Chapter 3 SESIÓN 2: Funciones no lineales y cónicas

Sobre el Grupo 0: Recuerda: es importante que utilices las tutorías escribiendo, a través del Campus Virtual, a tu tutor/a. No mantengas las dudas durante 15 días. Recuerda, además, que este año el Grupo 0 tiene evaluación. En esta sesión se te evaluará sobre lo que has aprendido de la sesión 1.

En el siguiente vídeo vas a recordar las parábolas y las funciones potenciales (de las que las parábolas son un caso particular)

OJO!

• Es posible que tengas que ver el vídeo varias veces
• Si alguna idea te parece confusa, acude a tu libro de bachillerato y profundiza más en ella.

3.1 Brick 3: Minutos 0:00 a 3:16

Ejercicio 1

Sea la función $f(x)=ax^2+bx+c$. Sabiendo que los puntos $(1,-3)$, $(0,-6)$, $(3,15)$, son puntos de su gráfica: calcula los valores de $a,b,c$

Ejercicio 2

Dibuja las gráficas de $f(x)=x^2$, $g(x)=(x-2)^2$, $h(x)=x^2+3$ ¿Cómo se relacionan dichas gráficas?

Ejercicio 3

Una forma muy cómoda de escribir una parábola es así: $y=(x-2)(x-8)$ ¿Por qué? ¡ya nos da las raíces de la ecuación de segundo grado!. Dibújala.

3.2 Brick 3: Minutos 3:16 a fin

Ejercicio 4

Escribe de forma simplificada y, posteriormente, dibuja las siguientes funciones potenciales

• $f(a)=(((a^{1/2})^{2/3})^{3/4})^{4/5}$

• $g(x)=(((3x)^{-1})^{-2}(2x^{-2})^{-1})/x^{-3}$

Ejercicio 5

Determina, mediante gráficas, y para cada par de funciones, cuál tiene mayor imagen cuando $x$ es “muy” grande.

• a: $f(x)=10x^2$ y $g(x)=x^3/10$
• b: $h(x)=x^{1/2}$ y $i(x)=4x^{1/3}/3$

Ahora es el momento de ver el siguiente vídeo. Lo dedicamos a dos funciones muy, pero que muy necesarias en economía: las logarítmicas y las exponenciales

3.3 Brick 4: Minutos 0:00 a 5:04

Asegúrate de que, en los ejercicios del minuto 3:50, obtienes

• a: $3^{2y-x}$
• b: $1$

Ejercicio 6

Una libreta de ahorros con un capital inicial de $600$ euros, produce un $3$% de interés anual

Escribe una función que represente el capital que se obtendrá en el año $t$ y responde

• a: ¿Cuánto tiempo tendrá que pasar para que reciba $655.63$ euros?
• b: ¿Qué ocurre con el capital si $t$ se vuelve “muy grande”?

Ejercicio 7

Responde a las siguientes preguntas relacionadas con la función exponencial

• a: Calcula el dominio e imagen de las funciones $f(x)=4+e^{-x}$,$g(x)=5+e^{x-1}$
• b: Dibuja las funciones anteriores a partir del dibujo de la función $e^{x}$
• c: Representa la región del plano que satisface el siguiente subconjunto $S=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : y-e^{-x}\leq 0, y-x^{1/2}\leq 0\right\}$

3.4 Brick 4: Minutos 5:14 a fin

Ejercicio 8

Después de desactivar una bomba, el agente especial 00.0 regresa a casa y se entera de que su mejor amigo “Siggy”, ha sido asesinado. La policía dice que el cuerpo fue encontrado a la 1 de la madrugada del jueves, en un frigorífico a 10ºF. También le dijeron que la temperatura del cadáver, cuando lo encontraron, era de 40ºF. Se sabe que la temperatura de un cuerpo, después de muerto, sigue la función

$$T=T_{a}+(98.6-T_a)(0.97)^t$$

Donde $T_a$ es la temperatura del aire que rodea el cuerpo y $t$ son las horas. El agente sabe que el asesinato fue cometido o por Ernest Stabros o por André Scélérat. Si el primero estuvo en la cárcel hasta el miércoles y el segundo fue visto en Las Vegas desde el mediodía del miércoles hasta el viernes: ¿quién cometió el crimen?

pista:necesitas obtener $t$ para los datos de los que dispones

Ejercicio 9

Demuestra las siguientes igualdades

• a: $ln(x)-x=ln(x/e^{x})$
• b: $ln (x) - ln(y) + ln(z) =ln(xz/y)$
• c: $3 +2ln(x)=ln(e^{3}x^2)$

Simplifica las expresiones siguientes

• a: $e^{lnx}-ln{e^x}$
• b: $ln(x^4 e^{-x})$
• c: $e^{ln{x^2}-2ln{x}}$

Llega el momento de ver el último vídeo de esta sesión: el “Brick #5”

3.5 Brick 5: Minutos 0:00 a 7:24

Ejercicio 10

Halla la expresión analítica de las siguientes curvas en el plano y dibújalas.

• a: Circunferencia que tiene centro (2,-4) y radio 3
• b: Elipse con ejes principales paralelos a los ejes coordenados con centro (1,0) y longitud de semiejes $(a,b)=(2,3)$

Representa el siguiente conjunto de puntos:

$S=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : 4(x-2)^2+(y-3)^2 \geq 4, (x-2)^2 + 4(y-3)^2\leq4\right\}$

3.6 Brick 5: Minutos 7:25 a fin

Ejercicio 11

Dentro de $t$ años, la población de una comunidad será

$$p(t)=20- 6/(1+t)$$

Haz un gráfico aproximado y responde

• a: ¿Cuál es el dominio y el dominio natural de esta función?
• b: ¿Cuál será la población dentro de 9 años?
• c: ¿Qué ocurre si “t” se hace grande?

Sobre los vídeos: Es importante que sepas que los ejercicios de los vídeos se consideran como “ejercicios resueltos” que debes también saber hacer.