第 2 讲 几何空间

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给定 ${ X = \Spec A }$. 下面约定一些记号.

• 对于 ${ f \in A }$, ${ S_f: = \left\{1, f, f^2, \ldots \right\} }$

• 对于 ${ A }$ 中的乘法封闭集 ${ S_I },$ ${ S_I' }$ 指 ${ S_I }$ 的包合集, 即往 ${ S }$ 中添进其内元素的所有因子.

由此, 任取 ${ f,g \in A }$, 我们有 $$\begin{align*} g \in S_f' & \iff S_g' \subseteq S_f' \\ & \iff f \in \sqrt{(g)} \\ & \iff \sqrt{(f)} \subseteq \sqrt{(g)} \\ & \iff D(f) \subseteq D(g) \end{align*}$$

给定 ${ A }$-模 ${ M }$. 则 ${ M }$ 自然地定义了 ${ X }$ 上的 ${ A }$-模预层如下:

• 对每个开集指定一个 ${ A }$-模: ${ D(f) \mapsto M_f }$

• 有限制映射: 给定 ${ D(f) \subseteq D(g) \subseteq D(h) }$, 有 ${ S_h' \subseteq S_g' \subseteq S_f' }$, 从而有自然的模同态 $$\begin{align*} M_{h} \to M_g \to M_f \end{align*}$$

记层化后得到的模层为 ${ \widetilde{M} }$.

若取 ${ M =A, }$ 同样的做法我们得到一个环层, 记为 ${ \mathcal{O}_X }.$ 于是对任意 ${ A }$-模, ${ \widetilde{ M } }$ 便是 ${ \mathcal{O}_X }$-模层.

下面证明 ${ (X,\mathcal{O}_X) }$ 为几何空间, 为此只需证明对任意 ${ x \in X, }$ 其茎 ${ \mathcal{O}_{X,x} }$ 为局部环.

任取 ${ f \in A }$ 与 ${ x \in A }$, 有 ${ x \in D(f) \iff f \not\in j_x. }$ 于是 $$\begin{align*} \mathcal{O}_{X,x} & = \lim_{\begin{subarray}{c} \longrightarrow \\ D(f) \ni x \end{subarray}} A_f \\ & = \lim_{\begin{subarray}{c} \longrightarrow \\ f \not\in j_x \end{subarray}} S_f ^{-1} A \\ & = S ^{-1} A \tag{其中 ${ S=\bigcup_{f \in j_x} S_f' }$ } \\ & = A_{j_x} \end{align*}$$

确为局部环.

(A. Grothendieck 1967) 对上述极限的证明说得更为详细. 当 ${ f }$ 遍历 ${ A \setminus j_x }$ 中的元素时, 由于对于 ${ f, g \in A \setminus j_x },$ 有 ${ S_f', S_g' \subseteq S_{fg}' },$ 从而集族 ${ S_f' }$ 构成了 ${ A \setminus j_x }$ 的一个递增的滤子; 而 ${ \bigcup_{f \in A \setminus j_x} S_f' = A \setminus j_x }$

ToDo

给定环同态 ${ \varphi \colon A' \to A. }$ 下面证明 ${ \varphi }$ 诱导出几何空间 ${ (X,\mathcal{O}_X) }$ 和 ${ (X', \mathcal{O}_{X'}) }$ 之间的态射, 其中 ${ X = \Spec A }$ 以及 ${ X' = \Spec A' }.$

1. 首先我们知道 ${ \varphi }$ 诱导出 ${ a_{\varphi }\colon X \to X', }$ 且 ${ x \mapsto x' = \varphi ^{-1} (j_x) }$. 任给 ${ X' }$ 中的闭集 ${ V(E'), }$ 其中 ${ E' \subseteq A'. }$ 令 ${ E = \varphi (E') }$, 注意到 ${ V(E) = a_{\varphi} ^{-1} \left(V(E') \right) }$ 为 ${ X }$ 中的闭集, 则 ${ a_\varphi }$ 连续.

2. 进一步地, 任取 ${ f' \in A' }$, 有 $$\begin{align*} a_{\varphi } ^{-1} D(f') & = a_{\varphi } ^{-1} \left(V(f') \right)^c \\ & = \left( a_{\varphi } ^{-1} V(f') \right)^c \\ & = V \left( \varphi (f') \right)^c \end{align*}$$

   从而 ${ a_{\varphi } ^{-1} \left(D (f') \right) = D \left(\varphi (f') \right) }.$

   由此 ${ \varphi }$ 诱导出了同态 $$\begin{align*} \theta _f \colon A_{f'} \to A_f, \end{align*}$$ 其中 ${ f' \in A', f = \varphi (f') }$

3. 注意 ${ \mathcal{O}_X \left(D(f') \right) \to \mathcal{O}_X (D(f)) }$ 和限制映射交换. 从而 ${ (a_{\varphi }, \theta ) }$ 为 ${ (X,\mathcal{O}_X) \to (X',\mathcal{O}_{X'}) }$ 的态射, 其中对 ${ x \in X }$ 有 ${ x' = a_{\varphi } (x) = \varphi ^{-1} (j_x) },$ 且 ${ \theta _x \colon \mathcal{O}_{X',x'} \to \mathcal{O}_{X,x} }$ 为诱导出的同态, 其中 ${ \mathcal{O}_{X',x'} = A_{j_{x'}} ' }$ 以及 ${ \mathcal{O}_{X,x} = A_{j_x} }$, 于是有交换图表

   $\begin{CD} A'@>\varphi>> A \\ @VVV @VVV \\ A'_{j_{x'}}@>\theta_x>> A_{j_x} \end{CD}$

   从而 ${ \theta _x }$ 为局部同态. 因此 ${ (a_{\varphi }, \theta) } \colon (X,\mathcal{O}_X) \to (',\mathcal{O}_{X'})$ 为几何空间之间的态射.

定理 2.1
映射 ${ A \mapsto \left(\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A} \right) }$ 是个从环范畴到几何空间范畴的逆变函子.

命题 2.1
给定环同态 ${ \varphi \colon A' \to A }$ 以及诱导出的连续映射 ${ a_{\varphi } \colon X \to X' .}$ 则对任意 ${ E \subseteq A }$, 有 $$\begin{align*} \overline{a_{\varphi } \left(V(E) \right)} = V \left(\varphi ^{-1} (E) \right) \end{align*}$$

证明. 已知对任意 ${ E \subseteq A }$ 有 ${ V(E) = V \left(\sqrt{(E)} \right) }$. 进一步地, 对 ${ A }$ 中的任意理想 ${ \mathfrak{a} }$ 我们有 $$\begin{align*} \varphi ^{-1} \left(\sqrt{a} \right) = \sqrt{\varphi ^{-1} \left(\mathfrak{a} \right)} \end{align*}$$

于是我们不妨假设 ${ E }$ 为根式理想 ${ \mathfrak{a} }$.

令 ${ Y = V(\mathfrak{a}) }$ 以及 ${ \mathfrak{a}' = j \left(a_{\varphi } (Y) \right) }$. 我们有 $$\begin{align*} V \left(\mathfrak{a} \right) & = V \left(j (a_{\varphi } (Y)) \right) \\ & = \overline{a_{\varphi } (Y)} \\ & = \overline{a_{\varphi } (V(\mathfrak{a}))}. \end{align*}$$

由假设可知 ${ \mathfrak{a} = \sqrt{\mathfrak{a}} = \bigcap_{\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{a}} \mathfrak{p}, }$ 于是只需要证明 ${ \mathfrak{a}' = \varphi ^{-1} \left(\mathfrak{a} \right) }$

注意到 $$\begin{align*} f' \in \varphi ^{-1} \left(\mathfrak{a} \right) & \iff \varphi \left(f' \right) \in \mathfrak{a} \\ & \iff \varphi \left(f' \right) \in j_x, ~ \forall \, x \in Y = V (\mathfrak{a}) \\ & \iff f ' \in \varphi ^{-1} (j_x), ~\forall \, x \in Y \\ & \iff f' \in j_{x'}, ~ \forall \, x' = a_{\varphi } (x), x \in Y \\ & \iff f' \in \bigcap_{x'} j_{x'} \\ & \iff f' \in j \left( a_{\varphi } (Y) \right) \\ & \implies \varphi ^{-1} (\mathfrak{a}) = j \left(a_{\varphi } (Y) \right) = \mathfrak{a}' \end{align*}$$

推论 2.1
若 ${ a_{\varphi} (X) }$ 在 ${ X' }$ 中稠密, 则 ${ \myker \varphi \subseteq \sqrt{A'} }$

typo 太多, 找个时间检查一下

命题 2.2
给定环同态 ${ \varphi \colon A' \to A }$ 使得对任意 ${ f \in A, }$ 存在 ${ A }$ 中的单位 ${ h A }$ 以及 ${ g' \in A' }$ 使得 ${ f = h \varphi (g') }$. 则 ${ a_{\varphi } \colon X \to X' }$ 为嵌入.

推论 2.2

1. 给定环同态 ${ \varphi \colon A' \to A }$. 若 ${ \varphi }$ 为满射, 则 ${ a_{\varphi } (X) = V (\myker \varphi ) }$

2. 令 ${ \varphi \colon A' \to S ^{-1} A' }$ 为自然映射, 其中 ${ S }$ 为 ${ A' }$ 的一个乘法封闭子集. 则 ${ \varphi }$ 几乎是满射, 因此 ${ \Spec S ^{-1} A' }$ 同胚于 ${ V (\myker \varphi ) = \left\{ x \in \Spec A : j_x \cap S = \varnothing \right\} }$

3. 若 ${ S = S_f }$, 则 ${ D(f) = \Spec A_f }$, 因为 ${ D(f) = \left\{ x \in X : j_x \cap S_f = \varnothing \right\} }$.

注. 给定 ${ X = \Spec A }$. 对任意 ${ A }$-模 ${ M }$, 记 ${ \widetilde{ M } }$ 为相应的 ${ \mathcal{O}_X }$-模层. 则 函子 ${ M \to \widetilde{ M } }$ 正合, 即 $$M_1 \to M \to M_2 \text{正合} \implies \widetilde{ M }_1 \to \widetilde{ M } \to \widetilde{ M }_2 \text{正合}$$ 原因在于局部化函子是正合的.

记号.

给定拓扑空间 ${ X }$ 上的预层 ${ \mathcal{F}. }$

• 记相应的层为 ${ \overline{\mathcal{F}} }$.
• 记 全局截面 ${ \overline{\mathcal{F}} (X) }$ 为 ${ \Gamma (X, \mathcal{F}) }$

定理 2.2
给定 ${ S = \Spec A }$ 以及 ${ A }$-模 ${ M }$. 令 ${ \widetilde{ M } }$ 为相应的 ${ \mathcal{O}_{X} }$-模层. 则自然映射 ${ \theta \colon M \to \Gamma \left(X, \widetilde{ M } \right) }$ 为同构. 特别地, ${ A \cong \Gamma (X,\mathcal{O}_X) }$

证明.

1. ${ \theta }$ 为单射.

   取 ${ m \in \myker \theta . }$ 注意到连续截面 ${ m \colon }$

推论 2.3
逆变函子 ${ A \mapsto \left(\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A} \right) }$ 是满忠实的, 即 $$\begin{align*} \Hom (A',A) \xrightarrow{\cong} \Mor \left((X,\mathcal{O}_X), (X', \mathcal{O}_{X'}) \right) \end{align*}$$

参考文献

A. Grothendieck, J. Dieudonné. 1967. Éléments de Géométrie Algébrique (English Translation). Publications mathématiques de l’I.H.É.S. https://fppf.site/ega/book-auto.pdf.