Chapter 4 SESIÓN 3: Introducción al cálculo de derivadas

Sobre el Grupo 0: Recuerda: es importante que utilices las tutorías escribiendo, a través del Campus Virtual, a tu tutor/a. No mantengas las dudas durante 15 días. Recuerda, además, que este año el Grupo 0 tiene evaluación. En esta sesión se te evaluará sobre lo que has aprendido de la sesión 2.

Puedes ver, ahora, el segundo vídeo de Matemáticas GO que trata de acercarte, de una forma divertida, la idea de derivada. Si hay que hacer hablar a los famosos, se les hace hablar :). Vuelve a salir, por cierto, la película de “Cielo de Octubre” y unos chicos de los que somos muy fans, porque se han inventado un baile para las derivadas.

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Ahora es el momento de que veas el primer vídeo Brick sobre cálculo de derivadas. En este, insistimos- de nuevo- en el concepto.

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4.1 Brick 6: (entero)

Ejercicio 1

Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en los intervalos proporcionados (mira desde el minuto 9:50 de nuevo)

  • a: \(f(x)=2x\), en el intervalo \([x_0,x_1]\), \(x_0,x_1\in\mathbb{R}\)
  • b: \(f(x)=ax+b\), en el intervalo \([x_0,x_0+h]\), \(a,b\in\mathbb{R}\) y con \(h>0\) ¿qué ocurre si \(h<0\)?
  • c: \(f(x)=2\left\lvert x-1 \right\rvert\), en el intervalo \([1,1+h]\), y con \(h>0\) ¿qué ocurre si \(h<0\)?
  • d: \(f(x)=4x^{1/2}+b\), en el intervalo \([0,h]\), y con \(h>0\) y \(b\in \mathbb{R}\).

Calcula ahora, usando la definición de derivada (que empieza en el minuto 12.20), las derivadas de las funciones anteriores en los puntos que se te indican. ¿Cuáles de ellas son derivables?

  • a: \(f(x)=2x\), en el punto \(x=x_0\)
  • b: \(f(x)=ax+b\), en el punto \(x=1\) y en un punto genérico \(x=x_0\)
  • c: \(f(x)=2\left\lvert x-1 \right\rvert\), en los puntos \(x=-1\), \(x=0\), \(x=1\)
  • d: \(f(x)=4x^{1/2}+b\), en el punto \(x=0\)

¿Es la función \(f(x)=2\left\lvert x-1 \right\rvert\) continua? ¿Es derivable?

Ahora, otro vídeo de derivadas. En este ya hay que aprenderse las expresiones de las derivadas más comunes

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4.2 Brick 7: minutos 0:00 a 4:36

Soluciones de las derivadas propuestas en el vídeo

  • 1: \(f'(x)=2\),
  • 2: \(f'(x)=3x^2\)
  • 3: \(f'(x)=\frac{1}{4^{3/4}}\)
  • 4: \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
  • 5: \(f'(x)=2x+1\)
  • 6: \(f'(x)=\frac{10x^{4}+1}{x}\)
  • 7: \(f'(x)=\frac{1}{2\sqrt(x)}e^x+e^x\sqrt(x)=\frac{e^x(2x+1)}{2\sqrt(x)}\)
  • 8: \(f'(x)=2x ln{x} +x=x(2 ln{x}+1)\)
  • 9: \(f'(x)=\frac{(x^2+2x-1)}{(x+1)^2}\) -10: \(f'(x)=\frac{(1-ln{x})}{x^2}\)

4.3 Brick 7: minutos 4:36 al fin

Ejercicio 2

Calcula las sifuientes derivadas (dejando el resultado lo más simplificado posible)

  • 1: \(f(x)=\sqrt{2x}-2/x^{2}+\sqrt{3}\),
  • 2: \(f(x)=(3x^2-x+2)/x\)
  • 3: \(f(x)=\sqrt{2/x}-e^{3}\)
  • 4: \(f(x)=1/(2\sqrt{x})\)
  • 5: \(f(x)=a^2e^{\sqrt{ax}}+3cos(2x^2-\sqrt{a})\)
  • 6: \(f(a)=a^2e^{\sqrt{ax}}+3cos(2x^2-\sqrt{a})\) MirA lA diferenciA :)
  • 7: \(f(x)=ln{\sqrt{(x^2+1)/(x^2-1)}}\) (a lo mejor te interesa aplicar las propiedades del logaritmo)

Ejercicio 3

Calcula \(a,b\) para que la función \(f(x)\) sea derivable

\[\begin{equation} f(x) = \begin{cases} a/x & \text{si } x \leq -1 \\ (x^{2}-b)/4 & \text{si } x > -1 \end{cases} \tag{4.1} \end{equation}\]