第 2 讲 几何空间

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给定 \({ X = \Spec A }\). 下面约定一些记号.

• 对于 \({ f \in A }\), \({ S_f: = \left\{1, f, f^2, \ldots \right\} }\)

• 对于 \({ A }\) 中的乘法封闭集 \({ S_I },\) \({ S_I' }\) 指 \({ S_I }\) 的包合集, 即往 \({ S }\) 中添进其内元素的所有因子.

由此, 任取 \({ f,g \in A }\), 我们有 \[\begin{align*} g \in S_f' & \iff S_g' \subseteq S_f' \\ & \iff f \in \sqrt{(g)} \\ & \iff \sqrt{(f)} \subseteq \sqrt{(g)} \\ & \iff D(f) \subseteq D(g) \end{align*}\]

给定 \({ A }\)-模 \({ M }\). 则 \({ M }\) 自然地定义了 \({ X }\) 上的 \({ A }\)-模预层如下:

• 对每个开集指定一个 \({ A }\)-模: \({ D(f) \mapsto M_f }\)

• 有限制映射: 给定 \({ D(f) \subseteq D(g) \subseteq D(h) }\), 有 \({ S_h' \subseteq S_g' \subseteq S_f' }\), 从而有自然的模同态 \[\begin{align*} M_{h} \to M_g \to M_f \end{align*}\]

记层化后得到的模层为 \({ \widetilde{M} }\).

若取 \({ M =A, }\) 同样的做法我们得到一个环层, 记为 \({ \mathcal{O}_X }.\) 于是对任意 \({ A }\)-模, \({ \widetilde{ M } }\) 便是 \({ \mathcal{O}_X }\)-模层.

下面证明 \({ (X,\mathcal{O}_X) }\) 为几何空间, 为此只需证明对任意 \({ x \in X, }\) 其茎 \({ \mathcal{O}_{X,x} }\) 为局部环.

任取 \({ f \in A }\) 与 \({ x \in A }\), 有 \({ x \in D(f) \iff f \not\in j_x. }\) 于是 \[\begin{align*} \mathcal{O}_{X,x} & = \lim_{\begin{subarray}{c} \longrightarrow \\ D(f) \ni x \end{subarray}} A_f \\ & = \lim_{\begin{subarray}{c} \longrightarrow \\ f \not\in j_x \end{subarray}} S_f ^{-1} A \\ & = S ^{-1} A \tag{其中 ${ S=\bigcup_{f \in j_x} S_f' }$ } \\ & = A_{j_x} \end{align*}\]

确为局部环.

(A. Grothendieck 1967) 对上述极限的证明说得更为详细. 当 \({ f }\) 遍历 \({ A \setminus j_x }\) 中的元素时, 由于对于 \({ f, g \in A \setminus j_x },\) 有 \({ S_f', S_g' \subseteq S_{fg}' },\) 从而集族 \({ S_f' }\) 构成了 \({ A \setminus j_x }\) 的一个递增的滤子; 而 \({ \bigcup_{f \in A \setminus j_x} S_f' = A \setminus j_x }\)

ToDo

给定环同态 \({ \varphi \colon A' \to A. }\) 下面证明 \({ \varphi }\) 诱导出几何空间 \({ (X,\mathcal{O}_X) }\) 和 \({ (X', \mathcal{O}_{X'}) }\) 之间的态射, 其中 \({ X = \Spec A }\) 以及 \({ X' = \Spec A' }.\)

1. 首先我们知道 \({ \varphi }\) 诱导出 \({ a_{\varphi }\colon X \to X', }\) 且 \({ x \mapsto x' = \varphi ^{-1} (j_x) }\). 任给 \({ X' }\) 中的闭集 \({ V(E'), }\) 其中 \({ E' \subseteq A'. }\) 令 \({ E = \varphi (E') }\), 注意到 \({ V(E) = a_{\varphi} ^{-1} \left(V(E') \right) }\) 为 \({ X }\) 中的闭集, 则 \({ a_\varphi }\) 连续.

2. 进一步地, 任取 \({ f' \in A' }\), 有 \[\begin{align*} a_{\varphi } ^{-1} D(f') & = a_{\varphi } ^{-1} \left(V(f') \right)^c \\ & = \left( a_{\varphi } ^{-1} V(f') \right)^c \\ & = V \left( \varphi (f') \right)^c \end{align*}\]

   从而 \({ a_{\varphi } ^{-1} \left(D (f') \right) = D \left(\varphi (f') \right) }.\)

   由此 \({ \varphi }\) 诱导出了同态 \[\begin{align*} \theta _f \colon A_{f'} \to A_f, \end{align*}\] 其中 \({ f' \in A', f = \varphi (f') }\)

3. 注意 \({ \mathcal{O}_X \left(D(f') \right) \to \mathcal{O}_X (D(f)) }\) 和限制映射交换. 从而 \({ (a_{\varphi }, \theta ) }\) 为 \({ (X,\mathcal{O}_X) \to (X',\mathcal{O}_{X'}) }\) 的态射, 其中对 \({ x \in X }\) 有 \({ x' = a_{\varphi } (x) = \varphi ^{-1} (j_x) },\) 且 \({ \theta _x \colon \mathcal{O}_{X',x'} \to \mathcal{O}_{X,x} }\) 为诱导出的同态, 其中 \({ \mathcal{O}_{X',x'} = A_{j_{x'}} ' }\) 以及 \({ \mathcal{O}_{X,x} = A_{j_x} }\), 于是有交换图表

   \(\begin{CD} A'@>\varphi>> A \\ @VVV @VVV \\ A'_{j_{x'}}@>\theta_x>> A_{j_x} \end{CD}\)

   从而 \({ \theta _x }\) 为局部同态. 因此 \({ (a_{\varphi }, \theta) } \colon (X,\mathcal{O}_X) \to (',\mathcal{O}_{X'})\) 为几何空间之间的态射.

定理 2.1 映射 \({ A \mapsto \left(\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A} \right) }\) 是个从环范畴到几何空间范畴的逆变函子.

命题 2.1 给定环同态 \({ \varphi \colon A' \to A }\) 以及诱导出的连续映射 \({ a_{\varphi } \colon X \to X' .}\) 则对任意 \({ E \subseteq A }\), 有 \[\begin{align*} \overline{a_{\varphi } \left(V(E) \right)} = V \left(\varphi ^{-1} (E) \right) \end{align*}\]

证明. 已知对任意 \({ E \subseteq A }\) 有 \({ V(E) = V \left(\sqrt{(E)} \right) }\). 进一步地, 对 \({ A }\) 中的任意理想 \({ \mathfrak{a} }\) 我们有 \[\begin{align*} \varphi ^{-1} \left(\sqrt{a} \right) = \sqrt{\varphi ^{-1} \left(\mathfrak{a} \right)} \end{align*}\]

于是我们不妨假设 \({ E }\) 为根式理想 \({ \mathfrak{a} }\).

令 \({ Y = V(\mathfrak{a}) }\) 以及 \({ \mathfrak{a}' = j \left(a_{\varphi } (Y) \right) }\). 我们有 \[\begin{align*} V \left(\mathfrak{a} \right) & = V \left(j (a_{\varphi } (Y)) \right) \\ & = \overline{a_{\varphi } (Y)} \\ & = \overline{a_{\varphi } (V(\mathfrak{a}))}. \end{align*}\]

由假设可知 \({ \mathfrak{a} = \sqrt{\mathfrak{a}} = \bigcap_{\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{a}} \mathfrak{p}, }\) 于是只需要证明 \({ \mathfrak{a}' = \varphi ^{-1} \left(\mathfrak{a} \right) }\)

注意到 \[\begin{align*} f' \in \varphi ^{-1} \left(\mathfrak{a} \right) & \iff \varphi \left(f' \right) \in \mathfrak{a} \\ & \iff \varphi \left(f' \right) \in j_x, ~ \forall \, x \in Y = V (\mathfrak{a}) \\ & \iff f ' \in \varphi ^{-1} (j_x), ~\forall \, x \in Y \\ & \iff f' \in j_{x'}, ~ \forall \, x' = a_{\varphi } (x), x \in Y \\ & \iff f' \in \bigcap_{x'} j_{x'} \\ & \iff f' \in j \left( a_{\varphi } (Y) \right) \\ & \implies \varphi ^{-1} (\mathfrak{a}) = j \left(a_{\varphi } (Y) \right) = \mathfrak{a}' \end{align*}\]

推论 2.1 若 \({ a_{\varphi} (X) }\) 在 \({ X' }\) 中稠密, 则 \({ \myker \varphi \subseteq \sqrt{A'} }\)

typo 太多, 找个时间检查一下

命题 2.2 给定环同态 \({ \varphi \colon A' \to A }\) 使得对任意 \({ f \in A, }\) 存在 \({ A }\) 中的单位 ${ h A } $ 以及 \({ g' \in A' }\) 使得 \({ f = h \varphi (g') }\). 则 \({ a_{\varphi } \colon X \to X' }\) 为嵌入.

推论 2.2

1. 给定环同态 \({ \varphi \colon A' \to A }\). 若 \({ \varphi }\) 为满射, 则 \({ a_{\varphi } (X) = V (\myker \varphi ) }\)

2. 令 \({ \varphi \colon A' \to S ^{-1} A' }\) 为自然映射, 其中 \({ S }\) 为 \({ A' }\) 的一个乘法封闭子集. 则 \({ \varphi }\) 几乎是满射, 因此 \({ \Spec S ^{-1} A' }\) 同胚于 \({ V (\myker \varphi ) = \left\{ x \in \Spec A : j_x \cap S = \varnothing \right\} }\)

3. 若 \({ S = S_f }\), 则 \({ D(f) = \Spec A_f }\), 因为 \({ D(f) = \left\{ x \in X : j_x \cap S_f = \varnothing \right\} }\).

注. 给定 \({ X = \Spec A }\). 对任意 \({ A }\)-模 \({ M }\), 记 \({ \widetilde{ M } }\) 为相应的 \({ \mathcal{O}_X }\)-模层. 则 函子 \({ M \to \widetilde{ M } }\) 正合, 即 \[ M_1 \to M \to M_2 \text{正合} \implies \widetilde{ M }_1 \to \widetilde{ M } \to \widetilde{ M }_2 \text{正合} \] 原因在于局部化函子是正合的.

记号.

给定拓扑空间 \({ X }\) 上的预层 \({ \mathcal{F}. }\)

• 记相应的层为 \({ \overline{\mathcal{F}} }\).
• 记 全局截面 \({ \overline{\mathcal{F}} (X) }\) 为 \({ \Gamma (X, \mathcal{F}) }\)

定理 2.2 给定 \({ S = \Spec A }\) 以及 \({ A }\)-模 \({ M }\). 令 \({ \widetilde{ M } }\) 为相应的 \({ \mathcal{O}_{X} }\)-模层. 则自然映射 \({ \theta \colon M \to \Gamma \left(X, \widetilde{ M } \right) }\) 为同构. 特别地, \({ A \cong \Gamma (X,\mathcal{O}_X) }\)

证明.

1. \({ \theta }\) 为单射.

   取 \({ m \in \myker \theta . }\) 注意到连续截面 \({ m \colon }\)

推论 2.3 逆变函子 \({ A \mapsto \left(\Spec A, \mathcal{O}_{\Spec A} \right) }\) 是满忠实的, 即 \[\begin{align*} \Hom (A',A) \xrightarrow{\cong} \Mor \left((X,\mathcal{O}_X), (X', \mathcal{O}_{X'}) \right) \end{align*}\]

参考文献

A. Grothendieck, J. Dieudonné. 1967. Éléments de Géométrie Algébrique (English Translation). Publications mathématiques de l’I.H.É.S. https://fppf.site/ega/book-auto.pdf.