Rozdział 8 Korelacja
8.2 Współczynnik korelacji Pearsona
Współczynnik korelacji Pearsona1 mierzy siłę asocjacji (statystycznego skojarzenia, współzależności, powiązania) pomiędzy dwiema cechami.
Wartości współczynnika korelacji mogą przyjmować wartości z przedziału od -1 do 1 (włącznie).
Jeżeli "chmura punktów" na wykresie wznosi się w kierunku wzrostu wartości na osi x (czyli w prawo), oznacza to, że w miarę wzrostu jednej zmiennej, rośnie — średnio rzecz biorąc — również druga. W takiej sytuacji korelacja jest dodatnia.
Ujemna korelacja występuje, kiedy chmura punktów na wykresie rozrzutu opada (w prawo). Dzieje się tak wtedy, gdy w miarę wzrostu jednej zmiennej tzn. gdy jedna zmienna rośnie, druga maleje.
Korelacja równa dokładnie 1 lub -1 oznacza zależność funkcyjną, liniową, między dwoma cechami. Znak (1 lub -1) zależy od znaku współczynnika nachylenia funkcji pozwalającej przekształcać jedną zmienną w drugą.
Im "luźniej" punkty są zgromadzone wokół linii prostej, tym bliższa zeru jest wartość współczynnika korelacji Pearsona. Punkty zgromadzone ciasno wokół linii prostej odpowiadają wartościom współczynnika bliskim 1 lub -1.
Rysunek 8.1: Przykładowe wykresy rozrzutu dla nieujemnych wartości współczynnika korelacji
Rysunek 8.2: Przykładowe wykresy rozrzutu dla ujemnych wartości współczynnika korelacji
Jeżeli na wykresie rozrzutu punkty układają się tak, jak przedstawiono na wykresach 8.1 i 8.2 — tzn. grupują się wokół linii prostej, w przypadku niższej współzależności kształt przypomina pochyloną elipsę, — to do opisu łącznego rozkładu dwóch cech można użyć pięciu liczb:
średniej zmiennej X,
odchylenia standardowego zmiennej X,
średniej zmiennej Y,
odchylenia standardowego zmiennej Y
oraz współczynnika korelacji pomiędzy zmienną X i zmiennej Y.
8.2.1 Współczynnik korelacji — wzór
Wzór na współczynnik korelacji możemy zapisać na wiele równoważnych sposobów.
Korzystając tylko z wartości cech X i Y oraz ich średnich, współczynnik korelacji Pearsona można obliczyć następująco:
\[r(X,Y) = r_{xy} = \frac{\sum_i{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sqrt{\sum_i(x_i-\bar{x})^2\sum_i(y_i-\bar{y})^2}} \tag{8.1} \]
Alternatywny popularny zapis wzoru na współczynnik korelacji liniowej Pearsona jest następujący:
\[r_{xy} = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} \tag{8.2} \]
W powyższym wzorze \(s_{xy}\) to kowariancja (zob. niżej), a \(s_x\) i \(s_y\) to odchylenia standardowe zmiennych \(X\) i \(Y\).
Korelację z próby możemy więc interpretować jako standaryzowaną kowariancję.
Korelację dla próby oznaczamy często literą \(r\), zaś korelację dla populacji możemy oznaczać literą \(\rho\) ("ro"). Jeżeli z kontekstu to nie wynika, warto zaznaczyć, których zmiennych dotyczy korelacja (np. pisząc \(r(X,Y)\) albo \(r_{xy}\)).
Wzór (8.1) możemy stosować zarówno dla próby, jak i populacji, zaś we wzorze (8.2) powinniśmy albo zarówno kowariancję, jak i odchylenia wyznaczać za pomocą wzorów dla próby, albo w obu przypadkach korzystać ze wzorów dla populacji. Wynik będzie ten sam.
8.2.2 Kowariancja
Kowariancja to miar pokazująca "współzmienność" dwóch cech.
Wzór na kowariancję "dla próby" to:
\[s_{xy} = \frac{\sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{n-1} \tag{8.3} \]
Wzór na kowariancję "dla populacji" to:
\[ \sigma_{XY} = \frac{\sum_{i=1}^N \left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{N} \tag{8.4} \]
8.2.3 Współczynnik korelacji i kowariancja w arkuszach kalkulacyjnych
W arkuszach kalkulacyjnych można obliczyć współczynnik korelacji liniowej Pearsona używając funkcji WSP.KORELACJI (ang. CORREL) — Arkusze Google, Excel lub funkcji PEARSON — Arkusze Google, Excel.
Aby wyznaczyć kowariancję "dla populacji", w arkuszach można zastosować funkcję KOWARIANCJA (COVAR) arkusze Google, Excel lub KOWARIANCJA.POPUL (COVARIANCE.P) — arkusze Google, Excel.
Aby wyznaczyć kowariancję dla próby, w arkuszach używamy funkcji KOWARIANCJA.PRÓBKI (COVARIANCE.S) — arkusze Google, Excel.
Rangi w arkuszach kalkulacyjnych wyznacza się za pomocą funkcuji POZYCJA.ŚR (RANK.AVG) — arkusze Google, Excel.
8.3 Współczynnik korelacji rang Spearmana
Współczynnik korelacji Spearmana to po prostu współczynnik korelacji Pearsona obliczony dla rang zmiennych X i Y.
\[\mathit{r_s}=r\left( Rank(X), Rank(Y)\right)\]
Oznacza to, że licząc współczynnik rang Spearmana, najpierw zamieniamy wartości \(x_i\) oraz \(y_i\) na rangi, a następnie obliczamy współczynnik Pearsona dla tak wyznaczonych rang.
8.3.1 Zamiana wartości cechy na rangi
Przyjęło się, że w zastosowaniach statystycznych rangi nadaje się rosnąco, tzn. najniższa wartość dostaje rangę 1, kolejna 2, itd.
Kiedy wartości cechy powtarzają się w szeregu szczegółówym stosuje się średnią z rang, które przysługiwałyby powtórzonym wartościom. Mówimy wtedy o wartościach/rangach "wiązanych".
Przykład:
| wartości | rangi |
|---|---|
| 5 | 1,5 |
| 5 | 1,5 |
| 9 | 3,0 |
| 11 | 4,0 |
| 14 | 6,0 |
| 14 | 6,0 |
| 14 | 6,0 |
| 20 | 8,0 |
8.3.2 Uproszczony wzór dla współczynnika korelacji rang Spearmana
Uproszczony wzór dla współczynnika Spearmana można stosować w sytuacji, gdy nie ma rang wiązanych (każda wartość \(x_i\) jest inna oraz każda wartość \(y_i\) jest inna).
\[ r_s = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2-1)}\]
W powyższym wzorze \(d_i\) to różnica między rangami dla obserwacji \(i\):
\[d_i = Rank(x_i)-Rank(y_i)\]
8.7 Linki
Wykres rozrzutu i przykłady korelacji — aplikacja webowa: https://istats.shinyapps.io/Association_Quantitative/
Wykres rozrzutu i korelacje — aplikacja webowa: https://rpsychologist.com/correlation/
Odgadnij korelację — aplikacja webowa: https://istats.shinyapps.io/guesscorr/
Korelacje regionalne w USA: https://college.cengage.com/nextbook/statistics/utts_13540/student/html/simulation3_2.html
Jeżeli ktoś używa terminu współczynnik korelacji,bez dodatkowych dopowiedzeń, należy zwykle zakładać, że odwołuje się współczynnika korelacji Pearsona.↩︎