Seção 5 Analise Hidraulica

Para fins de organização, as funções a serem utilizadas ao longo das resoluções serão demonstradas abaixo:

energia <- function(y, Q, B, g = 9.81){
   
   energia <- y + (Q / B) ^ 2 /(2 * g * y ^ 2)
   
}

yc <- function(Q, B, g = 9.81){
   
   yc <- ((Q / B) ^ 2 / g) ^ ( 1 / 3)
      
}

manning <-  function(n, B, y, i){
   
   A = B * y
   P = B + 2 * y
   Rh = A / P
   Q = (1 / n)* A * Rh ^ (2/3) * i ^ 0.5
   
   return (Q)
   
}

yn <- function(n, B, i, Q){
   
   uniroot(function(n, B, y, i) manning(n, B, y, i) - Q, 
           interval = c(0,5000),
           n = n,
           B = B,
           i = i)$root
   
}

y_DadoAEnergia <- function(energia, Q, B, inter1, inter2) {
   
   uniroot(function(y, Q, B, g = 9.81) energia(y, Q, B, g = 9.81) - energia,
           interval = c(inter1*0.99, inter2),
           Q = Q, B = B)$root
   
}

Para todas as questões a seguir considere a ponte que será construída na seção fluvial do Exercício Avaliativo 3, assim como a vazão de dimensionamento que foi calculada nesse exercício. Despreze as perdas de carga localizadas e considere também a aceleração da gravidade g = 9,81 m/s2. A planilha com a memória de cálculo deverá ser anexada na última questão.

5.1 Questão 1

A seção fluvial onde será construída a ponte tem forma aproximadamente retangular com largura de 50 m. O revestimento é em concreto (n = 0,018) e a declividade I = 0,001 m/m. Após o término da obra, a largura do rio na seção da ponte será reduzida em 10 m (ou seja, passará para 40 m) devido à construção das bases de dois pilares de sustentação da ponte nas margens do rio. Sob essas condições, qual será a profundidade do escoamento na seção da ponte?

Dicas para resolução:

· A alteração na largura da seção fluvial faz com que esse problema não possa ser analisado considerando-se apenas a ocorrência do escoamento permanente uniforme.

· Calcule a profundidade normal nesse canal para a vazão de dimensionamento do exercício avaliativo 3. Calcule as profundidades críticas correspondentes às seções de diferentes larguras e as energias específicas associadas à profundidade normal e às profundidades críticas.

· Verifique: qual é o regime de escoamento (subcrítico, crítico ou supercrítico)?

· Esboce o gráfico da energia específica com as duas curvas (B = 50 m e B = 40 m) e represente as profundidades calculadas e as respectivas energias específicas. Analise o gráfico e avalie qual será o efeito do estreitamento causado pelos pilares da ponte. Responda à questão.

#Dados de entrada

g = 9.81      #m/s²
Q = 1181.76   #m³/s
n = 0.018     
i = 0.001     #m/m
Bi = 50       #m
Bf = 40       #m

#Parametros Hidraulicos
#Seco 1 - 50m

yc1 <- yc(Q, Bi)
yn1 <- yn(n, Bi, i, Q)

energia_yc1 <- energia(yc1, Q, Bi)
energia_yn1 <- energia(yn1, Q, Bi)


#Parametros Hidraulicos
#Secao 2 - 40m

yc2 <- yc(Q, Bf)


energia_yc2 <- energia(yc2, Q, Bf)



#Grafico da energia especifica

                              
Dados_y = data.frame(y  = seq(2,
                              7,
                              by = 0.001))

Dados_energia <- Dados_y %>%
   mutate(energia_y1 = energia(y, Q, Bi),
          energia_y2 = energia(y, Q, Bf))


ggplot(Dados_energia, aes(y = y)) +
   geom_path(aes(x = energia_y1), color = "red") +
   geom_path(aes(x = energia_y2), color = "blue") +
   geom_vline(xintercept = c(energia_yn1, energia_yc2), linetype="dotted") + 
   stat_function(fun = function(x) y_DadoAEnergia(energia_yc2, Q, Bi, yc1, 200), linetype="dotted") +
   stat_function(fun = function(x) yn1, linetype="dotted") +
   labs(
      title = "Curvas de Energia \n",
      y = "Profundidade (m)",
      x = "Energia (m)",
      caption = ""
    ) + 
   theme_light() +
   annotate("segment", x = energia_yc2, xend = energia_yc2, y = y_DadoAEnergia(energia_yc2, Q, Bi, yc1, 200), yend = yc2, colour = "grey", size=2, alpha=0.7, arrow=arrow()) +
   annotate("text", x = 9, y = 6.1, label = "Profundidade adquirida pela seção 1") +
   annotate("text", x = 9, y = 5.4, label = "Profundidade normal da seção 1") +
   annotate("text", x = 6, y = 3.5, label = "Energia inicial da seção 1", angle = 90) +  annotate("text", x = 6.5, y = 3.5, label = "Energia Final da seção 1", angle = 90)

Como podemos analisar pelo gráfico, haverá uma elevação da altura de água na seção 1 para que a energia se iguale à mínima energia da curva da seção 2.

Por isso, a altura d’agua na seção 2 será a crítica que é igual a 4.46 m

5.2 Questão 2

Qual será a profundidade do escoamento a montante da ponte?

· Dica: analisando o gráfico da energia específica, identifique qual será o valor da energia específica a montante da seção da ponte. Utilize a equação da energia específica para obter a profundidade do escoamento correspondente a esse valor de energia específica.

y_montante_ponte = y_DadoAEnergia(energia_yc2, Q, Bi, yc1, 10)
y_montante_ponte

A profundidade à montante da ponte será de 5.87 m

5.3 Questão 3

Qual será a profundidade do escoamento a jusante da ponte?

· Dica: analisando o gráfico da energia específica, identifique qual será o valor da energia específica a jusante da seção da ponte. Utilize a equação da energia específica para obter a profundidade do escoamento correspondente a esse valor de energia específica.

y_DadoAEnergia(energia_yc2, Q, Bi, 0, yc1)
## [1] 2.653854

A profundidade à jusante da ponte será de 2.65 m

5.4 Questão 4

Explique porque o ocorrerá um ressalto hidráulico em algum ponto a jusante da seção onde será construída a ponte.

O ressalto hidráulico é a única forma de passagem do regime supercritico para o subcritico. E como a declividade do canal se mantém (abaixo da crítica), esse regime tenderá a se formar.

5.5 Questão 5

Qual o valor da profundidade conjugada de jusante do ressalto?

yn2 <- yn(n, Bi, i, Q)

Considerando que a profundidade conjugada de jusante é igual ao yn do canal após o alargamento, o valor desta é de 5.13 m

5.6 Questão 6

Qual o valor da profundidade conjugada de montante do ressalto?

U2 = Q /(Bi * yn2)
Fr2 = U2/(g * yn2) ^ 0.5

y1 = ((1 / 2) * (sqrt(1 + 8 * Fr2 ^ 2) -1)) * yn2 
y1
## [1] 2.802986

Obtemos o valor de 2.8 m para a altura conjugada de montante do ressalto

5.7 Questão 7

Qual o valor do comprimento do ressalto?

Lr = 6.9 * (yn2 - y1)
Lr
## [1] 16.02199

O comprimento do ressalto é de 16.02 m

5.8 Questão 8

Elabore um esboço qualitativo do perfil da linha d’água desde o trecho a montante onde ocorre escoamento permanente uniforme (efeito do estreitamento causado pela ponte já não ocorre) até o trecho a jusante onde o escoamento permanente uniforme é reestabelecido. Indique os tipos de curva de remanso existentes no trecho, o ressalto, as profundidades características calculadas nas questões anteriores e os controles hidráulicos.

Caso elabore o perfil a mão, tire uma foto e anexe a essa questão.

Y1 foi retratado abaixo do calculado

5.9 Questão 9

Utilizando o Step Method, calcule do comprimento da curva de remanso a montante da seção onde será construída a ponte em metros. Utilize como intervalo de discretização Δy = 0,01 m.

x = -0.01
y_montante_ponte = y_DadoAEnergia(energia_yc2, Q, Bi, yc2, 20
                                  )

df             <- data.frame(y = y_montante_ponte, Energia = energia(y_montante_ponte, Q, Bi))
variaveis      <- c("Umedio", "RhMedio", "Sf", "DeltaX")
df[,variaveis] <- 0

yteste1 = 1
i       = 2

while(abs(yteste1 - yn1) > 0.01){
   

df[i,"y"]        = df[i-1,"y"] + x
df[i,"Umedio"]   = (Q/(df[i,"y"]*Bi) + Q/(df[i-1,"y"]*Bi))/2
df[i, "Energia"] = energia(df[i,"y"], Q, Bi)
df[i, "RhMedio"] = (df[i,"y"] * Bi/ (Bi + 2 * df[i,"y"]) + df[i-1,"y"] * Bi/(Bi + 2 * df[i-1,"y"]))/2 
df[i, "Sf"]      = (n ^ 2 * df[i,"Umedio"] ^ 2)/(df[i, "RhMedio"] ^ (4/3))
df[i, "DeltaX"]  = (df[i, "Energia"] - df[i-1, "Energia"]) / (0.001 - df[i, "Sf"])
         
         
      yteste1 = df[i,"y"]
      i = i + 1
}

knitr::kable(df, caption = "Step Method")
sum(df$DeltaX, na.rm = T)
Tabela 5.1: Step Method
y Energia Umedio RhMedio Sf DeltaX
5.870262 6.696499 0.000000 0.000000 0.0000000 0.00000
5.860262 6.689321 4.029695 4.750698 0.0006588 -21.03624
5.850262 6.682157 4.036577 4.744135 0.0006623 -21.20959
5.840262 6.675009 4.043483 4.737568 0.0006658 -21.38782
5.830262 6.667875 4.050413 4.730997 0.0006693 -21.57114
5.820262 6.660755 4.057366 4.724421 0.0006728 -21.75977
5.810262 6.653651 4.064343 4.717842 0.0006764 -21.95393
5.800262 6.646562 4.071344 4.711258 0.0006800 -22.15388
5.790262 6.639487 4.078369 4.704669 0.0006836 -22.35988
5.780262 6.632428 4.085419 4.698077 0.0006873 -22.57218
5.770262 6.625385 4.092493 4.691480 0.0006909 -22.79110
5.760262 6.618356 4.099592 4.684879 0.0006946 -23.01694
5.750262 6.611343 4.106715 4.678273 0.0006984 -23.25002
5.740262 6.604346 4.113863 4.671664 0.0007021 -23.49070
5.730262 6.597365 4.121036 4.665050 0.0007059 -23.73936
5.720262 6.590399 4.128234 4.658431 0.0007097 -23.99638
5.710262 6.583449 4.135457 4.651809 0.0007136 -24.26221
5.700262 6.576516 4.142705 4.645182 0.0007174 -24.53728
5.690262 6.569598 4.149979 4.638551 0.0007213 -24.82210
5.680262 6.562697 4.157279 4.631915 0.0007252 -25.11718
5.670262 6.555812 4.164604 4.625275 0.0007292 -25.42308
5.660262 6.548944 4.171955 4.618631 0.0007332 -25.74040
5.650262 6.542092 4.179333 4.611982 0.0007372 -26.06980
5.640262 6.535258 4.186736 4.605329 0.0007412 -26.41195
5.630262 6.528440 4.194165 4.598672 0.0007453 -26.76763
5.620262 6.521639 4.201621 4.592010 0.0007494 -27.13763
5.610262 6.514855 4.209104 4.585345 0.0007535 -27.52284
5.600262 6.508088 4.216613 4.578674 0.0007577 -27.92420
5.590262 6.501339 4.224149 4.572000 0.0007619 -28.34275
5.580262 6.494607 4.231712 4.565321 0.0007661 -28.77961
5.570262 6.487893 4.239302 4.558637 0.0007703 -29.23600
5.560262 6.481197 4.246920 4.551949 0.0007746 -29.71324
5.550262 6.474518 4.254565 4.545257 0.0007790 -30.21279
5.540262 6.467858 4.262237 4.538561 0.0007833 -30.73626
5.530262 6.461216 4.269937 4.531860 0.0007877 -31.28537
5.520262 6.454592 4.277665 4.525154 0.0007921 -31.86207
5.510262 6.447986 4.285421 4.518445 0.0007966 -32.46847
5.500262 6.441399 4.293206 4.511731 0.0008010 -33.10691
5.490262 6.434830 4.301018 4.505012 0.0008056 -33.77998
5.480262 6.428280 4.308859 4.498289 0.0008101 -34.49059
5.470262 6.421750 4.316729 4.491562 0.0008147 -35.24193
5.460262 6.415238 4.324627 4.484830 0.0008193 -36.03761
5.450262 6.408746 4.332555 4.478094 0.0008240 -36.88164
5.440262 6.402272 4.340511 4.471353 0.0008287 -37.77857
5.430262 6.395819 4.348497 4.464608 0.0008334 -38.73351
5.420262 6.389385 4.356513 4.457859 0.0008381 -39.75224
5.410262 6.382971 4.364557 4.451105 0.0008429 -40.84138
5.400262 6.376577 4.372632 4.444347 0.0008478 -42.00844
5.390262 6.370203 4.380737 4.437584 0.0008527 -43.26210
5.380262 6.363849 4.388871 4.430817 0.0008576 -44.61232
5.370262 6.357515 4.397036 4.424045 0.0008625 -46.07068
5.360262 6.351202 4.405232 4.417269 0.0008675 -47.65070
5.350262 6.344910 4.413458 4.410488 0.0008725 -49.36821
5.340262 6.338638 4.421715 4.403703 0.0008776 -51.24196
5.330262 6.332388 4.430002 4.396914 0.0008827 -53.29422
5.320262 6.326159 4.438321 4.390119 0.0008879 -55.55176
5.310262 6.319951 4.446671 4.383321 0.0008931 -58.04692
5.300262 6.313764 4.455053 4.376518 0.0008983 -60.81927
5.290262 6.307600 4.463466 4.369711 0.0009036 -63.91765
5.280262 6.301457 4.471911 4.362899 0.0009089 -67.40308
5.270262 6.295336 4.480389 4.356082 0.0009142 -71.35286
5.260262 6.289237 4.488898 4.349261 0.0009196 -75.86629
5.250262 6.283160 4.497440 4.342435 0.0009250 -81.07321
5.240262 6.277106 4.506014 4.335605 0.0009305 -87.14661
5.230262 6.271075 4.514621 4.328771 0.0009361 -94.32225
5.220262 6.265066 4.523261 4.321932 0.0009416 -102.92995
5.210262 6.259080 4.531934 4.315088 0.0009472 -113.44572
5.200262 6.253118 4.540641 4.308240 0.0009529 -126.58278
5.190262 6.247179 4.549380 4.301388 0.0009586 -143.46042
5.180262 6.241263 4.558154 4.294530 0.0009644 -165.94093
5.170262 6.235372 4.566962 4.287669 0.0009701 -197.36879
5.160262 6.229504 4.575804 4.280802 0.0009760 -244.41152
5.150262 6.223660 4.584680 4.273931 0.0009819 -322.55094
5.140262 6.217841 4.593590 4.267056 0.0009878 -477.83829
5.130262 6.212046 4.602535 4.260176 0.0009938 -935.89885
5.125013 6.209014 4.609375 4.254928 0.0009984 -1899.11513 
## [1] -7109.858