }$ 使得 $x=uy,$ 则称 $x,y$ 为 伴随的.

3. 若 $R$ 中任意非零非单位的元素 $x\in R$ 都可唯一分解为不可约元素的乘积 $$x=a_1\cdots a_m,$$ 即 $a_i$ 都为不可约元, 而且如果 $x$ 还有另一种不可约分解 $x=b_1\cdots b_n,$ 则有 $m=n$ 以及双射 $\sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}$ 使得 $b_i=a_{\sigma (i)}$, 则称 $R$ 为 唯一分解整环

定义 3.2 (素元) 对于 $R$ 中的元素 $x$, 若 $xR$ 为素理想, 则称 $x$ 为素元.

3.2 准素分解

3.3 离散赋值环和戴德金整环

3.4 完备化

3.5 维数理论

参考文献

———. 2020b. Lectures on Algebraic Geometry. 晨兴数学中心. https://server.mcm.ac.cn/~zheng/commalg.pdf.