第 1 讲 赋环空间

1.1 赋环空间与层化

定义 1.1 (赋环空间) 赋环空间是指二元组 $(X,\mathcal{A})$, 其中 $X$ 为拓扑空间, $\mathcal{A}$ 为对 $X$ 中开集赋环的环层⁵ (sheaf of rings), 即满足下述条件:

1. $\mathcal{A}$ 是取值为环的预层 (presheaf), 即对 $X$ 中任意开集 $U,$ $\mc{A}(U)$ 为交换环, 而且 $X$ 中每一对开集 $U \subseteq V$, 有环同态 $$\rho_{U}^{V}\colon \mc{A}(V) \to \mc{A}(U)$$ 使得
   (i). 对 $X$ 中任意开集 $U$ 有
   $$\rho_{U}^{U} = \id_{A(U)};$$ (ii). 对 $X$ 中任意开集 $U \subseteq V \subseteq W$ 有 $$\rho _{U}^{W} = \rho_{U}^{V} \circ \rho_{V}^{W}.$$

2. $\mc{A}$ 满足层公理 (sheaf axiom): 对 $X$ 中任意开集 $U$ 以及 $U$ 的任意开覆盖 $U = \bigcup_{i\in I} U_i$, 我们有

   (i). 若 $s_1, s_2 \in \mc{A}(U)$ 满足 $$s_1|_{U_i} = s_2|_{U_i}, \quad \ \forall \, i \in I,$$ 则有 $s_1 = s_2;$

   (ii). 给定 $\{s_i\}_{i\in I}$, 其中 $s_i \in \mc{A}(U_i),$ 若 $$s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}, \quad \forall \, i,j \in I,$$ 则存在 $s \in \mc{A}(U)$ 使得 $$s|_{V_i} = s_i, \quad \forall \, i \in I.$$

小结一下.

1. 技术上, 预层条件是在说我们有个从拓扑空间的开集范畴 $\mc{T}$ 到环范畴 $\Ring$ 的逆变函子 ( covariant functor): $$\mc{A} \colon \mc{T}^{\op} \to \Ring$$ 其中 $\mc{C}$ 的对象集为给定拓扑空间 $X$ 中的开集全体, 态射由包含关系给出: $$\Hom(U,V)=\begin{cases} \{\iota\} & \text{若 $ U \subseteq V $,}\\ \varnothing & \text{若 $ U \not\subseteq V $.} \end{cases}$$ 其中 $\iota \colon U \hookrightarrow V$ 为自然的包含映射. 在代数几何中, 我们的环通常都 “默认” 为多项式环或者多项式的商环, 所以在这种默认的背景下, 环中的元素都是函数, 故 $s|_{U_i}$ 指的就是函数 $s$ 限制到 $U$ 上, 因此 $\rho_{U}^{V}$ 也被称为从 $V$ 到 $U$ 的限制 (restriction). 因此我们要求 $\mc{A}$ 是反变函子也很合理, 因为对函数而言, 面对一对有包含关系的集合 $U \subseteq V,$ 最 “自然” 的做法就是从大集合上的函数取限制到小集合上, 而不是反过来.

   所以直观上来说, 预层条件就是告诉我们可以对 $U$ 上的函数环 $\mc{A}(U)$ 自然地⁶讨论限制, 即关注的是函数的 “局部” 性质: 总可以限制到任意小的开集上.

2. 层公理则更进一步, 告诉我们局部的东西只要相容, 那么永远可以以唯一的方式粘起来, 即当我们给出一族开集上的局部函数时, 存在唯一一个合适的定义在这些开集之并上的函数, 此处合适便是指限制到每个小开集上得到的正好是那些局部函数.

简单说, 预层条件告诉我们可以 “局部化”, 层公理告诉我们预层做的 “局部化” 是合理的, 因为可以完美地粘起来.

这乍一看真的很像流形的定义, 流形也是局部都有坐标函数 (coordinate function, 或者叫 chart), 而且 这些坐标函数也都相容, 即只要两个坐标函数的定义域有相交的部分, 那么两个坐标函数限制到交集上是一样的.

注意到赋环空间就是对拓扑空间的每个开集赋予一个合适的 (函数) 环, 那么我们自然有一种讨论环上的模的冲动.

定义 1.2 (赋环空间上的模) 给定赋环空间 $(X,\mc{A})$, 其上的模层 (sheaf of modules) 是指 $X$ 上的阿贝尔群层 $\mc{M}$ 使得

1. 对 $X$ 中的任意开集 $U,$ $\mc{M}(U)$ 都是 $\mc{A}(U)$-模.

2. 任给 $X$ 中一对开集 $U \subseteq V,$ 限制$\mc{M}(V) \to \mc{M}(U)$ 都是与环层的限制映射 (是环同态) $$\mc{A}(V) \to \mc{A}(U)$$ 相容的阿贝尔群的群同态 $$\mc{M}(V) \to \mc{M}(U),$$ 其中相容是指下述的图表交换

$\require{AMScd}$ $\begin{CD} \mc{A}(U) \times \mc{M}(U)@>\rho \times \rho>>\mc{A}(V)\times \mc{M}(V)\\ @VVV @VVV\\ \mc{M}(U)@>>\rho> \mc{M}(V) \end{CD}$

即环层的函子与阿贝尔群层的函子友好互动, 保持模结构.

定义 1.3 (环 (预) 层的同态)

给定拓扑空间 $(X,\mc{T})$ 及其上的两个环预层 $\mc{E}, \mc{F}$. 环预层 $\mc{E}, \mc{F}$ 之间的同态 $\theta$ 是指一族与限制映射可交换的环同态 $$\{\theta(U)\colon \mc{E}(U) \to \mc{F}(U) \}_{U \in \mc{T}},$$ 即任给 $X$ 中一对开集 $U \subseteq V$, 下述图表可交换 $\begin{CD} \mc{E}(V) @>\theta(V) >>\mc{F}(V)\\ @V\rho VV @VV\rho V\\ \mc{E}(U)@>>\theta(U)> \mc{F}(U) \end{CD}$

特别地,

1. 当预层 $\mc{E}, \mc{F}$ 都是层时, 称 $\theta$ 为层同态.

2. 当对任意 $U \in \mc{T},$ $\theta(U) \colon \mc{E}(U) \to \mc{F}(U)$ 都是同构时, 称 $\theta$ 为预层同构.

定义 1.4 (截面) 给定拓扑空间的连续映射 $p \colon E \to X$ 以及 $X$ 中一个非空子集 $M$, 若连续映射 $\sigma \colon M \to E$ 满足 $p \circ \sigma = \id_{M},$ 则称 $\sigma$ 为 $p$ 在 $M$ 上的一个截面 (section).

这是采用了纤维丛的观点⁷.

$\require{mathtools}$ 给定 $p \colon E\to X$, 任取 $X$ 中的开集 $U$, 记 $\mc{F}(U)$ 为 $p$ 在 $U$ 上的截面函数全体. 则 $U \mapsto \mc{F} (U)$ 定义了 $X$ 上的一个集合层 (sheaf of sets). 验证如下.

1. 任取 $X$ 中开集 $U\subseteq V,$ 令 $\sigma \in \mc{F} (V)$, 即 $V \xrightarrow{\sigma} E \xrightarrow{p} X$ 满足 $p\circ \sigma =\id_{V}.$ 所以显然有 $\sigma|_{U} \in \mc{F} (U),$ 从而限制映射 $$\begin{align*} \mc{F} (V) &\to \mc{F} (U) \\ \sigma & \mapsto \sigma|_{U} \end{align*}$$ 使 $\mc{F}$ 成为 $X$ 上的预层.

2. 给定 $X$ 中开集 $U$ 及其开覆盖 $U = \bigcup_{i \in I} U_i.$ 任取 $s, s' \in \mc{F}(U)$ 使得 $s|_{U_i} = s'|_{U_i},$ 则显然在 $\mc{F}(U)$ 中有 $s=s'$

3. 任取一族 $X$ 中开集 $U_i$, $i \in I$ 以及相应的一族截面函数 $s_i mc{F} (U_i)$. 假设对任意 $i,j \in I$ 都有 $$s_{i} |_{U_i \cap U_j} = s_{j}|_{U_i \cap U_j},$$ 从而我们有良定的映射 $s\colon U \to E,$ 其中若有 $x \in U_i$ 则定义 $s(x) := s_i(x).$ 显然有 $s|_{U_i} = s_i,$ 从而 $s$ 在 $U$ 上连续. 同时对任意 $x\in U_i$ $p \circ s (x) = p\circ s_i (x) = \id_{U_i} (x) = x,$ 故 $p \circ s = \id_{U},$ 因此 $s\in \mc{F} (U).$ 于是 $\mc{F}$ 确为 $X$ 上的层.

用类似的构造, 我们可以证明下述更加一般的结论.

定理 1.1 (层化 (sheafification))
给拓扑空间 $(X,\mc{T})$ 上的 (环) 预层, 存在 $X$ 上的 (环)层 $\overline{\mc{F}}$ 以及同态 $\theta\colon \mc{F} \to \overline{\mc{F}}$ 使得 $\theta$ 为同构当且仅当 $\mc{F}$ 为层. 而且在同构意义下, $\overline{\mc{F}}$ 唯一.

称同态 $\mc{F} \to \overline{\mc{F}}$ 为层化, 以及 $\overline{\mc{F}}$ 为由 $\mc{F}$ 生成的层, 或者 $\mc{F}$ 的生成层.

证明. 任取 $x \in X$, 令 $\cal{U}(x)$ 为 $X$ 中包含 $x$ 的全体开集, 在集合的反向包含关系下成为一个有向集 (directed set).⁸

1. 定义 $\cal{F}$ 在 $x$ 处的茎 (stalk) 为 $\displaystyle\cal{F}_x : = \lim_{\begin{subarray}{c} \longrightarrow \\ U \in \,\cal{U}(x) \end{subarray}} \cal{F} (\mathit{U}),$ 定义其环结构如下.

   (i). 任取 $\overline{s}, \overline{t} \in \cal{F}_x$, 其中 $s\in \cal{F}(\mathit{U})$ 和 $t \in \cal{F} (\mathit{V})$ 为相应的代表元. 由于 $\cal{U}(x)$ 为有向集, 所以存在 $W \in \cal{U}(x)$ 使得 $W\subseteq U \cap V.$ 任取 $s|_{W}, t|_{W} \in \cal{F}(\mathit{W})$, 定义 $$\begin{align*} \overline{s} + \overline{t} : = \overline{s|_{W}} + \overline{t|_{W}} \end{align*}$$ 以及 $$\begin{align*} \overline{s} \cdot \overline{t} : = \overline{\left(s|_W\right) \cdot \left(t|_W\right)} \end{align*}$$

   (ii). 验证 $\mc{F} (U) \to \mc{F}_x$, $s \mapsto \overline{s}$ 为自然同态

2. 定义 $\mc{F}$ 的平展空间 (étalé space) $E=\bigsqcup_{x\in X} \mc{F}_x$ 以及投影 $p\colon E\to X$ 使得 $\mc{F}_x\mapsto x$. 对 $X$ 中的任意开集 $U$ 以及 $\sigma\in\mc{F}(U)$ 我们有典范映射 $U \to E$ 使得 $x \mapsto (x,\overline{\sigma})=:\sigma_{x}$, 为方便起见, 仍将该典范映射记为 $\sigma.$ 显然有 $p \circ\sigma = \id_{U}$

   赋予 $E$ 最强的拓扑结构使得对任意开集 $U$ 以及任意 $\sigma\in\mc{F} (U)$, 诱导的映射 $\sigma \colon U \to E$ 都连续. 验证下述性质

   (i). $G \subseteq E$ 为开集当且仅当对任意开集 $U \subseteq X$ 以及 $\sigma \in \mc{F}(U)$, 集合 $W=\{x\in U : \sigma_x \in G\}$ 为 $X$ 中的开集.

   (ii). 集族 $B=\left(B_{U,\sigma}\right)_{U\in \mc{T}, \sigma\in\mc{F} (U)}$ 是 $E$ 的一组拓扑基, 其中 $B_{U,\sigma}: = \{\sigma_x : x \in U\}$.

   (iii). 投影 $p\colon E \to X$ 连续, 而且是局部同胚.

3. 令 $\overline{\mc{F}}$ 为 $p$ 的连续截面函数层, 即对任意开集 $U \subseteq X$, 定义 $$\begin{align*} \overline{\cal F} (U) : = \left\{ p \text{ 在 } U \text{ 上的连续截面} \right\}. \end{align*}$$

   定义 $\overline{\mc{F}}$ 的环结构如下. 任取 $s,t \in \overline{\mc{F}} (U),$ 注意到对任意 $x \in U$ 有 $s(x), t(x) \in \mc{F}_x$, 从而定义 $$\begin{align*} s+t \colon U &\to E & st \colon U &\to E \\ x &\mapsto s(x) + t(x) , & x &\mapsto s(x) \cdot t(x). \end{align*}$$ 易知 $p \circ (s+t) = p\circ (st) = \id_{U}$, 而且 $s+t, st$ 连续, 从而 $s+t, st \in \overline{\mc{F}} (U).$ 因此 $\overline{\mc{F}}(U)$ 为环.

4. 取定开集 $U \subseteq X$, 依据平展空间 $E$ 上拓扑的定义, 任意 $\sigma \in \mc{F} (U)$ 诱导了 $p$ 在 $U$ 上的连续截面, 从而 $\sigma \in \overline{\mc{F}}(U).$ 由此我们有自然映射 $\theta\colon \mc{F} (U) \to \overline{\mc{F}}(U)$. 而依据 $\overline{\mc{F}}(U)$ 上环结构的定义, 可知 $\theta$ 还是环同态. 从而 $\theta$ 为预层同态.

5. (a). 假设 $\mc{F}$ 为层. 取定开集 $U \subseteq X.$

   (i). 下证 $\theta(U)$ 为单射. 任取 $\sigma, \sigma' \in \mc{F} (U),$ 假设诱导的 $p$ 在 $U$ 上的连续截面 $\sigma, \sigma' \colon U \to E$ 相同, 即对任意 $x\in U$ 有 $\overline{\sigma}_x = \overline{\sigma'}_x$. 从而对任意 $x \in U,$ 存在 $x$ 的开领域 $V_x$ 使得 $\sigma|_{V_x} = \sigma'|_{V_x}$. 令 $W_x = V_x \cap U,$ 给出了 $U$ 的一个开覆盖, 而由于 $\mc{F}$ 为层, 所以 $\sigma=\sigma',$ 故 $\theta (U)$ 为单射.

   (ii). 下证 $\theta(U)$ 为满射. 任取 $p$ 在 $U$ 上的一个连续截面 $s\colon U \to E.$ 注意到对任意 $x \in U,$ 存在 $x$ 的开领域 $U_i$ 以及 $s_i \in \mc{F} (U_i)$ 使得 $s(x) = \overline{s_i} (x) \in \mc{F}_x.$ 而 $s_i \in \mc{F} (U_i)$ 是 $p$ 在 $U_i$ 上的连续截面, 从而存在开集 $W_i \subseteq U_i \cap U$ 使得在 $W_i$ 上有 $s=s_i.$ 由此我们可以得到 $U$ 的开覆盖 $\{W_i\}_{i \in I}$ 以及 $s_i \in \mc{F}(W_i)$ 使得 $$\begin{align*} s_i |_{W_i \cap W_j} & = s_{j} |_{W_i \cap W_j} = s|_{W_i \cap W_j}, \quad \ \forall \, i,j \in I , \end{align*}$$ 从而存在 $\sigma \in \mc{F} (U)$ 使得 $s|_{W_i} = s_i = s|_{W_i}.$ 此时有 $\theta(U) (\sigma) = s,$ 故 $\theta(U)$ 为满射.

   (b). 反之, 当 $\theta$ 为自然同构时, $\mc{F}$ 显然为层.

6. 精确到同构下, $\overline{\mc F}$ 的唯一性显然.

定义 1.5 (茎, 芽) 给定拓扑空间 $X$ 上的预层 $\mc{F}$, 令 $(E,p)$ 为其平展空间. 对任意 $x \in X,$ 称纤维 $p ^{-1} (x) = \mc{F}_x$ 为 $\mc{F}$ 在 $x$ 处的茎 (stalk), 而且称 $\mc{F} _x$ 中的元素为 $\mc{F}$ 在 $x$ 处的芽 (germ).

平展空间 $p\colon E\to X$ 其实就是一个纤维丛.

1.2 层的拉回

给定连续函数 $f \colon X \to Y$ 以及 $Y$ 上的环层 $\mc{B},$ 考虑定义 $X$ 上的环层 $f^* (\mc{B})$, 称为 $\mc{B}$ 在 $f$ 下的原象, 也称为拉回层 (pullback sheaf).

思路很简单: 考虑把 $(Y,\mc{B})$ 的平展空间 $(B,q)$ 拉回到 $X$ 上的平展空间, 取其截面函数层, 便可得到层 $\mc{B}$ 的拉回. 具体就是要考虑 $B$ 的拉回 $f^*(B)$ 应该是什么, 以及如何验证取 $f^*(B)$ 的截面函数就能得到层. $\begin{CD} @.B\\ @. @VVqV \\ X@>f>>Y \end{CD}$

1. 记 $(B,q)$ 为 $\mc{B}$ 在 $Y$ 上的平展空间. 考虑乘积空间 $X\times B$ 的子空间 (实际上这是纤维积) $$\begin{align*} f^*(B):=A = \{ (x,b) \in X \times B : f(x) = q (b) \}. \end{align*}$$

   定义 $p\colon A \to X$ 为 $(x,b) \mapsto x$, 由于 $p$ 为投影, 故连续.

2. 注意到 $p$ 为局部同胚. 任取 $(x,b) \in A,$ 有 $f(x) = q(b).$ 由于平展空间的投影 $q$ 为局部同胚, 存在开集 $V\subseteq Y$ 以及 $s\in \mc{B} (V)$ 使得 $s\colon V \to B$ 为 $q$ 在 $V$ 上的连续截面, 且 $s(V)$ 是 $B$ 中的开集.

   另外, 注意到 $s \circ f (x) = s \circ q (b) = b$, 定义 $$\begin{align*} W & : = \left(f ^{-1} (V) \times s(V)\right) \cap A \\ & = \{(x',s \circ f (x') : x' \in f ^{-1} (V)\}. \end{align*}$$ 不难看出 $p|_{W} \colon W \to f^{-1} (V)$ 为同胚⁹, 且 $(x,b) \in W.$

3. 记 $f^*(\mc{B})$ 为 $p$ 的连续截面函数层, 考虑下述使其成为环层的自然手法.

   • 注意到 $x \in X$ 处的茎 $\left(f^*\mc{B} \right)_x = p ^{-1} (x) = \{x\} \times \mc{B} _{f(x)}$.

   • 由层化的证明可知, 只需证明对任意 $x\in X,$ 茎 $f^* \left(\mc{B}_{f(x)} \right)$ 为环.

   定义茎的拉回映射 $f^*_x\colon \mc{B}_{f(x)} \to (f^*\mc{B})_x = \{x\} \times \mc{B}_{f(x)}$ 为 $b \mapsto (x,b),$ 这显然是双射. 于是可以通过 $f^*_x$ 来把 $\mc{B}_{f(x)}$ 上的环结构拉回到 $\left(f^* \mc{B}\right)_x$ 上.

   前面提到若 $V$ 为 $Y$ 中的开集且 $s\colon V \to B$ 为 $q$ 的连续截面, 则下述映射 $$\begin{align*} s^* \colon f ^{-1} (V) &\to f^* (B) \\ x &\mapsto (x, s (f(x)) = f^*_x (s\circ f(x)) \end{align*}$$ 为 $p$ 在 $f ^{-1} (V)$ 上的连续截面.

   于是我们有典范同态 $f^*_V \colon \mc{B}(V) \to (f^*\mc{B}) \left(f^{-1}(V) \right),$ $s\mapsto s^* ,$ 其中 $$s^*(x) = f_x^* (s\circ f (x)), \quad \ \forall \, x \in f^{-1} (V).$$

定义 1.6 (赋环空间的同态)

给定赋环空间 $(X,\mathcal{A} )$ 和 $(Y,\mathcal{B} )$. 态射 (morphism) $(X,\mathcal{A}) \to (Y,\mathcal{B})$ 指二元组 $(f,\theta)$, 其中 $f\colon X\to Y$ 为连续函数且 $\theta\colon f^*\mathcal{B} \to \mathcal{A}$ 为层同态, 即对任意开集 $V_i, U_i$ 使得 $f(U_i) \subseteq V_i$ 且 $U_1\subseteq U_2$, $V_1\subseteq V_2$, 都有下述交换图表 $\begin{CD} \mc{B}(V_2) @>\theta_{V_2, U_2}>> \mc{A} (U_2)\\ @VV\rho V @VV\rho V \\ \mathcal{B}(V_1)@>>\theta_{V_1, U_1}> \mathcal{A}(U_1) \end{CD}$ 以及对任意开集 $U,V$ 使得 $f(U) V$ 都有下述交换图表 $\begin{CD} \mathcal{B} (V) @>f^*_{V}>> f^*(\mathcal{B}) (f^{-1})(V)\\ @V{\theta_{V,U}} V V @VV\theta {\left(f ^{-1} (V) \right)} V \\ \mathcal{A}(U) @>>\rho > \mathcal{A} \left(f ^{-1} (U)\right) \end{CD}$

注. 给定赋环空间的态射 $(f,\theta) \colon (X,\mathcal{A}) \to (Y,\mathcal{B})$. 则对任意 $x\in X,$ $f$ 诱导出茎之间的环同构 $f_x^* \colon \mathcal{B}_{f(x)} \to (f^* \mathcal{B}) _x$ 以及茎之间的环同态 $(f^* \mathcal{B}) _x \to \mathcal{A}_x$, 因此我们有同态 $\theta_x \colon \mathcal{B}_{f(x)} \to \mathcal{A}_x.$

定义 1.7 (几何空间) 几何空间是指茎都为局部环的赋环空间, 即赋环空间 $(X,\mathcal{A})$ 使得对任意 $x \in X,$ 茎 $\mc{A}_x$ 都是局部环.

定义 1.8 (几何空间的态射) 给定几何空间 $(X,\mathcal{A})$ 和 $(Y,\mathcal{B})$, 态射 $(X,\mathcal{A}) \to (Y,\mathcal{B})$ 是指二元组 $(f,\theta )$ 使得 $\theta_x \colon \mathcal{B}_{f(x)} \to \mathcal{A}_x$ 为局部同态, 即 $\theta_x (\fk{m}_{f(x)}) \subseteq \fk{m}_{x},$ 其中 $\fk{m}_{f(x)}$ 和 $\fk{m}_x$ 分别是 $\mc{B}_{f(x)}$ 和 $\mc{A}_x$ 的极大理想.

1.3 分式环和局部化

给定环 $A,$ 令 $S \subseteq A$ 为对乘法封闭的子集使得 $1 \in S.$

给定 $A$-模 $M,$ 定义 $M\times S$ 上的定价关系如下: $$\begin{align*} (m_1, s_1) \sim (m_2,s_2) \colon \iff \exists\, s \in S \text{ 使得}~ s (s_2 m_1 - s_1 m_2) =0. \end{align*}$$

将 $(m,s) \in M \times S$ 所在的等价类记为 $m/s$, 记等价类全体形成的集合为 $S ^{-1} M.$

取 $M=A,$ 得到 $S ^{-1} A,$ 带有自然的环结构如下: 任取 $s_1, s_2 \in S$ 以及 $a_1, a_2 \in A,$ 定义 $$\begin{align*} \frac{a_1}{s_1} + \frac{a_2}{s_2} & := \frac{s_2 a_1 + s_1 a_2}{s_1 s_2} \\ \frac{a_1}{s_1} \cdot \frac{a_2}{s_2} & := \frac{a_1 a_2}{s_1 s_2} \end{align*}$$

通过定义 $$\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} : = \frac{s_2 m_1 + s_1 m_2}{s_1 s_2},$$ $S^{-1} M$ 成为阿贝尔群; 通过定义 $$\frac{a}{s} \frac{m}{s'} : = \frac{am}{s s'},$$ $S^{-1} M$ 进一步成为 $S^{-1}A$-模.

注意到我们有自然映射 $$\begin{align*} M & \to S^{-1} M \\ m &\mapsto m/1 \end{align*}$$ 从而 $S^{-1} M$ 既是 $A$-模也是$S^{-1}A$-模.

例 1.1 (局部化)

1. 给定 $f \in A$ 与 $A$-模 $M$, 取 $S = \{1,f,f^2,\ldots\} =: S_f$, 此时记 $M_f : = S^{-1} M$ 以及 $A_f : = S^{-1} A,$ 分别称为模 $M$ 和环 $A$ 在 $f$ 处的局部化 (localization).

2. 给定 $A$ 中素理想 $P$, 取 $S = A \setminus P,$ 记 $M_{P} : = S^{-1} M$ 以及 $A_P: = S^{-1} A$. 此时 $A_{P}$ 为局部环, 即只有唯一极大理想.

3. 给定整环 $A$, 令 $S = A \setminus \{0\},$ 有 $S^{-1} A = Q,$ 称为 $A$ 的分式域 (quotient field).

不难验证下述性质:

1. 环 $A$ 中任意乘法封闭子集 $S$ 定义了正合函子 $S^{-1} \colon A\Mod \to A\Mod$.

2. 给定 $A$-模同态 $u\colon M \to N$, 乘法封闭子集 $S\subseteq A$ 给出了下述交换图表

$\begin{CD} M@>u>>N\\ @VVV @VVV \\ S^{-1} M @>S^{-1} (u) >> S^{-1} N \end{CD}$

其中竖向箭头都是自然映射.

3. 给定环同态 $f\colon A \to B$, 若 $P$ 为 $B$ 中的素理想, 则 $f ^{-1}(P)$ 为 $A$ 中的素理想. 特别地, 令 $f=i \colon A \to S^{-1} A$ 为自然映射, 则映射 $P \mapsto f^{-1} (P)$ 给出了一一对应 $$\begin{align*} \{S^{-1}A \text{ 的素理想}\} \longleftrightarrow \{A \text{ 中与 } S \text{ 不交的素理想}\} \end{align*}$$

4. 令 $\{S_{\alpha }\}_{\alpha \in \Lambda}$ 为环 $A$ 中一族递增的乘法封闭子集, 其中指标集 $\Lambda$ 为有向集 (directed set). 令 $S = \bigcup_{\alpha\in\Lambda } S_{\alpha },$ 显然 $S$ 仍对乘法封闭. 于是

   (i). $S\displaystyle^{-1} A = \lim_{\to} S_{\alpha }^{-1} A$
   (ii). $\displaystyle S^{-1} M = \lim_{\to} S_{\alpha } ^{-1} M$

   其中归纳极限 (innductive limit) 归纳系统 $\left\{S_ \alpha ^{-1} A, i_{\alpha , \beta } : \alpha , \beta \in \Lambda , \alpha \leqslant \beta \right\}$ 的正向极限, 其中对于任意 $\alpha \leqslant \beta$ 有 $S_{\alpha } \subseteq S_{\beta }$ 且
   $$\begin{align*} i_{\alpha , \beta } \colon S_{\alpha }^{-1} A & \to S_{\beta }^{-1} A \\ a/s_{\alpha } &\mapsto a/s_{\alpha } \end{align*}$$

5. 给定环 ${A}$ 中一对乘法封闭子集 ${S \subseteq T}$, 对任意 ${A}$-模, 我们有自然映射 $$\begin{align*} \rho _{S,T} \colon S ^{-1} M \to T ^{-1} M. \end{align*}$$

   特别地, 若 ${T}$ 中每个元素都是 ${S}$ 中某个元素的因子, 则 ${\rho _{S,T}}$ 为同构. 证明如下.

   (i). 一方面任取 ${m/t \in T ^{-1} M}$, 由假设有 ${s = ta}$, 其中 ${a \in A}$ 且 ${s \in S}.$ 注意到 ${am/s \in S ^{-1} M}$, 而且 ${\rho _{S,T} (am/s} = am/s = m/t,$ 从而 ${\rho _{S,T}}$ 为满射.

   (ii). 另一方面, 反设 ${\rho _{S,T}}$ 不是单射, 则存在${m/s \in S ^{-1} M}$ 满足 ${m/s \neq 0}$ 但 ${\rho _{S,T} (m/s)=0}$. 从而由局部化的定义, $$\begin{align*} \text{在 } S ^{-1} M \text{ 中 } m/s \neq 0 & \implies s'm \neq 0 \quad \forall \, s' \in S. \\ \text{在 } T ^{-1} M \text{ 中 } m/s = 0 & \implies \exists \,t \in T, ~ t m =0 \\ & \phantom{s}\xRightarrow{t a = s'} s'm = tam = a (tm) =0 \end{align*}$$ 矛盾. 因此 ${\rho _{S,T}}$ 为同构.

定义 1.9 (饱和集) 给定环 ${A}$ 中的乘法封闭子集 ${S}$, 若 ${S}$ 中元素的因子也全落在 ${S}$ 中, 即对任意 ${a,b \in A}$, 若 ${ab \in S}$ 则有 ${a ,b \in S}$, 则称 ${S}$ 为饱和的 (saturated).

给定环 ${A}$ 中的封闭子集 ${S}$, 令 ${S'}$ 为 ${S}$ 的饱和集, 即 ${S'}$ 包含 ${S}$ 中元素的全部因子, 从而 ${S \subseteq S'}$ 为封闭子集, 由上述结论可知, 对任意 ${A}$-模 ${M}$, 我们有自然同构 ${\rho _{S,S'} \colon S ^{-1} M \xrightarrow{\cong} \left(S' \right)^{-1} M}$

6. 给定环同态 ${f\colon A \to B}$, 乘法封闭子集 ${S \subseteq A, ~ T \subseteq B}$. 若 ${f(S) \subseteq T}$, 则有下述自然映射 $\begin{CD} A@>f>>B\\ @VVV @VVV \\ S ^{-1} A @>>S ^{-1} (f)> T ^{-1} B \end{CD}$

1.4 ${\Spec A}$ 及其拓扑

给定环 ${A}$. 定义 $${X = \Spec A = \left\{ P : P \text{ 为 } A \text{ 中的素理想} \right\}},$$

此外, 对于 ${x \in X = \Spec A},$ 我们用 ${j_x}$ 表示 ${x}$ 所代表的素理想.

注意到任意 ${f \in A}$ 定义了一个映射 $$\begin{align*} X & \to \bigcup_{x \in X} A/j_x \\ x & \mapsto f(x) \end{align*}$$

其中 ${f(x)}$ 为 ${f}$ 在自然映射 ${A \to A/j_x}$ 下的像. 为方便起见, 我们仍将该映射记为 ${f}$.

这印证了我们先前提到的一个打开方式, 即所有的环都是某种形式的函数环.

注意到对任意 ${x \in X},$ ${f(x)=0}$ 当且仅当 ${f \in j_x}$

给定子集 ${E \subseteq A},$ 定义
$$\begin{align*} V(E) & := \left\{x \in X : E \subseteq j_x \right\} \\ & = \left\{x \in X : f(x) = 0, ~\forall \, f \in E \right\} \end{align*}$$

注意到对任意子集 ${E \subseteq A},$ 我们有 $$\begin{align*} V(E) = V([E]) \end{align*}$$

其中 ${[E]}$ 表示由 ${E}$ 生成的理想.

命题 1.1 ($V(E)$ 的性质)
记 ${\mathcal{C} = \left\{V(E) : E \subseteq A \right\}}$, 则

1. ${X, \varnothing \in \mathcal{C}}$;

2. ${\mathcal{C}}$ 对集合的任意交封闭;

3. ${\mathcal{C}}$ 对集合的有限并封闭.

证明.

1. 因为 ${V(0)} = X$ 而且 ${V(1)} = \varnothing$

2. 任取 $A$ 中一族子集 ${\left\{E_{\alpha } \right\}_{\alpha \in \Lambda }},$ 注意到 $$\begin{align*} x \in \bigcap_{\alpha \in \Lambda } V(E_{\alpha }) & \iff j_x \supseteq E_{\alpha}, ~ \forall \, \alpha \in \Lambda \\ & \iff j_x \supseteq \bigcup_{\alpha \in \Lambda } E_\alpha \\ & \iff x \in V \left(\bigcup_{\alpha \in \Lambda } E_\alpha \right) \end{align*}$$

3. 任取 ${E,E' \subseteq A},$ 注意到 ${E\cdot E' = \left\{e e' \in A : e \in E, e' \in E' \right\}}$. 则 $$\begin{align*} x \in V(E) \cup V(E') & \iff j_x \supseteq E \text{ 或者 } j_x \supseteq E' \\ & \implies j_x \supseteq E \cdot E ' \tag{因为 ${j_x}$ 为理想} \\ & \iff x \in V(E\cdot E') \end{align*}$$

   另一方面, 我们有 $$\begin{align*} x \not\in V(E) \cup V(E') & \iff j_x \not\supseteq E \text{ 且 } j_x \not \supseteq E' \\ & \iff \exists \, e \in E, e' \in E' \text{ 使得 } s \not\in j_x \text{ 且 } e' \in j_x \\ & \implies ee' \not\in j_x \tag{因为 $j_x$ 为素理想} \\ & \implies j_x \not \supseteq E \cdot E' \\ & \iff x \not\in V(E \cdot E') \end{align*}$$

由上述命题可知, ${\mathcal{C}}$ 作为闭集全体, 赋予了 ${X}$ 拓扑结构, 对应的拓扑被称为扎里斯基拓扑 (Zaraski topology), 在 EGA 中也被称为谱拓扑 (spectral topology).

关于分离性:

1. ${ X= \Spec A}$ 为 ${T_0}$ 空间, 因为对于 ${X}$ 中的互异点 ${x, y}$, 我们有 ${j_x \not \supseteq j_y}$ 或 ${j_y \not \supseteq j_x}$, 故 $x,y$ 中至少其一不包含在另一点的闭包中, 所以 ${X}$ 自然是 ${T_0}$.

2. ${X = \Spec A}$ 一般不是 Hausdorff 空间.

给定 ${A}$ 中的理想 ${\mathfrak{a}}$, 易知 $$\begin{align*} \sqrt{\fk{a}} : = \left\{ a \in A : \text{ 存在 } n \in \mathbb{Z} _{\geqslant 1} \text{ 使得 } a^n \in \fk{a} \right\} \end{align*}$$ 也是 ${A}$ 中的理想.

定义 1.10 (理想的根) 给定环 ${A}$ 中的理想 ${\fk{a}}$, 称 ${\sqrt{\fk{a}} }$ 为理想 ${\fk{a}}$ 的根 (radical).

特别地, 若 ${\sqrt{\fk{a}} = \fk{a}}$, 则称 ${\fk{a}}$ 为根式理想 (radical ideal).

称 ${\sqrt{0} }$ 为环 ${A}$ 的幂零根 (nil-radical), 记作 ${\fk{nr} (A)}$.

实际上, 幂零根正是环中所有幂零元全体. 而且我们对理想的根还有下述刻画.

引理 1.1
给定环 ${A}$ 中的理想 ${\fk{a}}$, 有 $$\begin{align*} \sqrt{\fk{a}} = \bigcap_{\fk{p}\text{ 为包含 } \fk{a} \text{ 素理想}} \fk{p} \end{align*}$$

证明. 不妨假设 ${\fk{a} = 0}$, 不然的话可以取商环 ${A/\fk{a}}.$ 因此化归到证明 ${\sqrt{0} = \displaystyle\bigcap_{\mathfrak{p} \text{ 为素理想}} \mathfrak{p} }$

1. 对于 ${a \in \sqrt{0} ,}$ 存在 ${n \in \mathbb{Z} _{\geqslant }}$ 使得 ${a^n =0.}$ 从而对任意素理想 ${\fk{p}}$ 都有 ${a^n \in \mathfrak{p} },$ 又由于 ${\mathfrak{p}}$ 为素理想, 所以 ${a \in \mathfrak{p}}$. 故 ${\sqrt{0} \subseteq \displaystyle\bigcap_{\mathfrak{p} \text{ 为素理想}} \mathfrak{p}}$

2. 任取非幂零元 ${a}$, 考虑乘法封闭子集 ${S = \{ 1,a,a^2, \ldots\} }$, 对 ${A}$ 在 ${a}$ 处 作局部化有 ${S ^{-1} A = A_a \neq 0}$. 可知环 ${A_a}$ 包含极大理想 ${\mathfrak{q}'}$. 由素理想之间的一一对应, 可知 ${A}$ 中含有素理想 ${\mathfrak{q}}$ 使得 ${S \cap \mathfrak{q} = \varnothing}$. 从而 ${a \not\in \mathfrak{q}}$ 且 ${\mathfrak{q}}$ 为 ${A}$ 中的素理想. 因此可知 ${\displaystyle\sqrt{0} \supseteq \bigcap_{\mathfrak{p} \text{ 为素理想}} \mathfrak{p} }$.

给定 ${X = \Spec A}$ 以及 ${Y \subseteq X}.$ 考虑 $$\begin{align*} j (Y) & : = \left\{ f \in A : f (y) =0, ~ \forall \, y \in Y \right\} \\ & = \left\{ f \in A : f \in j_y, ~ \forall \, y \in Y \right\} \\ & = \bigcap_{y \in Y} j_y \\ & = \sqrt{j(Y)} \end{align*}$$

由此我们容易验证下述性质.

1. ${Y \subseteq Y' \implies j(Y')\subseteq j(Y) }$

2. ${j \left( \bigcup_{\alpha \in I} Y_\alpha \right) = \bigcap_{\alpha \in I} j \left(Y _ \alpha \right) }$

3. ${E \subseteq E' \implies V(E') \subseteq V(E)}$

4. ${V \left(\sqrt{E} \right) = V(E)}$

由此得到下述一对逆序的映射

• ${V \colon \mathcal{P} (A) \to \left\{ \Spec A \text{ 中的闭集} \right\} }$

• ${j \colon \mathcal{P} \left(\Spec A \right) \to \left\{ A \text{ 中的理想} \right\} }$

其中 ${\mathcal{P}(X)}$ 表示 ${X}$ 的幂集.

如下述命题所示, 限制到合适的子集上, 可以得到一一对应.

命题 1.2
给定环 ${A}$, 则 ${\Spec A}$ 中的闭集与 ${A}$ 中的根式理想一一对应.

证明.

1. 任取 ${\Spec A}$ 中的闭集 ${Y = V(E)}$, 有 $$\begin{align*} j (Y) = \bigcap_{x \in V(E)} j_x = \bigcap_{\fk{p} \supseteq E } \mathfrak{p} = \sqrt{(E)} \end{align*}$$

2. 下证当 ${ Y }$ 为闭集时, ${ V(j(Y)) = Y. }$ 不妨设 ${ Y = V(E) }$, 注意到 $$\begin{align*} V(j(Y)) = V(j(V(E))) = V \left(\sqrt{(E)} \right) = V (E) = Y. \end{align*}$$

故 ${ V\circ j }$ 限制到闭集全体上是恒等映射. 类似可证 ${ j \circ V }$ 的部分.

定义 1.11 (特殊开集) 给定环 ${ A }$ 中的元素 ${ f \in A, }$ 称开集 ${ D(f): = X \setminus V(f) }$ 为 ${ X }$ 的特殊开集 (special open set).

注意 ${ D(f) }$ 指那些满足 ${ f(x) \neq 0 }$ 的 ${ x \in X }$ 全体.

命题 1.3
${ X = \Spec A }$ 中的特殊开集全体组成 ${ X }$ 的一个拓扑基, 而且每个特殊开集都是拟紧的 (quasi-compact).

拟紧指任意开覆盖都有有限子覆盖.

证明.

1. 任取 ${ X }$ 中的开集 ${ U = X \setminus V(E) },$ 其中 ${ E \subseteq A .}$ 注意到 $$\begin{align*} U & = X \setminus \bigcap_{f \in E} V(f) \\ & = \bigcup_{f \in E} \left(X \setminus V(f) \right) \\ & = \bigcup_{f \in E} D(f) \end{align*}$$

2. 任取特殊开集 ${ D(f) }$, 及其开覆盖 ${ \bigcup_{\alpha \in \Lambda } D(f_\alpha) }$. 注意到 $$\begin{align*} V(f) & = X \setminus D(f) \supseteq \bigcap_{\alpha \in \Lambda} V(f_{\alpha}) = V \left(\sum_{\alpha \in \Lambda} (f_\alpha) \right). \end{align*}$$

   记 ${ \mathfrak{a} = \sum_{\alpha \in \Lambda} (f_\alpha) }$, 作用映射 ${ j }$ 后有 $$\begin{align*} j(V(f)) \subseteq j (V(\mathfrak{a})) \end{align*}$$

   从而 ${ \sqrt{(f)} \subseteq \sqrt{\mathfrak{a}} },$ 即存在 ${ n \in \mathbb{Z} _{\geqslant 1} }$ 使得 ${ f^n \in \mathfrak{a}. }$ 故 ${ f^n }$ 可表示成 $$\begin{align*} f^n = \sum_{j \in J} f_j \end{align*}$$ 其中 ${ J \subseteq \Lambda }$ 为有限集, 且 ${ f_j \in \mathfrak{a} }$. 故 $$\begin{align*} V(f) = V \left(f^n \right) \supseteq V \left(\sum_{j \in J} (f_j) \right) = \bigcap_{j \in J} V(f_j) \end{align*}$$

   因此 ${ D(f) \subseteq \bigcup_{j \in J} D(f_j) }$

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5. “XX 层” 意思是取值为 XX 的层↩︎

6. 也就是随意地↩︎

7. 一个记忆小窍门: 映射不能一对多, $p\colon E \to X$ 既然是一个纤维化, 往往是多对一的, 复合后要是恒等映射, 内侧的函数只能是单射, 所以纤维化在外侧; 或者干脆认为纤维化是满射, 所以在外侧. 既然如此, 内侧的 $\sigma$ 必然和 $p$ 反向, 有可能只在子集上定义, 所以 $\sigma$ 最自然的形式就是 $$\sigma\colon M \to E,$$ 其中 $M$ 为基底的子空间, 实际操作中常取为开集↩︎

8. 有向集是指偏序集, 并且每一对元素都有上界, 即对任意 $i,j$, 存在 $k$ 使得 $i,j \preceq k$↩︎

9. $W$ 实际为连续函数 $s\circ f$ 在 $f^{-1}(V)$上的图 (graph)↩︎