Capítulo 6 Inferencia

A inferência estatística é o ato de tentar extrapolar conclusões de uma amostra para uma população, assumindo certo grau de incerteza de seus resultados. Para tal, temos métodos como testes de hipóteses e intervalos de confiança. Nessa apostila, abordaremos como executar tais tarefas a partir do R.

6.1 Relembrando o conceito de testes de hipótese e intervalos de confiança

Um teste de hipótese nada mais é do que uma regra que define quando temos evidências para dizer se a sua hipótese a priori(a que contém a igualdade) sobre a população de onde vêm os dados(ela é chamada de hipótese nula-H0) deve ser tida como falsa perante uma outra hipótese que diz o contrário (Hipótese alternativa ou H1). Para discernir qual das duas deve ser verdadeira, confeccionamos uma regra, baseada na teoria da probabilidade e na distribuição dos dados, que nos permita ver o risco de errarmos se tomarmos a decisão de rejeitar H0(p-valor) e, caso essa incerteza seja aceitável (menor que um valor arbritário $\alpha$), a rejeitamos. Caso não seja, nós nos atemos a ela.

Um teste de hipótese é chamado de unilateral se sua hipótese alternativa for do tipo “!=” e unilateral se for do tipo “>”, “<”,“>=” ou “<=”.

Um intervalo de confiança é um método que nos permite saber, com certo nível de confiança (1-$\alpha$), a faixa de valores onde certo parâmetro da população está, a partir de dados da amostra. O intervalo é formado por uma estimativa (vinda da amostra) pontual do parâmetro em questão e de uma margem de erro.

Aqui, não abordaremos a teoria e os motivos aprofundados do uso de cada teste, mas traremos exemplos práticos da execução dos mesmos.

6.2 Teste Z para uma média

A porcentagem média de sódio na composição do vidro de determinada indústria é de 14%, com desvio padrão de 0,8%. Acredita-se que essa porcentagem tenha se alterado após a detecção de uma falha durante a produção do material. Para isso, obtiveram-se 214 amostras, para que se fizesse um teste ao nível de significância de 5%.

Como estamos tratando de um caso em que a variância é conhecida e a população é suficientemente grande, a distribuição de referência para esse teste é a Normal Padrão, como podemos ver a seguir:

$$Z = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$$ Nessa distribuição, temos que $\bar{X}$ é a média da variável aleatória, $\mu$ é a média populacional, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho amostral.

Quando desejamos fazer um teste de hipóteses sob a hipótese nula, ou seja, $H_{0}$, a distribuição da estatística de teste é dada por:

$$Z_{0} = \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sqrt{\sigma^2/n}} \sim N(0,1)$$ Portanto, a estatística de teste observada $z_{0}$ a ser aplicada em todos os testes (bilateral, unilateral à esquerda e unilateral à direita) será: $$z_{0} = \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sqrt{\sigma^2/n}}$$ Na qual $\bar{x}$ é a média da variável aleatória, $\mu_{0}$ é a média a ser testada, $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho amostral.

Primeiramente, vamos abrir o banco de dados e definir as variáveis.

require(exatas) #chamando o pacote para a leitura do banco 
attach(vidro) #este comando anexa o banco, permitindo que suas variáveis sejam acessadas

#definindo variáveis

mi0 = 14           #média que se precisa testar
media = mean(Na)   #média amotral
n = length(Na)     #tamanho da amostra
sigma = 0.8        #desvio padrão populacional
alpha=0.05         #nível de significância

6.2.1 Teste Bilateral

Testaremos a diferença entre a média verdadeira $\mu$ e determinada média $\mu_{0}$, tida como verdadeira sob $H_{0}$. $$\begin{aligned} H_{0}: \mu &= \mu_{0} \\ H_{A}: \mu &\neq \mu_{0} \\ \\ H_{0}: \mu &= 14 \\ H_{A}: \mu &\neq 14 \end{aligned}$$

6.2.1.1 Função z.test

Podemos fazer esse teste bilateral usando a função z.test ,já que o desvio padrão populacional é conhecido.

require("TeachingDemos") #chamando o pacote para usá-lo
                         #note que talvez seja necessário instalar o pacote com o comando install.packages("TeachingDemos")

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "two.sided", sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)

## 
##  One Sample z-test
## 
## data:  Na
## z = -10.828, n = 214.000000, Std. Dev. = 0.800000, Std. Dev. of the
## sample mean = 0.054687, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 14
## 95 percent confidence interval:
##  13.30067 13.51503
## sample estimates:
## mean of Na 
##   13.40785

Note que a saída do R nos informa a estatística Z, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível (1−α)100% e a média da amostra.

6.2.1.2 Método do Valor Crítico

Os valores críticos são calculados para delimitar a região de rejeição da hipótese nula que está sendo testada. Assim, analisamos se a estatística de teste pertence ou não à região crítica; caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

Já os valores críticos são encontrados com $\ z_{\frac{\alpha}{2}}$ para o valor crítico inferior e $z_{{1}-\frac{\alpha}{2}}$ para o superior.

#calculando estatística de teste
estteste = (media-mi0)/sqrt(sigma^2/n)
estteste

## [1] -10.828

A estatística de teste encontrada neste exemplo foi -10.828.

#função do quantil
vc1=  qnorm( alpha/2)
vc2=  qnorm( 1-alpha/2)
vc1

## [1] -1.959964

vc2

## [1] 1.959964

Nesse caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que -1.959964(vc1) ou maior que 1.959964(vc2). Como a estatística de teste vale -10.828, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que a quantidade de sódio no vidro, após a falha, é diferente de 14%.

6.2.1.3 Método do Intervalo de Confiança

Podemos usar o intervalo de confiança da média para fazer um teste de hipóteses, basta observar se o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu$ contém o valor que está sendo testado $\mu_{0}$. Se o intervalo não contém a média, rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância, caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância.

$$IC_{\mu}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \bar{x} + z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} ;\bar{x} + z_{1- \frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \right]$$

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora:

probs = c(((alpha)/2),(1-alpha/2))
IC <- media + qnorm( probs, 0 , 1) * sqrt(sigma^2/n)
IC

## [1] 13.30067 13.51503

Usando a função z.test:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "two.sided" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] 13.30067 13.51503
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para ${\mu}$ é $$IC_{\mu}{95\%} = \left[ 13.30067 ; 13.51503 \right]$$ . Como a estatística de teste $z_{0}$ não está contida no intervalo, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que a quantidade de sódio no vidro, após a falha, é diferente de 14%.

6.2.1.4 Método Valor-p

O valor-p é a probabilidade de rejeitarmos erroneamente a hipótese nula com base nos dados amostrais, ou seja, rejeitá-la dado que ela é verdadeira. Para a distribuição bilateral ele é calculado como sendo 2 vezes a probabilidade do quantil $z_{0}$ . Se o valor-p for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula, e se for maior, não rejeitamos.

$$\text{valor-p}= 2\cdot P(Z> |z_{0}|)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = (media - mi0) / (sqrt(sigma^2/n)) 
valor.p = 2*pnorm(estteste)
valor.p

## [1] 2.536316e-27

Utilizando a função z.test:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "two.sided", sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 2.536316e-27

O valor-p encontrado foi considerado pequeno (já que é muito menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, podemos concluir que há evidências amostrais de que a quantidade de sódio no vidro, após a falha, é diferente de 14%.

6.2.2 Teste Unilateral Direito

Testar se ${\mu}$ é maior que 14 $$\begin{aligned} H_{0}: \mu &= \mu_{0} \\ H_{A}: \mu &> \mu_{0} \\ \\ H_{0}: \mu &= 14 \\ H_{A}: \mu &> 14 \end{aligned}$$

6.2.2.1 Função z.test

Podemos fazer este teste unilateral esquerdo usando a função z.test do R:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "greater" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)

## 
##  One Sample z-test
## 
## data:  Na
## z = -10.828, n = 214.000000, Std. Dev. = 0.800000, Std. Dev. of the
## sample mean = 0.054687, p-value = 1
## alternative hypothesis: true mean is greater than 14
## 95 percent confidence interval:
##  13.3179     Inf
## sample estimates:
## mean of Na 
##   13.40785

6.2.2.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral direito, o valor crítico é encontrado com $z_{\alpha}$.

#calculando o valor crítico
vcd= qnorm(alpha) 
vcd

## [1] -1.644854

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior que o valor crítico -1.644854(vcd). Sendo assim, como a estatística de teste -10.828 é menor do que esse valor crítico, não rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, podemos concluir que há evidências amostrais de que a quantidade de sódio no vidro é menor ou igual a 14%.

6.2.2.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral direito é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{{\mu}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \bar{x} + z_{\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}; \text{ } \infty \right]$$ Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

#calcular o IC
conf = 1-alpha
probs = c(alpha, 1)
IC <- media + qnorm( probs)*sqrt(sigma^2/n)
IC

## [1] 13.3179     Inf

Usando a função z.test:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "greater" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] 13.3179     Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para é $IC_{\mu}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ 13.3179;\text{ } \infty \right]$. Como a estatística de teste $\mu_{0}$=14 está contida no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidências amostrais de que a quantidade média de sódio no vidro é menor ou igual a 14%.

6.2.2.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $z_\alpha$ ser maior que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(Z >| z_{0}|)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = (media - mi0) / (sqrt(sigma^2/n))  
valor.p = pnorm(q=estteste)
valor.p

## [1] 1.268158e-27

Utilizando a função z.test:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "greater" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 1

O valor-p igual a 1 maior do que $\alpha$=0.05. Dessa forma, ao nível de 5% de significância, não rejeitamos $H_{0}$.Assim, podemos concluir que há evidências amostrais de que a quantidade média de sódio no vidro é menor ou igual a 14%.

6.2.3 Teste Unilateral Esquerdo

Testar se $\mu$ é menor que 14%: $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu &= 14 \\ H_{A}: \mu &< 14 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.2.3.1 Função z.test

Podemos fazer este teste unilateral esquerdo usando a função z.test do R:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "less" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)

## 
##  One Sample z-test
## 
## data:  Na
## z = -10.828, n = 214.000000, Std. Dev. = 0.800000, Std. Dev. of the
## sample mean = 0.054687, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is less than 14
## 95 percent confidence interval:
##     -Inf 13.4978
## sample estimates:
## mean of Na 
##   13.40785

6.2.3.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral esquerdo, o valor crítico é encontrado com $z_{\alpha}$.

#calculando o valor crítico
vcd= qnorm(1-alpha) 
vcd

## [1] 1.644854

Como se trata do caso unilateral esquerdo, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior ou menor do que o valor crítico 1.644854 (vce). Sendo assim, como a estatística de teste é igual a -10.828, rejeitamos $H_{0}$ a um nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que a quantidade média de sódio no vidro produzido por essa indústria é menor do que 14%.

6.2.3.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral esquerdo é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\mu}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ - {\infty};\bar{x} + z_{1 -\alpha}\cdot \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}\right]$$

Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

conf = 1-alpha
probs = c(0, 1 -alpha )
IC <- media + qnorm( probs)*sqrt(sigma^2/n)
IC

## [1]    -Inf 13.4978

Usando a função z.test:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "less" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1]    -Inf 13.4978
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para $\mu$ é $IC_{\mu}{(95\%)} =\left[-\infty; 13.4978 \right]$. Como a estatística de teste $\mu_{0}$=14 não está contida no intervalo, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, ao nível de 5% de significância há evidências amostrais de que a quantidade de sódio no vidro é menor do que 14%.

6.2.3.4 Método Valor-p

Nesse caso iremos comparar o valor-p - que é a probabilidade do quantil $z_{0}$ - e o nível de significância.

$$\text{valor-p}= P(Z > |z_{0}|)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = (media - mi0) / (sqrt(sigma^2/n))  
valor.p = pnorm(estteste)
valor.p

## [1] 1.268158e-27

Utilizando a função z.test:

z.test(Na, mu = mi0, alternative = "less" , sd = sigma,  n, conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 1.268158e-27

O valor-p de 1.268158e-27 encontradoé menor do que $\alpha$=0.05.Dessa forma, rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que a quantidade de sódio no vidro é menor do que 14%.

6.3 Teste t para uma média

Um banco de dados sobre a análise de vinhos com 1599 observações apresenta a variável pH da amostra. Deseja-se investigar, a um nível de 5% de significância, se o pH médio é diferente, maior ou menor que 3.2. Para isso, serão realizados testes de hipóteses bilateral, unilateral direito e unilateral esquerdo, respectivamente.

Como a variância populacional destas amostras é desconhecida, a estatística de teste tem distribuição t-Student com n−1 graus de liberdade.

$$T = \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{S^2/n}}\sim t_{(n-1)$$ Nessa distribuição, temos que $\bar{X}$ é a média da variável aleatória, $\mu$ é a média populacional, $S$ é o desvio padrão da amostra e $n$ é o tamanho amostral.

Quando desejamos fazer um teste de hipóteses sob a hipótese nula, ou seja, $H_{0}$, a distribuição da estatística de teste é dada por:

$$T_{0} = \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sqrt{S^2/n}} \sim t_{(n-1)}$$ Portanto, a estatística de teste observada $t_{0}$ a ser aplicada em todos os testes (bilateral, unilateral à esquerda e unilateral à direita) será: $$t_{0} = \frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\sqrt{s^2/n}} \sim t_{(n-1)}$$ Na qual $\bar{x}$ é a média da variável aleatória, $\mu_{0}$ é a média a ser testada, $s$ é o desvio padrão amostral e $n$ é o tamanho amostral.

Primeiramente, vamos abrir o banco de dados e definir as variáveis.

require(exatas) #chamando o pacote para a leitura do banco 
attach(vinho) #este comando anexa o banco, pirmitindo que suas variáveis sejam acessadas

#definindo variáveis
mi0=3.2        #média que se pretente testar
media=mean(pH) #média amostral
v= var(pH)     #variância amostral
n = length(pH) #tamanho da amostra
alpha=0.05     #nível de significância

6.3.1 Teste Bilateral

Testa a diferença entre a média verdadeira $\mu$ e determinada média ($\mu_{0}$), tida como verdadeira sob $H_{0}$. $$\begin{aligned} H_{0}: \mu &= \mu_{0} \\ H_{A}: \mu &\neq \mu_{0} \\ \\ H_{0}: \mu &= 3,2 \\ H_{A}: \mu &\neq 3,2 \end{aligned}$$

6.3.1.1 Função t.test

Podemos fazer esse teste bilateral usando a função t.test ,já que o desvio padrão populacional é desconhecido.

t.test(pH, alt = "two.sided", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  pH
## t = 28.779, df = 1598, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 3.2
## 95 percent confidence interval:
##  3.303540 3.318686
## sample estimates:
## mean of x 
##  3.311113

Note que a saída do R nos informa a estatística t, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível (1−α)100% e a média da amostra.

6.3.1.2 Método Valor Crítico

Os valores críticos são calculados para delimitar a região de rejeição da hipótese nula que está sendo testada. Assim, analisamos se a estatística de teste pertence ou não a região crítica; caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

Já os valores críticos são encontrados com $\mu_{0} - t_{\frac{\alpha}{2};(n-1)}\cdot \sqrt{\frac{s^2}{n}}$ para o valor crítico inferior e $\mu_{0} + t_{\frac{\alpha}{2};(n-1)}\cdot \sqrt{\frac{s^2}{n}}$ para o superior.

#calculando estatística de teste:
estteste = (media-mi0)/sqrt(v/n)
estteste

## [1] 28.77933

A estatística de teste do exemplo vale 28.78.

#encontrando os valores críticos
vc1= qt(alpha/2,df=n-1) 
vc2= qt(1-alpha/2,df=n-1)
vc1

## [1] -1.96145

vc2

## [1] 1.96145

Nesse caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que -1.96145(vc1) ou maior que 1.96145(vc2). Como a estatística de teste vale 28,77933 (que é maior do que 1.96145), rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que a média do pH dos vinhos é diferente de 3,2.

6.3.1.3 Método Intervalo de Confiança

Podemos usar o intervalo de confiança da média para fazer um teste de hipóteses, basta observar se o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu$ contém o valor que está sendo testado $\mu_{0}$. Se o intervalo não contém a média, rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância, caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância.

$$IC_{\mu}{100(1 − \alpha)\%} = \left[\bar{x}+ t_{\frac{\alpha}{2};n-1} \cdot \sqrt{ \frac{s^2}{n}} \text{ } ;\text{ } \bar{x}+ t_{\frac{\alpha}{2};n-1} \cdot \sqrt{ \frac{s^2}{n}}\right]$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora:

conf = 1-alpha
probs = c(((1-conf)/2),(1-(1-conf)/2))
IC <- media + qt(probs, df = n - 1) * sqrt(v/n)
IC

## [1] 3.303540 3.318686

Construindo uma função para calcular o intervalo:

IC.T <- function(x, conf) {
  n <- length(x)
  media <- mean(x)
  variancia <- var(x)
  quantis <- qt(c((1 - conf)/2, 1 - (1 - conf)/2), df = n - 1)
  ic <- media + quantis * sqrt(variancia/n)
  return(ic)
}
IC.T(pH,conf=1-alpha)

## [1] 3.303540 3.318686

Usando a função t.test:

t.test(pH, alt = "two.sided", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] 3.303540 3.318686
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para a média do valor do pH é $IC_{\mu}(95\%)=\left[3.303540 \text{ }; \text{ }3.318686 \right]$. Como a estatística de teste $\mu_{0}$=3,2 não está contida no intervalo, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidências amostrais de que a verdadeira média do pH dos vinhos é diferente de 3,2.

6.3.1.4 Método valor-p

O valor-p é a probabilidade de rejeitarmos erroneamente a hipótese nula com base nos dados amostrais, ou seja, rejeitá-la dado que ela é verdadeira. No caso bilateral, ele é calculado como sendo 2 vezes a probabilidade do quantil $t_{(n-1)}$ ser maior que a estatística de teste calculada. Se o valor-p for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula, e se for maior, não rejeitamos.

$$\text{valor-p}= 2 \cdot P(T > |t_{0}|)$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = (media - mi0) / (sqrt(v/n)) 
valor.p = 2*pt(q=estteste, df=n-1, lower=FALSE)
valor.p

## [1] 4.239645e-147

Utilizando a função t.test

t.test(pH, alt = "two.sided", mu = mi0, conf.level = (1-alpha))$p.value

## [1] 4.239645e-147

O valor-p encontrado foi considerado pequeno (menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que a verdadeira média do pH dos vinhos é diferente de 3,2.

6.3.2 Teste Unilateral Direito

Testa se a média verdadeira $\mu$ é maior que determinada média ($\mu_{0}$), tida como verdadeira sob $H_{0}$. $$\begin{aligned} H_{0}: \mu &= \mu_{0} \\ H_{A}: \mu &> \mu_{0} \\ \\ H_{0}: \mu &= 3,2 \\ H_{A}: \mu &> 3,2 \end{aligned}$$

6.3.2.1 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral direito é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{{\mu}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \bar{x} + t_{\alpha;(n-1)}\cdot \sqrt{\frac{s^2}{n}}; \text{ } \infty \right]$$ Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

#calcular o IC
conf = 1-alpha
IC <- media + qt(alpha,  df = n - 1)*sqrt(v/n)
IC

## [1] 3.304759

6.3.2.2 Função t.test

Podemos fazer este teste unilateral esquerdo usando a função t.test do R:

t.test(pH, alt = "greater", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] 3.304759      Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para a média do valor do pH é $IC_{\mu}(95\%)=\left[3.304759 \text{ }; \text{ } \infty \right]$. Como a estatística de teste $\mu_{0}$=3,2 não está contida no intervalo, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidências amostrais de que a verdadeira média do pH dos vinhos é maior do que 3,2.

6.3.2.3 Método do Valor Crítico

No caso unilateral direito, o valor crítico é encontrado com $t_{\alpha;(n-1)}$.

#calculando o valor crítico
vcd= qt(alpha,df=n-1) 
vcd

## [1] -1.645808

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior do que o valor crítico -1.645808 (vcd). Sendo assim, como a estatística de teste 28,77933 é maior que -1.645808 , devemos rejeitar $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que a média do pH dos vinhos é maior que 3,2.

6.3.2.4 Método do Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $t_{(n-1)}$ ser maior que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(T < t_{0})$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora:

estteste = (media - mi0) / (sqrt(v/n))  
valor.p = pt(q=estteste, df=n-1, lower=FALSE)
valor.p

## [1] 2.119823e-147

Utilizando a função t.test:

t.test(pH, alt = "greater", mu = mi0, conf.level = (1-alpha))$p.value

## [1] 2.119823e-147

O valor-p de 2.119823e-147 encontrado foi considerado pequeno, pois é menor que 0.05, de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que a média do pH dos vinhos é maior que 3,2.

6.3.3 Teste Unilateral Esquerdo

Testa se a média verdadeira $\mu$ é menor que determinada média ($\mu_{0}$), tida como verdadeira sob $H_{0}$. $$\begin{aligned} H_{0}: \mu &= \mu_{0} \\ H_{A}: \mu &< \mu_{0} \\ \\ H_{0}: \mu &= 3,2 \\ H_{A}: \mu &< 3,2 \end{aligned}$$

6.3.3.1 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral esquerdo é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\mu}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ - {\infty};\bar{x} + t_{1 -\alpha; (n-1)}\cdot \sqrt{\frac{s^2}{n}}\right]$$ Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

#calcular o IC
conf = 1-alpha
IC <- media + qt(1-alpha,  df = n - 1)*sqrt(v/n)
IC

## [1] 3.317467

6.3.3.2 Função t.test

Podemos fazer este teste unilateral esquerdo usando a função t.test do R:

t.test(pH, alt = "less", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1]     -Inf 3.317467
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para a média do valor do pH é $IC_{\mu}(95\%)=\left[- \text{ } \infty; 3.317467 \right]$. Como a estatística de teste $\mu_{0}$=3,2 está contida no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidências amostrais de que a verdadeira média do pH dos vinhos é maior do que 3,2.

6.3.3.3 Método do Valor Crítico

No caso unilateral esquerdo, o valor crítico é encontrado com $\mu_{0} - t_{\alpha;(n-1)}\cdot \sqrt{\frac{s^2}{n}}$.

#calculando o valor crítico
vce= mi0 - qt(1-alpha,df=n-1) * sqrt(v/n)
vce

## [1] 3.193646

No teste unilateral esquerdo, vamos rejeitar $H_{0}$ caso a estatística de teste $\mu_{0}$ seja menor do que o valor crítico 3,193646. Sendo assim, nesse caso, como $\mu_{0}$ =3,2, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou seja, não há evidências amostrais de que a média do pH é menor que 3,2.

6.3.3.4 Método do Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $t_(n-1)$ ser menor que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(T < t_{0})$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = (media - mi0) / (sqrt(v/n))  
valor.p = pt(q=estteste, df=n-1, lower=T)
valor.p

## [1] 1

Utilizando a função t.test

t.test(pH, alt = "less", mu = mi0, conf.level = (1-alpha))$p.value

## [1] 1

O valor-p igual a 1 é superior a 0.05.Dessa forma, não rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que a média do pH é maior do que 3,2.

6.4 Teste de uma proporção

Um banco de dados sobre carros na Arábia Saudita com 560 observações apresenta a variável transmissão do carro. Deseja-se investigar, a um nível de 5% de significância, se a proporção de carros com transmissão manual é igual, menor ou maior que 0,15. Para isso, serão realizados testes de hipóteses bilateral, unilateral direito e unilateral esquerdo, respectivamente.

Como estamos realizando um teste quanto a proporção de uma característica em uma população,teremos como referência a estatística $\hat{p}$, a proporção amostral.Essa estatística possui uma distribuição aproximadamente Normal, como a seguir:

$$\hat{p} \sim N \left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right)$$ Nessa distribuição, temos que $p$ é a proporção populacional da característica em questão, transmissão manual, e $n$ é o tamanho amostral.

Quando desejamos fazer um teste de hipóteses sob a hipótese nula, ou seja, $H_{0}$, a distribuição de referência passa a ser:

$$\hat{p} \sim N{(p_{0},\frac{p_{0}(1-p_{0})}{n}})$$ Nesse caso, o que muda é que a proporção populacional passa a ser a que está sendo testada, e dita como verdadeira sob a hipótese nula.

Para solucionar o problema,primeiramente, vamos abrir o banco de dados e definir as variáveis.

require(exatas) #chamando o pacote para a leitura do banco 
attach(carro) #este comando anexa o banco, permitindo que suas variáveis sejam acessadas


#definindo variáveis
p0=0.15        #proporção que se pretende testar
pchapeu= table(transmission)[2]/sum(table(transmission)) #proporção amostral
n = length(transmission) #tamanho da amostra
alpha=0.05     #nível de significância

6.4.1 Teste Bilateral

Testa a diferença entre a proporção verdadeira $p$ e a determinada proporção $p_{0}$, tida como verdadeira sob $H_{0}$.

$$\begin{aligned} H_{0}: p &= p_{0} \\ H_{A}: p &\neq p_{0} \\ \\ H_{0}: p &= 0,15 \\ H_{A}: p &\neq 0,15 \end{aligned}$$

6.4.1.1 Método Valor Crítico

Os valores críticos são calculados para delimitar a região de rejeição da hipótese nula que está sendo testada. Assim, analisamos se a estatística de teste pertence ou não a região crítica; caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

A região crítica pode ser construída de duas maneiras. Na primeira, estabelecemos valores de proporções críticos e a estatística de teste nada mais é que o próprio $\hat{p}$, proporção amostral.A outra maneira seria transformar a distribuição da proporção amostral em uma Normal Padrão, encontrando uma nova estatística de teste.

6.4.1.2 Primeira Maneira

Nesse caso os valores críticos são encontrados com $p_{0} - Z_{(1-\frac{\alpha}{2})}\cdot \sqrt{\frac{p_{0}\cdot{(1-p_{0})}}{n}}$ para o valor crítico inferior e $p_{0} + Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{p_{0}\cdot{(1-p_{0})}}{n}}$para o superior.

A estatística de teste do exemplo nada mais é que a proporção amostral, que vale 0,1071429 .

#encontrando os valores críticos
vc1= p0-qnorm(1-alpha/2)*sqrt(0.15*(1-0.15)/n)
vc2=p0+qnorm(1-alpha/2)*sqrt(0.15*(1-0.15)/n)
vc1

## [1] 0.1204261

vc2

## [1] 0.1795739

Nesse caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que 0,1204261(vc1) ou maior que 0,1795739(vc2). Como a estatística de teste vale 0,1071429 (que é menor do que 0,1204261), rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é diferente de 0,15.

6.4.1.3 Segunda Maneira

Transformando a distribuição da proporção amostral em uma Normal Padrão, temos que:

$$\hat{p} \sim N \left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right) \to Z_0 = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_o)}{n}}} \sim N(0,1)$$

A partir dessa transformação, devemos calcular a nova estatística de teste:

estteste=(pchapeu-0.15)/sqrt(0.15*0.85/n)
estteste

##    Manual 
## -2.840286

A estatística de teste encontrada neste exemplo foi -2.840286.

Já os valores críticos são encontrados com $\ z_{\frac{\alpha}{2}}$ para o valor crítico inferior e $z_{{1}-\frac{\alpha}{2}}$ para o superior.

#encontrando os valores críticos
vc1= qnorm(alpha/2)
vc2=qnorm(1-alpha/2)
vc1

## [1] -1.959964

vc2

## [1] 1.959964

Nesse caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que -1.959964(vc1) ou maior que 1.959964(vc2). Como a estatística de teste vale -2.840286 (que é menor do que -1.959964), rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é diferente de 0,15.

Daqui em diante, usaremos apenas a segunda maneira para solucionar os testes de hipótese.

6.4.1.4 Método Intervalo de Confiança

Podemos usar o intervalo de confiança da proporção para fazer um teste de hipóteses, basta observar se o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $p$ contém o valor que está sendo testado $p_{0}$. Se o intervalo não contém a proporção, rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância, caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância.

$$IC_{p}{100(1 − \alpha)\%} = \left[\hat{p}- z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \cdot \sqrt{ \hat{p}\cdot\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \text{ } ;\text{ } \hat{p}+ z_{(1-\frac{\alpha}{2})} \cdot \sqrt{\hat{p}\cdot\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]$$ Mas o intervalo de confiança também pode ser calculado de duas maneiras diferentes. O método otimista é aquele no qual o $\hat{p}$ utilizado para calcular a variância $\sqrt{\hat{p}\cdot\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ é substituído pela própria proporção amostral.O método conservador considera que $\hat{p}$ vale 0.5, encontrado assim resultados diferentes.Dessa maneira, não é recomendado utilizar o intervalo de confiança para proporção para realizar testes de hipótese, o faremos apenas para demonstração.

6.4.1.4.1 Método Otimista

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora,temos:

probs= c(-qnorm(1-alpha/2),qnorm(1-alpha/2))
IC <- pchapeu + probs*sqrt(pchapeu*(1-pchapeu)/n)
IC

## [1] 0.08152595 0.13275976

Temos que o intervalo de confiança para ${p}$ é $IC_{p}{95\%} = \left[ 0.08152595 ; 0.13275976 \right]$. Como o valor testado $p_0$ não está contido no intervalo, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é diferente de 0,15.

6.4.1.4.2 Método Conservador

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora, temos que:

probs= c(-qnorm(1-alpha/2),qnorm(1-alpha/2))
IC <- pchapeu + probs*sqrt(0.5*(1-0.5)/n)
IC

## [1] 0.06573106 0.14855465

Temos que o intervalo de confiança para ${p}$ é $IC_{p}{95\%} = \left[ 0.06573106 ; 0.14855465 \right]$. Como o valor testado $p_0$ não está contido no intervalo, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é diferente de 0,15.

6.4.1.5 Método Valor-p

O valor-p é a probabilidade de rejeitarmos erroneamente a hipótese nula com base nos dados amostrais, ou seja, rejeitá-la dado que ela é verdadeira. Para a distribuição bilateral ele é calculado como sendo 2 vezes a probabilidade da estatística de teste ser ainda mais extrema , menor, do que ela é. Se o valor-p for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula, e se for maior, não rejeitamos.

$$\text{valor-p}= 2\cdot P(Z< |Z_{0}|)$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora, temos que:

valor.p = 2*pnorm(estteste)
valor.p

##      Manual 
## 0.004507305

O valor-p encontrado foi considerado pequeno (já que é muito menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, podemos concluir que há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é diferente de 0,15.

6.4.2 Teste Unilateral Direito

Testa se a proporção verdadeira $p$ é maior que a proporção $p_{0}$ determinada, tida como verdadeira sob $H_{0}$. $$\begin{aligned} H_{0}: p &= p_{0} \\ H_{A}: p &> p_{0} \\ \\ H_{0}: p &= 0,15 \\ H_{A}: p &> 0,15 \end{aligned}$$

6.4.2.1 Método do Valor Crítico

No caso unilateral direito, o valor crítico é encontrado com $z_{1-\alpha}$.

#calculando o valor crítico
vcd= qnorm(1-alpha) 
vcd

## [1] 1.644854

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior que o valor crítico 1.644854(vcd). Sendo assim, como a estatística de teste -2.840286 é menor do que esse valor crítico, não rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, podemos concluir que não há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é maior 0,15.

6.4.2.2 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral direito é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{p}{100(1 − \alpha)\%} = \left[\hat{p}- z_{(1- \alpha)} \cdot \sqrt{ \hat{p}\cdot\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \text{ } ;\text{ } \infty \right]$$

6.4.2.2.1 Método Otimista

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora,temos:

EEIC <- pchapeu - qnorm(1-alpha)*sqrt(pchapeu*(1-pchapeu)/n)
EEIC

##     Manual 
## 0.08564447

Temos que o intervalo de confiança para ${p}$ é $IC_{p}{95\%} = \left[ 0.08564447 ; \text{ } \infty \right]$. Como o valor testado $p_0$ está contido no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,não há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é maior do que 0,15.

6.4.2.2.2 Método Conservador

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora, temos que:

probs= c(-qnorm(1-alpha/2),qnorm(1-alpha/2))
IC <- pchapeu - qnorm(1-alpha)*sqrt(0.5*(1-0.5)/n)
IC

##     Manual 
## 0.07238898

Temos que o intervalo de confiança para ${p}$ é $IC_{p}{95\%} = \left[ 0.07238898 ; \text{ } \infty \right]$. Como o valor testado $p_0$ está contido no intervalo, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, não há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é maior do que 0,15.

6.4.2.3 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do da estatística de teste ser ainda mais extrema, menor, do que ela é.

$$\text{valor-p}=P(Z< |Z_{0}|)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p = pnorm(estteste)
valor.p

##      Manual 
## 0.002253652

O valor-p encontrado foi considerado pequeno (já que é muito menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, podemos concluir que não há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é maior do que 0,15.

6.4.3 Teste Unilateral Esquerdo

Testa se a proporção verdadeira $p$ é menor que a proporção $p_{0}$ determinada, tida como verdadeira sob $H_{0}$. $$\begin{aligned} H_{0}: p &= p_{0} \\ H_{A}: p &< p_{0} \\ \\ H_{0}: p &= 0,15 \\ H_{A}: p &< 0,15 \end{aligned}$$

6.4.3.1 Método do Valor Crítico

No caso unilateral esquerdo, o valor crítico é encontrado com $z_{alpha}$.

#calculando o valor crítico
vce= qnorm(alpha) 
vce

## [1] -1.644854

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é menor que o valor crítico -1.644854(vce). Sendo assim, como a estatística de teste -2.840286 é menor do que esse valor crítico,rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, podemos concluir que há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é menor do que 0,15.

6.4.3.2 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral esquerdo é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{p}{100(1 − \alpha)\%} = \left[\text{ } \infty ;\hat{p}+ z_{(1- \alpha)} \cdot \sqrt{ \hat{p}\cdot\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \text{ } \right]$$

6.4.3.2.1 Método Otimista

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora,temos:

EDIC <- pchapeu + qnorm(1-alpha)*sqrt(pchapeu*(1-pchapeu)/n)
EDIC

##    Manual 
## 0.1286412

Temos que o intervalo de confiança para ${p}$ é $IC_{p}{95\%} = \left[ \text{ } \infty \right ; 0.1286412 ]$. Como o valor testado $p_0$ não está contido no intervalo,rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é menor do que 0,15.

6.4.3.2.2 Método Conservador

Fazendo as contas, passo a passo, utilizando o R como uma calculadora, temos que:

EDIC <- pchapeu +qnorm(1-alpha)*sqrt(0.5*(1-0.5)/n)
EDIC

##    Manual 
## 0.1418967

Temos que o intervalo de confiança para ${p}$ é $IC_{p}{95\%} = \left[\text{ } \infty ; 0.1418967 \right]$. Como o valor testado $p_0$ não está contido no intervalo, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é menor do que 0,15.

6.4.3.3 Método Valor-p

No caso unilateral esquerdo, o valor-p é apenas a probabilidade do da estatística de teste ser ainda mais extrema, menor, do que ela é.

$$\text{valor-p}=P(Z< |Z_{0}|)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p = pnorm(estteste)
valor.p

##      Manual 
## 0.002253652

O valor-p encontrado foi considerado pequeno (já que é muito menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, podemos concluir que há evidências amostrais de que a proporção de carros manuais na Arábia Saudita é menor do que 0,15.

6.5 Teste Qui-Quadrado

m geral, os testes qui-quadrado são usados para avaliar se há associação entre variáveis qualitativas. Por exemplo, no banco de dados milsa, considere as variáveis civil e instrucao. A variável civil indica o estado civil do indivíduo (1 = solteiro, 2 = casado) e a variável instrução indica o nível de instrução (1 = 1o grau, 2 = 2o grau, 3 = ensino superior). Suponha que você deseja investigar se o estado civil tem alguma influência no nivel de instrução da pessoa. Para responder a essa pergunta são formuladas as seguintes hipóteses:

Ho : Estado civil e nivel de instrução são variáveis independentes.

Ha : Estado civil e nivel de instrução não são independentes.

Para testar essas hipóteses os dados são organizados na tabela de contingência abaixo.

milsa <- read.table("http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/dados/milsa.dat", head = T)
tab = table(milsa$instrucao, milsa$civil) #Tabela com as frequências
addmargins(tab) #Adiciona os totais

##      
##        1  2 Sum
##   1    7  5  12
##   2    6 12  18
##   3    3  3   6
##   Sum 16 20  36

Temos a seguinte Estatística de Teste:

$$\chi^2 = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac {(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$ Onde “O” é a frequência observada para cada classe, “E” é a frequência esperada, N é o número de linhas da tabela e M o número de colunas. Note que quando as frequências obeservadas são muito próximas da esperada o valor da estatística de teste é próximo de zero. Por outro lado, quando os valores observados são bem distantes do esperado o valor da estatística de teste aumenta.

Para testar a hipótese usamos o fato que χ2 segue uma distribuição qui-quadrado com (N − 1)(M − 1) graus de liberdade, onde N e M são on números de linhas e de colunas, respectivamente. O valor esperado “E” é obtido realizando o seguinte cálculo: $$\frac{Total\ da\ linha\ x\ Total\ da\ coluna}{Total\ geral}$$ Veja um exemplo considerando a tabela acima: $$\ E_{11} = \frac{12\ x\ 16}{36} = 5.333\ Então\ temos\ \frac{(7\ -\ 5.333)^2}{5.333}\ =\ 0.52.$$ Fazemos esse cálculo para todos os outros termos e encontramos o valor da Estatística de Teste:

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \frac {(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\ =\ \frac{(7\ -\ 5.333)^2}{5.333}\ +\ ...\ +\ \frac{(3\ -\ 3.333)^2}{3.333}\ =\ 1.9125$$ Sob o nível de significânciade α = 0.05 e 2 graus de liberdade, podemos encontrar a região crítica do teste pelo comando abaixo:

qchisq(p = 0.95, df = 2)

## [1] 5.991465

Como o valor observado não pertence à região crítica não rejeitamos Ho, ou seja, não existem evidências para rejeitar a hipótese de que Estado civil e Nível de instrução sejam variáveis independentes. Para realizar essa mesma análise por meio de um único comando usamos o código abaixo:

milsa <- read.table("http://www.leg.ufpr.br/~paulojus/dados/milsa.dat", head = T)
chisq.test(milsa$civil, milsa$instrucao)

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  milsa$civil and milsa$instrucao
## X-squared = 1.9125, df = 2, p-value = 0.3843

O comando acima nos retorna o valor da estatística de teste igual a 1.9125, e seu p-valor correspondente a ela com 2 graus de liberdade. Considerando um nível de significância de α = 0.05, vemos que o p-valor é maior que α logo não devemos rejeitar a hipótese nula.

6.6 Teste t pareado

Um pesquisador tem interesse em comparar dois métodos para prever a resistência ao cisalhamento entre traves planas metálicas. Os dois métodos, Karlruhe (K) e Lehigh (L), foram aplicados a 9 traves específicas, e a resistência de cada uma foi medida, para cada um dos métodos.

Primeiramente, vamos abrir o banco de dados e definir alguns objetos.

require(exatas)
attach(traves) #este comando anexa o banco, pirmitindo que suas variáveis sejam acessadas

mi0 = 0       # pois queremos testar se a verdadeira média das diferenças é igual a zero
alpha = 0.05  # nível de significância

Quando dois tratamentos podem ser aplicados aos mesmos indivíduos ou objetos, podemos querer descobrir se há alguma diferença entre esses tratamentos, ou se um é superior ou inferior ao outro. Para isso, temos $n$ pares de observações, que são medições feitas nos indivíduos sob um tratamento (grupo $X$) ou outro (grupo $Y$). Podemos ainda querer saber se há diferença em alguma variável referente ao indivíduo, e tomar medidas em tempos diferentes e comparar para descobrir se houve mudança significativa.

Nestes casos, podemos utilizar o teste t pareado para descobrir se houve alguma diferença entre as observações, realizando testes bilaterais ou unilaterais. Primeiramente, precisamos definir uma nova variável $D=X_{1}-Y_{1}, X_{2}-Y_{2},... ,X_{n}-Y_{n}$, onde $X=X_{1}, X_{2},... ,X_{n}$ é a variável aleatória das medições do grupo $X$ e $Y=Y_{1}, Y_{2},... ,Y_{n}$ é a variável aleatória das medições do grupo $Y$, ou seja, $D$ é a variável das diferenças entre as medidas de cada par da amostra.

A distribuição de referência para este teste é a t-Student com $n-1$ graus de liberdade, como a seguir:

$$T = \frac{\bar{D}-\mu_{D}}{{S_{D}/\sqrt{n}}} \sim t_{(n-1)}$$

em que $\bar{D}$ é a média da variável aleatória $D$, $\mu_{0}$ é a média das diferenças que se deseja testar, $S_{D}$ é o desvio-padrão de $D$ e $n$ é o número de pares observados.

Temos que a distribuição sob $H_{0}$, ou seja, a distribuição da estatística de teste, é:

$$T_{0} = \frac{\bar{D}-\mu_{D}}{{S_{D}/\sqrt{n}}} \sim t_{(n-1)}$$

Portanto, a estatística de teste observada $t_{0}$ a ser utilizada em todos os testes será:

$$t_{0} = \frac{\bar{d}-\mu_{D}}{s_{D} / \sqrt{n}}$$

em que $\bar{d}$ é a média observada das diferenças de cada par, $\mu_{D}$ a média das diferenças que se deseja testar (neste caso, 0) $s_{D}$ seu desvio-padrão amostral e $n$ o número de pares da amostra.

6.6.1 Teste Bilateral

No teste bilateral de um teste t pareado, desejamos testar se há diferença entre dois métodos ou tratamentos aplicados a um mesmo objeto ou indivíduo, ou se com o passar do tempo houve diferença em alguma medição sobre um mesmo indivíduo. Para isso, testamos se a média das diferenças entre as medidas de um tratamento e outro ($\mu_{D}$) é significativamente diferente de zero.

$$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{D} &= 0 \\ H_{1}: \mu_{D} &\neq 0 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.6.1.1 Função t.test

Podemos fazer este teste bilateral usando a função t.test. Esta é a mesma função utilizada nos testes de comparação de duas médias, com a diferença de que devemos adicionar o argumento paired = TRUE.

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "two.sided", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  K and L
## t = 6.0819, df = 8, p-value = 0.0002953
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.1700423 0.3777355
## sample estimates:
## mean of the differences 
##               0.2738889

Note que a saída do R nos informa a estatística t, os graus de liberdade, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e a média das diferenças observada.

6.6.1.2 Método do Valor Crítico

Os valores críticos são encontrados para delimitar a região de rejeição (ou região crítica) da hipótese nula que está sendo testada. Assim, analisamos se a estatística de teste pertence ou não à região crítica; caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

Os valores críticos inferior e superior correspondem, respectivamente, aos quantis $\frac{\alpha}{2}$ e $1-\frac{\alpha}{2}$ da distribuição $t$ com $n-1$ graus de liberdade. Esses quantis podem ser encontrados em tabelas da distribuição t de Student, ou com a função qt() do R.

# calculando a estatística de teste

D = K-L # vetor das diferenças entre as observações de cada par
mediaD = mean(D) # média das diferenças
varD = var(D) # variância amostral das diferenças
n =length(D) # número de pares da amostra

estteste=(mediaD - mi0)/sqrt(varD/n)
estteste

## [1] 6.081939

A estatística de teste encontrada nesse exemplo foi 6.081939.

vc1 = qt(alpha/2,n-1)
vc2 = qt(alpha/2,n-1,lower.tail=FALSE)
vc1

## [1] -2.306004

vc2

## [1] 2.306004

Neste caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que -2.306004 (vc1) ou maior que 2.306004 (vc2). Como a estatística de teste vale 6.081939, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, não há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja igual há zero, portanto há diferença significativa entre os dois métodos testados.

6.6.1.3 Método do Intervalo de Confiança

Podemos usar o intervalo de confiança da média das diferenças para fazer um teste de hipóteses, basta observar se o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu_{D}$ contém o 0. Se o intervalo não contém o 0, rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância, caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância.

$$IC_{\mu_{D}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \bar{D} - t_{\frac{\alpha}{2};(n-1)}\sqrt{\frac{s_{D}}{n}} ; \bar{D} + t_{\frac{\alpha}{2};(n-1)}\sqrt{\frac{s_{D}}{n}} \right]$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora:

IC = c(mediaD - qt(alpha/2,n-1,lower.tail = F)*sqrt(varD/n), mediaD + qt(alpha/2,n-1,lower.tail = F)*sqrt(varD/n))
IC

## [1] 0.1700423 0.3777355

Usando a função t.test:

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "two.sided", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] 0.1700423 0.3777355
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para a média das diferenças é $IC_{\mu_{D}}{95\%} = \left[ 0.1700423 ; 0.3777355 \right]$. Como o 0 não está contido no intervalo, podemos concluir, ao nível de 95% de confiança, que a média das diferenças entre os pares é diferente de zero, ou seja, há evidência de diferença entre os dois métodos.

6.6.1.4 Método Valor-p

O valor-p é a probabilidade de rejeitarmos erroneamente a hipótese nula com base nos dados amostrais, ou seja, rejeitá-la dado que ela é verdadeira. Para a distribuição t, no caso bilateral ele é calculado como sendo 2 vezes a probabilidade da variável aleatória $T_{0}\sim t_{(n-1)}$ ser maior que o módulo do valor da estatística de teste calculada. Se o valor-p for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula, e se for maior, não rejeitamos.

$$\text{valor-p}= 2\cdot P(T_{0} > |t_{0}|)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p = 2*pt(q=6.081939, df=n-1, lower.tail=FALSE)
valor.p

## [1] 0.0002952956

Utilizando a função t.test():

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "two.sided", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 0.0002952955

O valor-p de 0.0002952955 encontrado foi considerado pequeno (já que é menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, não há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja igual a zero, portanto há diferença significativa entre os dois métodos testados.

6.6.2 Teste Unilateral Direito

Testa se a média das diferenças entre as medidas de um tratamento e outro ($\mu_{D}$) é significativamente maior que zero. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{D} &= 0 \\ H_{1}: \mu_{D} &> 0 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.6.2.1 Função t.test

Para o caso unilateral direito, continuaremos usando a função t.test com o argumento paired = TRUE, mas desta vez com alt="greater", para que o teste seja unilateral direito.

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "greater", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  K and L
## t = 6.0819, df = 8, p-value = 0.0001476
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  0.1901476       Inf
## sample estimates:
## mean of the differences 
##               0.2738889

Note que a saída do R nos informa a estatística t, os graus de liberdade, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e a média das diferenças.

6.6.2.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral direito, o valor crítico corresponde ao quantil $1-\alpha$ da distribuição $t_{(n-1)}$.

vcd = qt(p=1-alpha,df=n-1)
vcd

## [1] 1.859548

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior que o valor crítico 1.859548(vcd). Sendo assim, como a estatística de teste 6.081939 é maior do que esse valor crítico, rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, não há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja menor ou igual há zero, portanto o método Karlruhe (K) promove uma resistência significativamente maior que o método Lehigh (L).

6.6.2.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral direito é interpretado da mesma maneira que o bilateral (se não contiver o 0, rejeitamos a hipótese nula), e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\mu_{D}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \bar{D} - t_{\alpha;(n-1)}\sqrt{\frac{s_{D}}{n}} ;\text{ } \infty \right]$$ Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

IC = c(mediaD - qt(p=1-alpha,df=n-1)*sqrt(varD/n), Inf)
IC

## [1] 0.1901476       Inf

Usando a função t.test:

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "greater", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] 0.1901476       Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para $\mu_{D}$ é $IC_{\mu_{D}}{95\%} = \left[ 0.1901476 ;\text{ } \infty \right]$. Como o 0 não está contido no intervalo, rejeitamos a hipótese nula, ou seja, não há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja menor ou igual há zero, portanto o método Karlruhe (K) promove uma resistência significativamente maior que o método Lehigh (L).

6.6.2.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade da variável aleatória $T_{0}\sim t_{(n-1)}$ ser maior que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(T_{0} > t_{0})$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p = pt(q=estteste,df=n-1,lower.tail=FALSE)
valor.p

## [1] 0.0001476477

Utilizando a função t.test:

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "greater", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 0.0001476477

O valor-p de 0.0001476477 encontrado foi considerado pequeno (já que foi menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, não há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja menor ou igual há zero, portanto o método Karlruhe (K) promove uma resistência significativamente maior que o método Lehigh (L).

6.6.3 Teste Unilateral Esquerdo

Testa se a média das diferenças entre as medidas de um tratamento e outro ($\mu_{D}$) é significativamente menor que zero. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}:\mu_{D} &= 0\\ H_{1}: \mu_{D} &< 0 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.6.3.1 Função t.test

Para o caso unilateral esquerdo, continuaremos usando a função t.test com o argumento paired = TRUE, mas desta vez com alt="less", para que o teste seja unilateral esquerdo.

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "less", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)

## 
##  Paired t-test
## 
## data:  K and L
## t = 6.0819, df = 8, p-value = 0.9999
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##       -Inf 0.3576302
## sample estimates:
## mean of the differences 
##               0.2738889

Note que a saída do R nos informa a estatística t, os graus de liberdade, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e a média das diferenças.

6.6.3.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral esquerdo, o valor crítico corresponde ao quantil $\alpha$ da distribuição $t_{(n-1)}$.

vce = qt(p=alpha,df=n-1)
vce

## [1] -1.859548

Como se trata do caso unilateral esquerdo, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é menor que o valor crítico -1.859548(vce) encontrado. Sendo assim, como a estatística de teste 6.081939 é maior do que esse valor crítico, não rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja maior ou igual a zero, portanto o método Karlruhe (K) promove uma resistência significativamente maior que o método Lehigh (L).

6.6.3.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral esquerdo é interpretado do mesmo modo que o unilateral direito, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\mu_{D}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \text{ }- \infty \text{ } ;\bar{D} + t_{\alpha;(n-1)}\sqrt{\frac{s_{D}}{n}} \right]$$ Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

IC = c(-Inf,mediaD + qt(p=1-alpha,df=n-1)*sqrt(varD/n))
IC

## [1]      -Inf 0.3576302

Usando a função t.test:

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "less", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1]      -Inf 0.3576302
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para $\mu_{D}$ é $IC_{\mu_{D}}{95\%} = \left[ \text{ } - \infty ; 0.3576302 \right]$. Como o 0 está contido no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja maior ou igual a zero, portanto o método Karlruhe (K) promove uma resistência significativamente maior que o método Lehigh (L).

6.6.3.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade da variável aleatória $T_{0}\sim t_{(n-1)}$ ser menor que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(T_{0} < t_{0})$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p = pt(q=estteste,df=n-1)
valor.p

## [1] 0.9998524

Utilizando a função t.test:

t.test(K, L, paired=TRUE, alt = "less", mu = mi0, conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 0.9998524

O valor-p de 0.9998524 encontrado foi considerado elevado (já que é maior do que $\alpha$=0.05), de forma que não rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidência amostral de que a média das diferenças entre os pares seja maior ou igual a zero, portanto o método Karlruhe (K) promove uma resistência significativamente maior que o método Lehigh (L).

6.7 Teste t para duas médias

A concentração de arsênio em suprimentos públicos de água potável é um risco potencial de sáude.Um estudo reportou a concentração, em partes por bilhão (ppb), de arsênio em água potável para 10 comunidades metropolitanas de Fênix e 10 comunidades rurais do Arizona. Desejamos determinar se há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre comunidades metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona.

Primeiramente, vamos abrir o banco de dados e definir as variáveis.

require(exatas) #chamando o pacote para a leitura do banco 
attach(dados) #este comando anexa o banco, permitindo que suas variáveis sejam acessadas

#definindo variáveis
amostra1=metrop
amostra2=rural
med1=mean(amostra1)   #média amostral grupo 1
med2=mean(amostra2)   #média amostral grupo 2
var1= var(amostra1)   #variância amostral grupo 1
var2= var(amostra2)   #variância amostral grupo 2
n1 = length(amostra1) #tamanho amostral do grupo 1
n2 = length(amostra2)  #tamanho amostral do grupo 2
alpha=0.05    #nível de significância
Delta0 = 0   # valor que estamos testando para a diferença entre a média da amostra 1 e da amostra 2

Para solucionar o problema, teremos que utilizar o teste-t para comparação de duas médias.Porém esse tipo de teste é divido entre dois casos, um em que as variâncias das duas amostras podem ser consideradas iguais e o outro em que as variâncias são diferentes.

Sendo assim, antes de inciar esse teste, temos que utilizar o teste de comparação de duas variâncias para verificarmos em qual dos dois casos o problema se encaixa.Se você possui alguma dúvida nesse teste, consulte o material de exemplo referente a ele.

var.test(amostra1,amostra2,data=dados)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## F = 0.24735, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.04936
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.06143758 0.99581888
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.2473473

Considerando a hipótese nula de igualdade entre as variâncias, ao nível de significância de 5% rejeitamos a hipótese nula, pois o valor-p 0.04936 é menor que o alpha=0.05.Ou seja, há evidência amostral de que as variâncias das duas amostras são diferentes.

A partir deste resultado, concluimos que para resolver o problema apresentado teremos que usar o teste-T de comparação de duas médias para variâncias diferentes.

A distribuição de referência para esse teste é “aproximadamente” a t-Student com v graus de liberdade, como a seguir:

$$T=\frac{\bar{D}-\triangle}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}} \sim t_{(v)}$$

em que

$$v=\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$$

Temos a distribuição sob H0, ou seja, a distribuição da estatística de teste é:

$$T_0=\frac{\bar{D}-\triangle}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}} \sim t_{(v)}$$

Portanto a estatística de teste observada $t_0$ a ser utilizada em todos os testes será:

$$t_0=\frac{\bar{d}-\triangle}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}\sim t_{(v)}$$

6.7.1 Teste Bilateral

Testa a diferença entre média populacional $\mu_{1}$ da amostra 1 e a média populacional $\mu_{2}$ da amotra 2. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{1}&= \mu_{2} \\ H_{A}: \mu_{1}&\neq \mu_{2} \\ \end{cases} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{1}-\mu_{2}&=0 \\ H_{A}: \mu_{1}-\mu_{2}&\neq 0 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.7.1.1 Função t.test

Podemos fazer este teste bilateral usando a função t.test.

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "two.sided", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## t = -2.7669, df = 13.196, p-value = 0.01583
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -26.694067  -3.305933
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      12.5      27.5

Note que a saída do R nos informa a estatística t, os graus de liberdade da distribuição de referência, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e as médias de cada uma das amostras.

6.7.1.2 Método do Valor Crítico

Os valores críticos são calculados para delimitar a região de rejeição da hipótese nula que está sendo testada.Nesse tipo de teste podemos calcular os valores críticos de duas maneiras, de forma que a análise pode ser de acordo com a estatística de teste ou com o valor da diferença da média $\triangle$ que está sendo testado.

No primeiro caso analisamos se a estatística de teste pertence ou não a região crítica, caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

Nesse caso os valores críticos são encontrados com $t_{(v);1- \frac{\alpha}{2}}$ para o valor crítico inferior e $t_{(v);\frac{\alpha}{2}}$ para o superior.

#calculando estatística de teste
estteste=(med1-med2 - Delta0)/sqrt((var1/n1 + var2/n2))
estteste

## [1] -2.76694

A estatística de teste encontrada nesse exemplo foi -2.76694.

#calculando o grau de liberdade
v=( (var1/n1 + var2/n2)^2 )/( ((var1/n1)^2)/(n1-1) + ((var2/n2)^2)/(n2-1)  )  

# calculando os valores críticos:
vc1 = qt(alpha/2,df=v,lower.tail=TRUE)
vc2 = qt(alpha/2,df=v,lower.tail=FALSE)
vc1

## [1] -2.157118

vc2

## [1] 2.157118

Neste caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que -2.157118(vc1) ou maior que 2.157118(vc2). Como a estatística de teste vale -2.76694, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,há evidências amostrais de que há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre comunidades metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona.

Quando utilizamos a diferença da média $\triangle$ na análise dos valores críticos verificamos se seu valor pertence ou não a região de rejeição, caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

Para calcular os valores críticos devemos considerar as fórmulas $\triangle - t_{\alpha;(v)} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}$ para o valor crítico inferior e $\triangle + t_{\alpha;(v)} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}$ para o valor crítico superior.

vc1 = Delta0 - qt(alpha/2,df=v,lower.tail=FALSE)*sqrt((var1/n1 + var2/n2))
vc1

## [1] -11.69407

vc2 = Delta0 + qt(alpha/2,df=v,lower.tail=FALSE)*sqrt((var1/n1 + var2/n2))
vc2

## [1] 11.69407

Neste caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a diferença da média $\triangle$ for menor que -11.69407(vc1) ou maior que 11.69407(vc2). Como a diferença entre as médias amostrais vale -15, rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja,há evidências amostrais de que há alguma diferença nas concentrações médias de arsênio entre comunidades metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona.

Nos seguintes tópicos usaremos apenas a primeira abordagem dos valores críticos para concluir a hipótese.

6.7.1.3 Método do Intervalo de Confiança

Podemos usar o intervalo de confiança da diferença entre as médias para fazer um teste de hipóteses, basta observar se o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\mu_1-\mu_2$ contém o 0(valor que está sendo testado para a diferença entre as médias). Se o intervalo não contém o 0, rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância, caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância.

$$IC_{\mu_1-\mu_2}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ (\bar{X_1}-\bar{X_2})-t_{\frac{\alpha}{2};(v)} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}; (\bar{X_1}-\bar{X_2})+t_{\frac{\alpha}{2};(v)} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}} \right]$$

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora:

li = med1-med2 - qt(alpha/2,df=v,lower.tail=FALSE)*sqrt((var1/n1 + var2/n2))
ls = med1-med2 + qt(alpha/2,df=v,lower.tail=FALSE)*sqrt((var1/n1 + var2/n2))
IC = c(li, ls)
IC

## [1] -26.694067  -3.305933

Usando a função t.test:

t.test(amostra1,amostra2, alternative = "two.sided", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] -26.694067  -3.305933
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para $\mu_1-\mu_2$ é $IC_{\mu_{1}-\mu_{2}}{(95\%)} =\left[-26.694067 \text{ }; \text{ }-3.305933 \right]$. Como o valor 0 não está contido no intervalo rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidências amostrais de que existe diferença nas concentrações médias de arsênio entre comunidades metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona.

6.7.1.4 Método Valor-p

O valor-p é a probabilidade de rejeitarmos erroneamente a hipótese nula com base nos dados amostrais, ou seja, rejeitá-la dado que ela é verdadeira.No caso bilateral, ele é calculado como sendo 2 vezes a probabilidade do quantil $t_{(v)}$ ser maior que o valor da estatística de teste $T^{'}$ calculada. Se o valor-p for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula, e se for maior, não rejeitamos.

$$\text{valor-p}= 2\cdot P(T_0 >|t_0| )$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p=2*pt(abs(estteste), df=v, lower.tail=FALSE)
valor.p

## [1] 0.01582728

Utilizando a função t.test:

t.test(amostra1,amostra2, alternative = "two.sided", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 0.01582728

O valor-p de 0.01582728 encontrado foi considerado pequeno (já que é menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que existe diferença nas concentrações médias de arsênio entre comunidades metropolitanas de Fênix e as comunidades rurais do Arizona.

6.7.2 Teste Unilateral Direito

Testa se a média populacional $\mu_{1}$ da amostra 1 é maior que a média populacional $\mu_{2}$ da amotra 2. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{1}&= \mu_{2} \\ H_{A}: \mu_{1}&> \mu_{2} \\ \end{cases} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{1}-\mu_{2}&=0 \\ H_{A}: \mu_{1}-\mu_{2}&> 0 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.7.2.1 Função t.test

Podemos fazer este teste unilateral direito usando a função t.test do R:

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "greater", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## t = -2.7669, df = 13.196, p-value = 0.9921
## alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0
## 95 percent confidence interval:
##  -24.58963       Inf
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      12.5      27.5

Note que a saída do R nos informa a estatística t, os graus de liberdade da distribuição de referência, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e as médias de cada uma das amostras.

6.7.2.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral direito, o valor crítico é encontrado com $t_{(v);\alpha}$

vcd = qt(alpha,df=v,lower.tail=FALSE)
vcd

## [1] 1.768928

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior que o valor crítico 1.768928(vcd). Sendo assim, como a estatística de teste -2.7669 é menor do que esse valor crítico, não rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, não há evidências amostrais de que a concentração média de arsênio nas comunidades metropolitanas de Fênix é maior do que a concentração média nas comunidades rurais do Arizona.

6.7.2.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral direito é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\mu_{1}-\mu_{2}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ (\bar{X_1}-\bar{X_2})-t_{\frac{\alpha}{2};(v)} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}};\text{ } \infty \right]$$ Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

li = med1-med2 - qt(alpha,df=v,lower.tail=FALSE)*sqrt((var1/n1 + var2/n2))
IC = c(li, Inf)
IC

## [1] -24.58963       Inf

Usando a função t.test:

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "greater", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1] -24.58963       Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para $\mu_1-\mu_2$ é $IC_{\mu_1-\mu_2}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ -24.58963;\text{ } \infty \right]$.Como o valor 0 está contido no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, não há evidências amostrais de que a concentração média de arsênio nas comunidades metropolitanas de Fênix é maior do que a concentração média nas comunidades rurais do Arizona.

6.7.2.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $t_{(v)}$ ser maior que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(T_0> t_0)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p=pt(estteste, df=v, lower.tail=FALSE)
valor.p

## [1] 0.9920864

Utilizando a função t.test:

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "greater", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 0.9920864

O valor-p de 0.9920864 encontrado foi considerado elevado (já que foi maior do que $\alpha$=0.05), de forma que não rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância. Ou seja, não há evidências amostrais de que a concentração média de arsênio nas comunidades metropolitanas de Fênix é maior do que a concentração média nas comunidades rurais do Arizona.

6.7.3 Teste Unilateral Esquerdo

Testa se a média populacional $\mu_{1}$ da amostra 1 é menor que a média populacional $\mu_{2}$ da amotra 2. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{1}&= \mu_{2} \\ H_{A}: \mu_{1}&< \mu_{2} \\ \end{cases} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \mu_{1}-\mu_{2}&=0 \\ H_{A}: \mu_{1}-\mu_{2}&< 0 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.7.3.1 Função t.test

Podemos fazer este teste unilateral esquerdo usando a função t.test do R:

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "less", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## t = -2.7669, df = 13.196, p-value = 0.007914
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf -5.41037
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##      12.5      27.5

Note que a saída do R nos informa a estatística t, os graus de liberdade da distribuição de referência, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e as médias de cada uma das amostras.

6.7.3.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral esquerdo, o valor crítico é encontrado com $t_{(v);1-\alpha}$.

vc2 =qt(alpha,df=v,lower.tail=TRUE)
vc2

## [1] -1.768928

Como se trata do caso unilateral esquerdo, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é menor que o valor crítico -1.768928(vcd). Sendo assim, como a estatística de teste -2.7669 é menor do que esse valor crítico, rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que a concentração média de arsênio nas comunidades metropolitanas de Fênix é menor do que a concentração média nas comunidades rurais do Arizona.

6.7.3.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral esquerdo é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira: $$IC_{\mu_{1}-\mu_{2}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[\text{ } -\infty ;(\bar{X_1}-\bar{X_2})+t_{\frac{\alpha}{2};(v)} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}} \right]$$

Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

ls = med1-med2 + qt(alpha,df=v,lower.tail=FALSE)*sqrt((var1/n1 + var2/n2))
IC = c(-Inf, ls)
IC

## [1]     -Inf -5.41037

Usando a função t.test:

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "less", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)$conf.int

## [1]     -Inf -5.41037
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para $\mu_1-\mu_2$ é $IC_{\mu_1-\mu_2}{100(1 − \alpha)\%} = \left[\text{ } -\infty; -5.41037\right]$.Como o valor 0 não está contido no intervalo,rejeitamos a hipótese nula, ou seja,há evidências amostrais de que a concentração média de arsênio nas comunidades metropolitanas de Fênix é menor do que a concentração média nas comunidades rurais do Arizona.

6.7.3.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $t_{(v)}$ ser menor que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(T_0 < t_0)$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

valor.p=pt(abs(estteste), df=v, lower.tail=FALSE)
valor.p

## [1] 0.007913642

Utilizando a função t.test:

t.test(amostra1, amostra2, alternative = "less", 
       mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, 
       conf.level = 1-alpha)$p.value

## [1] 0.007913642

O valor-p de 0.007913642 encontrado foi considerado pequeno (já que é menor do que $\alpha$=0.05), de forma que rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância. Ou seja, há evidências amostrais de que a concentração média de arsênio nas comunidades metropolitanas de Fênix é menor do que a concentração média nas comunidades rurais do Arizona..

6.8 Teste F para comparação de duas variâncias

Dois catalisadores estão sendo analisados para determinar como eles afetam o rendimento médio de um processo químico. Deseja-se investigar, a um nível de 5% de significância, se a variância do tendimento dos dois catalisadores é igual. Para isso, será realizado um teste para a variância.

Primeiramente, vamos abrir o banco de dados e definir as variáveis.

No teste para a comparação de duas variâncias, consideramos duas amostras independentes de tamanhos $n_{1}$ e $n_{2}$. Para realizar essa comparação, calculamos se a razão entre as variâncias amostrais é estatisticamente diferente, superior ou inferior a 1 (se essa razão for igual a 1, temos que as variâncias são estatisticamente iguais).

Seja $U\sim\chi^{2}_{m}$ uma variável aleatória qui-quadrado com graus de liberdade $m$ e $V\sim\chi^{2}_n$ uma variável aleatória qui-quadrado com graus de liberdade $n$. A variável aleatória $F=\frac{U/m}{V/n}$ segue uma distribuição $F$ com graus de liberdade $m$ e $n$ que são chamados, respectivamente, de graus de liberdade do numerador e do denominador. Como a variância amostral de uma amostra de tamanho $n$ segue uma qui-quadrado dividida pelos seus $n-1$ graus de liberdade, a variável correspondente à razão entre as variâncias seguirá uma distribuição qui-quadrado.

Assim, na distribuição $F$ que usaremos neste teste para comparação de variâncias, os graus de liberdade serão $n_{1}-1$ e $n_{2}-1$, como a seguir:

$$F = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F_{n_{1}-1 ; n_{2}-1}$$

em que $S_{1}^{2}$ é a variável aleatória média amostral do grupo 1 e $S_{2}^{2}$ é a variável aleatória média amostral do grupo 2.

Temos que a distribuição sob $H_{0}$, ou seja, a distribuição da estatística de teste, é:

$$F_{0} = \frac{S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}} \sim F_{n_{1}-1 ; n_{2}-1}$$

Portanto, a estatística de teste observada $f_{0}$ a ser utilizada em todos os testes será: $$f_{0} = \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}$$

em que $s_{1}^{2}$ é a média amostral calculada com os dados do grupo 1 e $s_{2}^{2}$ é a média amostral calculada com os dados do grupo 2.

6.8.1 Teste Bilateral

Testamos a diferença entre a variância populacional $\sigma_{1}^{2}$ da amostra 1 e a variância populacional $\sigma_{2}^{2}$ da amostra 2 a partir da comparação das variâncias amostrais de ambos grupos. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \sigma_{1}^{2} &= \sigma_{2}^{2} \\ H_{A}: \sigma_{1}^{2} &\neq \sigma_{2}^{2} \\ \end{cases} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} &= 1 \\ H_{A}: \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} &\neq 1 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.8.1.1 Função var.test

Podemos fazer este teste bilateral usando a função var.test.

var.test(amostra1, amostra2, data = dados)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## F = 0.63907, num df = 7, denom df = 7, p-value = 0.5691
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1279433 3.1920724
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.6390651

Note que a saída do R nos informa a estatística F, os graus de liberdade da distribuição de referência, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e a razão das variâncias amostrais.

6.8.1.2 Método do Valor Crítico

Os valores críticos são calculados para delimitar a região de rejeição da hipótese nula que está sendo testada. Assim, analisamos se a estatística de teste pertence ou não a região crítica; caso a resposta seja afirmativa, rejeitamos $H_{0}$ ao nível $\alpha$ de significância, e não rejeitamos caso contrário.

Os valores críticos inferior e superior correspondem, respectivamente, aos quantis $\alpha$ e $1-\alpha$ da distribuição $F$ com $n_{1}-1$ graus de liberdade no numerador e $n_{2}-1$ no demoninador. Devida ao grande número de combinações de graus de liberdade e quantis possíveis, esses valores são tabelados para os quantis mais frequentemente utilizados. No entanto, com o R podemos encontrar os quantis de qualquer combinação de graus de liberdade e quantil que se deseje, com a função qf().

#calculando estatística de teste:
estteste = var1/var2
estteste

## [1] 0.6390651

A estatística de teste encontrada nesse exemplo foi 0.6390651.

vc1 = qf(alpha, gl1,gl2)
vc2 = qf(1-alpha, gl1,gl2)
vc1

## [1] 0.2640582

vc2

## [1] 3.787044

Neste caso, devemos rejeitar a hipótese nula se a estatística de teste for menor que 0.2640582(vc1) ou maior que 3.787044(vc2). Como a estatística de teste vale 0.6390651, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 5%, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais.

6.8.1.3 Método do Intervalo de Confiança

Podemos usar o intervalo de confiança da razão das variâncias para fazer um teste de hipóteses, basta observar se o intervalo de $100(1-\alpha)\%$ de confiança para $\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}$ contém o 1. Se o intervalo não contém o 1, rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância, caso contrário, não rejeitamos a hipótese nula ao nível de $\alpha\%$ de significância.

$$IC_{\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \frac{1}{F_{{n_{2}-1 , n_{1}-1};\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}\cdot\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \text{ };\text{ } F_{{n_{1}-1 , n_{2}-1};\left( \frac{\alpha}{2}\right)}\cdot\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \right]$$

Como as tabelas da distribuição F nos informam apenas a área acima da do quantil, para encontramos o quantil cuja área abaixo vale $\frac{\alpha}{2}$ devemos transformar a variável. Tal transformação consiste em inverter os graus de liberdade da distribuição e depois inverter o valor do quantil encontrado para esta distribuição com os graus invertidos. Assim, a área abaixo do quantil $F_{n_{1}-1,n_{2}-1;\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}$ é a mesma que a acima do quantil $\frac{1}{F_{{n_{2}-1 , n_{1}-1};\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}$. Se estivermos utilizando o R, no entanto, o quantil da área abaixo pode ser encontrado com a função qf().

Ao final deste exemplo, é apresentada a explicação teórica para a inversão dos graus de liberdade da $F$ e do quantil.

Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora:

IC <- c(qf(alpha/2,gl1,gl2,lower.tail=TRUE)* var1/var2 , qf((alpha/2),gl1,gl2,lower.tail=F)* var1/var2)
# ou podemos calcular como na fórmula
#IC <- c(1/qf((alpha/2),gl2,gl1,lower.tail=F) * var1/var2, qf((alpha/2),gl1,gl2,lower.tail=F)* var1/var2)
IC

## [1] 0.1279433 3.1920724

Usando a função var.test:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alt="two.sided")$conf.int

## [1] 0.1279433 3.1920724
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para as variâncias da produção de bebidas nos meses de julho e agosto de 2019 é $IC_{\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}}{(95\%)} =\left[0.1279433 \text{ }; \text{ }3.1920724 \right]$. Como a estatística de teste $f_{0}$=0.6390651 está contida no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, ao nível de significância de 5% há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.1.4 Método Valor-p

O valor-p é a probabilidade de rejeitarmos erroneamente a hipótese nula com base nos dados amostrais, ou seja, rejeitá-la dado que ela é verdadeira. Como a distribuição $F$ é assimétrica, no caso bilateral ele é calculado como sendo 2 vezes o mínimo entre a probabilidade do quantil $F_{n_{1}-1 ; n_{2}-1}$ ser maior que o valor da estatística de teste $f_{0}$ calculada e a probabilidade dele ser menor. Se o valor-p for menor ou igual ao nível de significância, rejeitamos a hipótese nula, e se for maior, não rejeitamos.

$$\text{valor-p}= 2 \cdot \text{min}\{ P(F > f_{0});P(F < f_{0})\}$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = var1/var2
valor.p = 2*min(pf(q=estteste, df1=gl1, df2=gl2, lower.tail=TRUE),pf(q=estteste, df1=gl1, df2=gl2, lower.tail=FALSE))
valor.p

## [1] 0.569131

Utilizando a função var.test:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alt="two.sided")$p.value

## [1] 0.569131

O valor-p de 0.569131 encontrado foi considerado elevado (já que é maior do que $\alpha$=0.05), de forma que .não rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.2 Teste Unilateral Direito

Testamos se a variância populacional $\sigma_{1}^{2}$ da amostra 1 é maior que a variância populacional $\sigma_{2}^{2}$ da amostra 2. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \sigma_{1}^{2} &= \sigma_{2}^{2} \\ H_{A}: \sigma_{1}^{2} &> \sigma_{2}^{2} \\ \end{cases} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} &= 1 \\ H_{A}: \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} &> 1 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.8.2.1 Função var.test

Podemos fazer este teste unilateral direito usando a função var.test do R:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alternative="greater", conf.level=1-alpha)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## F = 0.63907, num df = 7, denom df = 7, p-value = 0.7154
## alternative hypothesis: true ratio of variances is greater than 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.1687504       Inf
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.6390651

Note que a saída do R nos informa a estatística F, os graus de liberdade da distribuição de referência, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e a razão das variâncias amostrais.

6.8.2.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral direito, o valor crítico é encontrado com $F_{(n_{1}-1 , n_{2}-1);1-\alpha}$.

#calculando o valor crítico
vcd= qf(1-alpha,gl1,gl2)
vcd

## [1] 3.787044

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior que o valor crítico 3.787044 (vcd). Sendo assim, como a estatística de teste 0.6390651 é menor do que esse valor crítico, não rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.2.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral direito é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ \frac{1}{F_{n_{2}-1,n_{1}-1;(\alpha)}}\cdot\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}\text{ };\text{ } \infty \right]$$ Como no teste unilateral direito queremos encontrar a área abaixo do quantil $F_{n_{1}-1,n_{2}-1;(1-\alpha)}$, devemos calcular $\frac{1}{F_{n_{2}-1,n_{1}-1;(\alpha)}}$ com a tabela. Novamente, o R pode calcular este quantil inferior sem que a transformação seja necessária.

Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

IC <- c(qf(alpha,gl1,gl2,lower.tail = TRUE) * var1/var2, Inf)
# ou, como na fórmula
#IC <- c(1/(qf((alpha),gl2,gl1,lower.tail = FALSE)) * var1/var2, Inf)
IC

## [1] 0.1687504       Inf

Usando a função var.test:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alt="greater")$conf.int

## [1] 0.1687504       Inf
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para as variâncias da produção de bebidas nos meses de julho e agosto de 2019 é $IC_{\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}}{(95\%)} =\left[0.1687504 \text{ }; \text{ }\infty \right]$. Como a estatística de teste $f_{0}$=0.6390651 está contida no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.2.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ ser maior que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(F > f_{0})$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = var1/var2
valor.p = pf(q=estteste, df1=gl1, df2=gl2, lower.tail=FALSE)
valor.p

## [1] 0.7154345

Utilizando a função var.test:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alt="greater")$p.value

## [1] 0.7154345

O valor-p de 0.7154345 encontrado foi considerado elevado (já que foi maior do que $\alpha$=0.05), de forma que não rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.3 Teste Unilateral Esquerdo

Testa se a variância populacional $\sigma_{1}^{2}$ da amostra 1 é menor que a variância populacional $\sigma_{2}^{2}$ da amostra 2. $$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \sigma_{1}^{2} &= \sigma_{2}^{2} \\ H_{A}: \sigma_{1}^{2} &< \sigma_{2}^{2} \\ \end{cases} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \begin{cases} H_{0}: \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} &= 1 \\ H_{A}: \frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}} &< 1 \\ \end{cases} \end{aligned}$$

6.8.3.1 Função var.test

Podemos fazer este teste unilateral esquerdo usando a função var.test do R:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alternative="less", conf.level=1-alpha)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  amostra1 and amostra2
## F = 0.63907, num df = 7, denom df = 7, p-value = 0.2846
## alternative hypothesis: true ratio of variances is less than 1
## 95 percent confidence interval:
##  0.000000 2.420168
## sample estimates:
## ratio of variances 
##          0.6390651

Note que a saída do R nos informa a estatística F, os graus de liberdade da distribuição de referência, o valor-p, a hipótese alternativa, o intervalo de confiança ao nível $(1-\alpha)100\%$ e a razão das variâncias amostrais.

6.8.3.2 Método do Valor Crítico

No caso unilateral esquerdo, o valor crítico é encontrado com $F_{(n_{1}-1 , n_{2}-1);\alpha}$.

#calculando o valor crítico
vce= qf(alpha,gl1,gl2)
vce

## [1] 0.2640582

Como se trata do caso unilateral direito, para concluir o teste de hipótese basta verificar se a estatística de teste é maior que o valor crítico 0.2640582 (vce). Sendo assim, como a estatística de teste 0.6390651 é maior do que o valor crítico encontrado , não rejeitamos $H_{0}$ ao nível de 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.3.3 Método do Intervalo de Confiança

O intervalo para o caso unilateral esquerdo é interpretado da mesma maneira que o bilateral, e é calculado da seguinte maneira:

$$IC_{\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}}{100(1 − \alpha)\%} = \left[ 0 \text{ };\text{ } F_{n_{1}-1,n_{2}-1;(\alpha)}\cdot\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \right]$$ Neste caso, como o que desejamos é justamente a área acima, nenhuma transformação precisa ser feita, uma vez que a tabela nos fornece os quantis da cauda direita.

Calculando o intervalo usando o R como uma calculadora:

IC <- c(0,qf(alpha,gl1,gl2,lower.tail = FALSE)* var1/var2)
IC

## [1] 0.000000 2.420168

Usando a função var.test:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alt="less")$conf.int

## [1] 0.000000 2.420168
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

Temos que o intervalo de confiança para as variâncias da produção de bebidas nos meses de julho e agosto de 2019 é $IC_{\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}}{(95\%)} =\left[0 \text{ }; \text{ }2.420168 \right]$. Como a estatística de teste $f_{0}$=0.6390651 está contida no intervalo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, ao nível de 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.3.4 Método Valor-p

No caso unilateral direito, o valor-p é apenas a probabilidade do quantil $F_{n_{1}-1,n_{2}-1}$ ser menor que a estatística de teste calculada.

$$\text{valor-p}= P(F < f_{0})$$ Fazendo as contas passo a passo, utilizando o R como uma calculadora

estteste = var1/var2
valor.p = pf(q=estteste, df1=gl1, df2=gl2, lower.tail=TRUE)
valor.p

## [1] 0.2845655

Utilizando a função var.test:

var.test(amostra1,amostra2, data = dados, alt="less")$p.value

## [1] 0.2845655

O valor-p de 0.2845655 encontrado foi considerado elevado (já que é maior do que $\alpha$=0.05), de forma que não rejeitamos $H_{0}$ ao nível 5% de significância, ou seja, há evidências amostrais de que as variâncias dos tendimentos dos dois catalisadores são iguais .

6.8.4 Transformação da F

Temos que $F_{n_{1}-1,n_{2}-1;\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} = \frac{1}{F_{{n_{2}-1 , n_{1}-1};\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}$ pois:

$$ \begin{aligned}

&= P(F_{m,n} < f_{m,n;( 1- )}) \ &= P( > ) \ &= P(F_{n,m} > ) \ &= P(F_{n,m} > f_{n,m;( )})

\end{aligned} $$

Para chegar no resultado acima, temos que $\frac{1}{F_{n_{1}-1,n_{2}-1}} = F_{n_{2}-1,n_{1}-1}$ pois a :

$$ \begin{aligned}

F_{m,n} = \ \ = = = F_{n,m} \ \ U ^2_{m}V ^2_{n} \end{aligned} $$

6.9 Exercícios

1- A função rnorm serve para gerar aleatoriamente dados provenientes de uma distribuição normal. Utilize essa função para gerar três amostras de uma distribuição normal com média µ = 100 e desvio padrão σ = 25. A primeira de tamanho n = 10, a segunda de tamanho n = 30 e a terceira de tamanho n = 100. Para cada uma das amostras, considerando um nível de significância α =0.05 e variância desconhecida, teste as seguintes hipóteses: a) H0 : µ = 110 vs H1 : µ 110 b) H0 : µ = 110 vs H1 : µ < 110 c) H0 : µ = 110 vs H1 : µ > 110 Explique como o tamanho da amostra interfere no resultado.

2- Considerando o banco de dados carro, pede-se: a) Um especialista em vendas de carros acredita que o preço médio dos automóveis é 40 mil. Formule as hipóteses e realize o teste adequado para verificar se o especialista tem razão. b) O especialista também desconfia que 40% dos carros vendidos são da cor branca. Formule as hipóteses e realize o teste adequado para verificar se o especialista tem razão.

3- O especialista da questão anterior ainda fez outra hipótese: Ele afirmou que a condição do carro (novo ou usado) e o tipo de transmissão (manual ou automático) são variáveis associadas. Utilize o teste de hipóteses adequado para conferir se ele está certo.

4- Um produtor de vinho desejava fazer uma pesquisa e coletou informações sobre várias marcas de vinho. Agora, essas informações estão disponíveis no banco de dados vinho e seu papel é ajudar o produtor à responder as seguintes dúvidas: a) Qual é o percentual alcoólico médio dos vinhos? Obtenha um intervalo de confiança com 99% de confiança. b) Existe diferença entre o teor alcoólico médio dos vinhos com qualidade menor que 6 e os vinhos com qualidade maior ou igual a 6? c) Existe diferença entre o pH médio dos vinhos com teor alcoólico menor ou igual a 10 e os vinhos com teor maior que 10?

5- Um veterinário realizou um experimento para entender sobre o efeito de duas substâncias (suco de laranja e ácido ascórbico) no crescimento dos dentes de porcos. Para isso, ele testou ambas as substâncias com 3 concentrações diferentes: 0.5, 1 e 2 miligramas por dia e colocou os resultados no banco de dados ToothGrowth. Faça o teste de hipótese adequado para descobrir se: a) O suco de laranja é mais eficaz na concentração 0.5 mg/dia. b) O tamanho do médio do dente do grupo tratado com ácido ascórbico e dose de 2 mg/dia é maior que 25mm. c) As substâncias tiveram efeitos diferentes na concentração 1 mg/dia.

6- Um engenheiro químico estava interessado em descobrir qual elemento químico tinha um maior gasto anual médio em sua fábrica de fertilizantes desde a fundação, em 1950. Para isso, ele obteve um relatório que continha o total anual de gastos desde 1992 (banco de dados “fertilizante” do pacote exatas). Ele sabe que o Potássio e o Fósforo foram os dois mais utilizados, mas não tem certeza qual deles foi o mais utilizado. Realize o teste de hipóteses adequado e descubra se eles tiveram gastos anuais médios diferentes.

7- Um estudo foi feito para entender o efeito de duas drogas sobre o sono de estudantes e o resultado está no banco de dados sleep. Para cada indivíduo foi medido o acréscimo médio nas horas de sono. Responda às seguintes dúvidas dos pesquisadores: a) Qual foi a média de acréscimo no sono dos estudantes do grupo 1? faça um intervalo de confiança com 95% de confiança. b) Qual foi a média de acréscimo no sono dos estudantes do grupo 2? faça um intervalo de confiança com 95% de confiança. c) É possível afirmar que as drogas tiveram efeitos diferentes no sono dos estudantes? Construa as hipóteses e tire a conclusão.

6.10 Gabarito

1- Como a função rnorm gera amostras aleatórias, não há gabarito para esta questão. Entretanto, o aumento no tamanho da amostra traz resultados mais confiáveis, aumentando o P-valor quando a hipótese nula não deve ser rejeitada e diminuindo-o quando a hipótese nula deve ser rejeitada.

2- a) Considerando 5% de significância, o especialista está errado, ou seja, a média no preço dos carros não é 40 mil. (P-valor = 0.03036) b) Com a mesma significância usada no item acima, concluímos que a hipótese do especialista está certa. Logo 40% dos carros vendidos têm a cor branca. (P-valor = 0.7627)

3- Usando 5% de significância, tiramos a conclusão de que as variáveis são independentes. (P-valor = 0.2265)

4- a) [10.35426;10.49171] b) Considerando significância de 5%, rejeitamos a hipótese nula. Assim, concluímos que os vinhos com qualidade menor que 6 e os vinhos com qualidade maior ou igual a 6 não têm o mesmo teor alcoólico médio. (P-valor < 2.2e-16) c) Usando a mesma significância do item acima, também rejeitamos a hipótese nula. Logo, os vinhos com teor alcoólico menor ou igual a 10 e os vinhos com teor alcoólico maior que 10 não tem o mesmo pH médio. (P-valor = 3.311e-10)

5- a) Usando 5% de significância, há evidência amostral para rejeitar a hipótese nula. Logo, o suco de laranja foi mais eficaz (teve maior média) nessa concentração. (P-valor = 0.003179) b) Considerando a mesma significância usada acima, não há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula. Assim, não podemos concluir que a média do tamanho do dente para a população dos porcos tratados com ácido ascórbico usando uma dose de 2 mg/dia é maior que 25mm. (P-valor = 0.2358) c) Ainda com 5% de significância, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, as duas substâncias tiveram efeitos diferentes sob a concentração 1 mg/dia. (P-valor = 0.001038)

6- Considerando uma significância de 5%, não rejeitamos a hipótese nula. Assim, não há evidência amostral de que os gastos anuais médios de fósforo e potássio na indústria são diferentes. (P-valor = 0.1787)

7- a) [-0.5297804;2.0297804] b) [0.8976775;3.7623225] c) Considerando 5% de significância, não rejeitamos a hipótese nula. Logo, não há evidência amostral de que as drogas tenham efeitos diferentes no sono dos pacientes. (P-valor = 0.07939)