Chapter 2 随机积分

最后更新日期：2020-01-17

本篇写一些关于随机微分/随机积分的注记。建议首先了解概率论、随机过程与实变函数相关知识，点击这里查看概率论笔记、数理统计笔记、实变函数笔记。

参考资料：Bernt Øksendal 写的 Stochastic Differential Equations，以及王绍臣老师的随机过程讲义。

2.1 随机过程

我们先从随机过程开始说起。

定义1.1 (随机过程)： 一个随机过程是指定义在概率空间\((\Omega,\mathcal F,\mathbb P)\)上随机变量的参数化集合 \[\{X_t\}_{t\in T}\] 并且假设其值在\(\mathbb{R}^n\)中。

在定义1.1中，参数空间\(T\)一般是指正半轴\([0,\infty)\)，但也可以是区间\([a,b]\)，或\(\mathbb{R}^n\)的某些子集。对于每一个固定的\(t\in T\)，我们有随机变量 \[\omega\rightarrow X_t(\omega),\quad\omega\in\Omega.\] 另一方面，固定\(\omega\in\Omega\)我们可以得到函数 \[t\rightarrow X_t(\omega),\quad t\in T.\] 并将其称为\(X_t\)的轨道。本章一般用\(X(t)\)指代\(X(t,\omega)\)。下面我们来看一个重要的例子。

定义1.2 (布朗运动)： \(\mathbb R^n\) 中的随机过程\(\{B(t),t\ge0\}\)称为n维的布朗运动，如果其满足

  1. \(B(0)=0\)并且轨道是连续的。
  2. \(\{B(t),t\ge0\}\)具有独立增量性，也即对于任意\(t_0,t_1,\cdots,t_n\in T,\ t_0<t_1<\cdots<t_n,\)随机变量\(B_{t_0},B_{t_1}-B_{t_0},\cdots,B_{t_n}-B_{t_{n-1}}\)相互独立。
  3. 对于任意的\(t>s,B(t)-B(s)\sim\mathcal N(0,\sigma_0^2(t-s)I_d)\)，其中\(I_d\)是\(d\)维单位矩阵。

特别地，当\(\sigma_0^2=1,d=1\)时，我们将该过程称为标准布朗运动。

通过布朗运动的定义，我们来看一个练习。

练习1.3： 设\(\{B(t),t\ge0\}\) 是一维布朗运动，那么对于常数\(c>0\)，证明 \[\left\{\frac1cB(c^2t),t\ge0\right\}\] 也是一维布朗运动。

提示：性质1和2不难验证，性质3可用正态分布的性质进行验证。

2.2 Itô积分

我们从如下形式的积分开始考虑。 \[\int_{0}^{s} f(t) d B(t)\tag{2.1}\] 其中\(B(t)\)是一维标准布朗运动。与实变函数中Legesgue积分的定义类似，对\((2.1)\)的定义很自然地先从简单函数开始。令 \[\phi(t)=\sum_{j \geq 0} e_{j} \cdot \mathcal{X}_{\left[j \cdot 2^{-n},(j+1) 2^{-n}\right)}(t)\] 其中\(\mathcal{X}\)为特征函数，\(n\)为自然数。此时有 \[\int_{0}^{s} \phi(t) d B(t)\tag{2.2}=\sum_{j \geq 0} e_{j}\left[B(t_{j+1})-B(t_{j})\right]\] 其中 \[t_{k}=\left\{\begin{array}{ccc} {k \cdot 2^{-n}} & {\text { if }} & {0 \leq k \cdot 2^{-n} \leq s} \\ {0} & {\text { if }} & {k \cdot 2^{-n}<0} \\ {s} & {\text { if }} & {k \cdot 2^{-n}>s} \end{array}\right.\] 进而考虑简单函数\(\phi(t)\)对可测函数\(f(t)\)的逼近。特别地，我们选择 \[\phi_1(t)=\sum_{j \geq 0} B(j \cdot 2^{-n}) \cdot \mathcal{X}_{\left[j \cdot 2^{-n},(j+1) 2^{-n}\right)}(t)\] \[\phi_2(t)=\sum_{j \geq 0} B((j+1) \cdot 2^{-n}) \cdot \mathcal{X}_{\left[j \cdot 2^{-n},(j+1) 2^{-n}\right)}(t)\] 它们都是对\(f(t)=B(t)\)的逼近，但是此时 \[ \mathbb E\left[\int_{0}^{T} \phi_{1}(t) d B(t)\right]=\sum_{j \geq 0} \mathbb E\left[B(t_{j})\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)\right]=0 \] \[ \begin{aligned} \mathbb E\left[\int_{0}^{T} \phi_{2}(t) d B(t)\right]&=\sum_{j \geq 0} \mathbb E\left[B(t_{j+1}) \cdot\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)\right]\\ &=\sum_{j \geq 0} \mathbb E\left[\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)^2\right]=T \end{aligned} \] 因此不论\(n\)的取值为多少，式\((2.2)\)在两种近似积分方式下得到的结果并不一致！事实上，这是因为函数\(B(t)\)并不是有界变差函数，因而不能按照原先Riemann-Stieltjes积分的定义。

实际上，这一划分-求和-取极限的过程 \[ \sum_{j} f(t_{j}^{*}) \cdot \mathcal{X}_{\left[t_{j}, t_{j+1}\right)}(t) \] 中在每个区间\(\left[t_{j}, t_{j+1}\right]\)上，点\(t_j^*\)的选取方式会改变其极限情况下的取值。但是如果我们能固定点\(t_j^*\)在区间\(\left[t_{j}, t_{j+1}\right]\)中的选取方式，这样的积分便是有意义的。下面两种方式是最常用的节点选取方式：

  1. 取左端点\(t_j^*=t_j\)，这时得到的积分称为Itô积分，形式上记为 \[\int_{0}^{s} f(t) d B(t).\tag{2.3}\]

  2. 取中点\(t_j^*=(t_j+t_{j+1})/2\)，这时得到的积分称为Stratonovich积分，形式上记为 \[\int_{0}^{s} f(t)\circ d B(t).\tag{2.4}\]

下面我们给出详细的定义。

定义2.1： 记 \(\mathcal{V}=\mathcal{V}(S, T)\) 为如下形式的函数 \[f(t, \omega):[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}\] 使得

  1. \((t, \omega) \rightarrow f(t, \omega)\) 是 \(\mathcal{B} \times \mathcal{F}\)-可测的，其中\(\mathcal{B}\)是\([0, \infty)\)上的Borel \(\sigma-\)代数。

  2. \(f(t, \omega)\) 关于 \(\mathcal{F}_{t}\) 适应。

  3. \(\mathbb E\left[\int_{S}^{T} f(t, \omega)^{2} d t\right]<\infty\)。

注：上文中提到的函数\(\phi_1\in\mathcal{V},\phi_2\notin\mathcal{V}\)，其不满足第二条性质。

对于这样定义的一类函数\(\mathcal{V}\)，我们可以得到以下性质：

  1. 对于任一有界且轨道连续的函数\(g\in\mathcal{V}\)，存在简单函数列\(\{\phi_n\}\subset\mathcal{V}\)，使得 \[ \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left(g-\phi_{n}\right)^{2} d t\right] = 0\tag{2.5} \] 注：事实上，只需令\(\phi_{n}(t, \omega)=\sum_{j} g\left(t_{j}\right) \cdot \mathcal{X}_{\left[t_{j}, t_{j+1}\right)}(t)\)，即有\(\int_{S}^{T}\left(g-\phi_{n}\right)^{2} d t \rightarrow 0\)。

  2. 对于任一有界函数\(h\in\mathcal{V}\)，存在有界且轨道连续的函数列\(\{g_n\}\subset\mathcal{V}\)，使得 \[ \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left(h-g_{n}\right)^{2} d t\right] = 0\tag{2.6} \] 注：考虑非负连续函数\(\psi_n\)满足\(\psi_n(x)=0\)，对于\(x\le \frac1n\)或\(x\ge0\)，并且\(\int_{-\infty}^\infty\psi_n(x)=1\)，进而定义\(g_n(t)=\int_0^t\psi_n(s-t)h(s)ds\)，可知\(g_n\)关于\(\mathcal F_t\)适应并且由有界收敛定理，有\(\int_{S}^{T}\left(h-g_{n}\right)^{2} d t\rightarrow0\)。

  3. 对于任一函数\(f\in\mathcal{V}\)，存在有界函数列\(\{h_n\}\subset\mathcal{V}\)，使得 \[ \lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left(f-h_{n}\right)^{2} d t\right] = 0\tag{2.7} \] 注：只需令 \[ h_{n}(t)=\left\{\begin{array}{ccc} {-n} & {\text { if }} & {f(t)<-n} \\ {f(t)} & {\text { if }} & {-n \leq f(t) \leq n} \\ {n} & {\text { if }} & {f(t)>n.} \end{array}\right. \] 再由控制收敛定理可得。

定义2.2 (Itô积分)：

  1. 对于简单函数\(\phi\in\mathcal{V}\)，定义\[\int_{0}^{s} \phi(t) d B(t)=\sum_{j \geq 0} e_{j}\left[B(t_{j+1})-B(t_{j})\right].\tag{2.8}\]

  2. 对于任一函数\(f\in\mathcal{V}\)，由上述分析，存在简单函数列\(\{\psi_n\}\subset\mathcal{V}\)，使得 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left|f-\phi_{n}\right|^{2} d t\right] = 0\tag{2.9}\]

  3. 进而有函数\(f\)的Itô积分 \[ \mathcal{I}(f):=\int_{S}^{T} f(t) d B(t):=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{S}^{T} \phi_{n}(t) d B(t)\tag{2.10} \] 注：右端为\(L^2(P)\)中的Cauchy列，因而该极限存在。

通过这样的定义方式，我们有以下推论：

推论2.3 (Itô isometry)： 对于任意的\(f\in\mathcal{V}(S,T)\)， \[\mathbb E\left[\left(\int_{S}^{T} f(t) d B(t)\right)^{2}\right]=\mathbb E\left[\int_{S}^{T} f^{2}(t) d t\right]\tag{2.11}\] 证明：考虑\(f\)为简单函数 \[\phi(x)=\sum_{j \geq 0} e_{j} \cdot \mathcal{X}_{\left[t_j,t_{j+1}\right)}(t)\] 令\(\Delta B_j=B(t_{j+1})-B(t_j)\)。由增量的独立性，有 \[ \mathbb E\left[e_{i} e_{j} \Delta B_{i} \Delta B_{j}\right]=\left\{\begin{array}{ccc} {0} & {\text { if }} & {i \neq j} \\ {\mathbb E[e_{j}^{2}] \cdot\left(t_{j+1}-t_{j}\right)} & {\text { if }} & {i=j} \end{array}\right. \] 进而有 \[ \begin{aligned} \mathbb E\left[\left(\int_{S}^{T} \phi(t) d B(t)\right)^{2}\right] &=\sum_{i, j}\mathbb E\left[e_{i} e_{j} \Delta B_{i} \Delta B_{j}\right]\\&=\sum_{j} \mathbb E[e_{j}^{2}] \cdot\left(t_{j+1}-t_{j}\right) \\ &=\mathbb E\left[\int_{S}^{T} \phi^{2}(t) d t\right]. \end{aligned} \] 再对\(f\in\mathcal{V}\)中一般函数证明即可。

推论2.4：若存在函数\(f,f_n\in\mathcal{V}(S,T)\)，且 \[\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb E\left[\int_S^T(f_n(t)-f(t))^2dt\right]=0\] 则有 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{S}^{T} f_{n}(t) d B(t)=\int_{S}^{T} f(t) d B(t). \tag{2.12}\]

下面我们来通过一个例子看看这样的定义得到的结果。

例2.5：设\(B(0)=0\)，则有 \[\int_0^tB(s)dB(s)=\frac12B^2(t)-\frac12t\]

证明：通过定义\(2.2\)，令 \[\phi_n(s)=\sum B(t_j) \cdot \mathcal{X}_{\left[t_{j}, t_{j+1}\right)}(s)\] 进而有 \[\begin{array}{l} {\mathbb E\left[\int_{0}^{t}\left(\phi_{n}-B(t_s)\right)^{2} d s\right]=\mathbb E\left[\sum_{j} \int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(B(t_j)-B(t_s)\right)^{2} d s\right]} \\ {=\sum_{j} \int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(s-t_{j}\right) d s=\sum_{j} \frac{1}{2}\left(t_{j+1}-t_{j}\right)^{2} \rightarrow 0 ,\ \text { 当 } \Delta t_{j} \rightarrow 0}. \end{array} \] 由推论\(2.4\)，得到 \[ \int_{0}^{t} B(s) d B(s)=\lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0} \int_{0}^{t} \phi_{n} d B(s)=\lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0} \sum_{j} B(t_j) \Delta B(t_j) \] 且由布朗运动的性质，有 \[ \begin{aligned} \Delta\left(B^{2}(t_j)\right) &=B^{2}(t_{j+1})-B^{2}(t_j)\\ &=\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)^{2}+2 B(t_{j})\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right) \\ &=\left(\Delta B(t_{j})\right)^{2}+2 B(t_{j}) \Delta B(t_{j}) \end{aligned} \] 进而当\(B(0)=0\)时， \[B^2(t_j)=\sum_j\Delta\left(B^{2}(t_j)\right)=\sum_j\left(\Delta B(t_j)\right)^2+2\sum_jB(t_j)\Delta B(t_j)\] 因此 \[ \begin{aligned} \lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0} \sum_{j} B(t_j) \Delta B(t_j)&=\lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0}\left[\frac12B^2(t)-\frac12\sum_j(\Delta B(t_j))^2\right]\\ &=\frac12B^2(t)-\frac12t. \end{aligned}\]

注：这不同于以往的积分，否则有\(\int_0^tf(s)df(s)=\frac12f^2(t)\)。事实上，这是因为\(\mathbb E\left[\int_0^tf(t)dB(t)\right]=0\) (将在后文提到)，因而减去\(\frac12B^2(t)\)的期望\(\frac12t\)是自然的事情。

定理2.6：Itô积分有如下性质：设\(f,g\in\mathcal{V}(0,T)\)，假设\(0\le S<U<T\)，则有

  1. (线性性) \(\int_S^T(af+bg)dB(t)=a\cdot\int_S^TfdB(t)+b\cdot\int_S^TgdB(t).\)

  2. (可加性) \(\int_S^TfdB(t)=\int_S^UfdB(t)+\int_U^TfdB(t).\)

  3. \(\mathbb E\left[\int_S^TfdB(t)\right]=0.\)

  4. \(\int_S^TfdB(t)\)关于\(\mathcal{F}_T\)可测.

  5. \(M(t):=\int_0^tf(s)dB(s)\)是关于\(\sigma\)-代数流\(\mathcal{F}_t\)的鞅(martingale). 见Stochastic Differential Equations P33.

2.3 Itô公式

我们注意到Itô积分\(B(t)=\int_0^tdB(s)\)经过函数\(g(x)=\frac12x^2\)符合之后并不是形如\(\int_0^tf(s)dB(s)\)形式的Itô积分，而是“\(dB(s)\)”项加上“\(ds\)”项的积分：\[\frac12B^2(t)=\int_0^t\frac12ds+\int_0^tB(s)dB(s)\] 下面我们引入这一概念。

定义3.1：(Itô过程) 记\(B(t)\)是\((\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)\)上的布朗运动，则定义在\((\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)\)上的随机过程\(\{X_t,t\ge0\}\)满足 \[X_t=X_0+\int_0^tu(s)ds+\int_0^tv(s)dB(s)\tag{3.1},\] 其中要求\(u(s),v(s)\)适应且可积，也即 \[\int_0^t(u^2(s)+|v(s)|)ds<+\infty.\] 称这样的过程为Itô过程。

或将式\(3.1\)写成微分形式： \[dX(t)=udt+vdB(t)\tag{3.2}\] 式\(3.1\)或式\(3.2\)称为随机微分方程(stochastic differential equation, SDE)，例如通过例2.5，我们有 \[d\left(\frac12B^2(t)\right)=\frac12dt+B(t)dB(t)\] 下面我们陈述一个重要的公式。

定理3.2：(一维Itô公式，Itô formula)

设Itô过程\(X(t)\)满足 \[dX(t)=udt+vdB(t)\] 设\(g(t,x)\in C^2\left([0,\infty)\times\mathbb R\right)\)，则随机过程 \[Y(t)=g\left(t,X(t)\right)\] 仍然是Itô过程，并且有 \[ d Y(t)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(t, X(t)\right) d t+\frac{\partial g}{\partial x}\left(t, X(t)\right) d X(t)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}\left(t, X(t)\right) \cdot\left(d X(t)\right)^{2} \tag{3.3}\] 其中\(\left(d X(t)\right)^{2}\)的计算按照 \[dt\cdot dt=dt\cdot dB(t)=dB(t)\cdot dt=0,\quad dB(t)\cdot dB(t)=dt.\tag{3.4}\]

Itô formula的详细证明见Stochastic Differential Equations P46, 我们先通过两个例子来进行说明。

例3.3：考虑随机积分 \[I=\int_0^tB(s)dB(s).\tag{3.5}\] 我们令\(X(t)=B(t),g(t,x)=\frac12x^2\)，有 \[Y(t)=g(t,X(t))=\frac12B^2(t).\] 并且由Itô formula， \[ \begin{aligned}d Y(t)&=\frac{\partial g}{\partial t} d t+\frac{\partial g}{\partial x} d B(t)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}\left(d B(t)\right)^{2}\\ &=B(t) d B(t)+\frac{1}{2}\left(d B(t)\right)^{2}=B(t) d B(t)+\frac{1}{2} d t. \end{aligned} \] 因而有 \[d\left(\frac12B^2(t)\right)=B(t)dB(t)+\frac12dt,\] 或写成 \[\frac12B^2(t)=\int_0^tB(s)dB(s)+\frac12dt.\tag{3.6}\] 这与例\(2.5\)得到的结果一致。

例3.4：考虑随机积分 \[I=\int_0^tsdB(s).\tag{3.7}\] 注意到其应当含有“\(tB(t)\)”项 (为什么?) 自然地取\(g(t,x)=tx\)，此时 \[Y(t)=g(t,B(t))=tB(t).\] 由Itô formula， \[dY(t)=B(t)dt+tdB(t)+0,\] 也即有 \[d(tB(t))=B(t)dt+tdB(t),\] 两侧积分，移项后得到 \[\int_0^tsdB(s)=tB(t)-\int_0^tB(s)ds.\tag{3.8}\] 注：得到的结果形式上与分部积分类似，进而可得以下结论。

练习3.5：证明Itô积分下的分部积分公式： \[\int_0^tf(s)dB(s)=f(t)B(t)-\int_0^tB(s)df(s)\]

下面将定理\(3.2\)推广至高维。

定理3.6：(Itô公式，The general Itô formula)令 \[dX(t)=udt+vdB(t)\tag{3.9}\] 是\(n\)维Itô过程，设\(g(t,x)\in C^2\left([0,\infty)\times\mathbb R^n\right)\)，满足\(g(t,x)=\left(g_1(t,x),\cdots,g_p(t,x)\right)\)则随机过程 \[Y(t)=g\left(t,X(t)\right)\] 仍然是Itô过程，并且对于向量\(Y(t)\)的某一分量\(Y_k\)，有 \[ d Y_{k}(t)=\frac{\partial g_{k}}{\partial t}(t, X) d t+\sum_{i} \frac{\partial g_{k}}{\partial x_{i}}(t, X) d X_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^{2} g_{k}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(t, X) d X_{i}(t) d X_{j}(t)\tag{3.10} \] 其中 \[dB_i(t)\cdot dB_j(t)=\left\{\begin{array}{ccc} {dt} & {\text { if }} & {i=j} \\ {0} & {\text { if }} & {i\neq j} \end{array}\right.,\ dt\cdot dt=d\cdot B_i(t)dt=dt\cdot dB_i(t)=0.\]