Chapter 2 随机积分

最后更新日期：2020-01-17

本篇写一些关于随机微分/随机积分的注记。建议首先了解概率论、随机过程与实变函数相关知识，点击这里查看概率论笔记、数理统计笔记、实变函数笔记。

参考资料：Bernt Øksendal 写的 Stochastic Differential Equations，以及王绍臣老师的随机过程讲义。

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2.1 随机过程

我们先从随机过程开始说起。

定义1.1 (随机过程)： 一个随机过程是指定义在概率空间$(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$上随机变量的参数化集合 $$\{X_t\}_{t\in T}$$ 并且假设其值在$\mathbb{R}^n$中。

在定义1.1中，参数空间$T$一般是指正半轴$[0,\infty)$，但也可以是区间$[a,b]$，或$\mathbb{R}^n$的某些子集。对于每一个固定的$t\in T$，我们有随机变量 $$\omega\rightarrow X_t(\omega),\quad\omega\in\Omega.$$ 另一方面，固定$\omega\in\Omega$我们可以得到函数 $$t\rightarrow X_t(\omega),\quad t\in T.$$ 并将其称为$X_t$的轨道。本章一般用$X(t)$指代$X(t,\omega)$。下面我们来看一个重要的例子。

定义1.2 (布朗运动)： $\mathbb R^n$ 中的随机过程$\{B(t),t\ge0\}$称为n维的布朗运动，如果其满足

1. $B(0)=0$并且轨道是连续的。
2. $\{B(t),t\ge0\}$具有独立增量性，也即对于任意$t_0,t_1,\cdots,t_n\in T,\ t_0<t_1<\cdots<t_n,$随机变量$B_{t_0},B_{t_1}-B_{t_0},\cdots,B_{t_n}-B_{t_{n-1}}$相互独立。
3. 对于任意的$t>s,B(t)-B(s)\sim\mathcal N(0,\sigma_0^2(t-s)I_d)$，其中$I_d$是$d$维单位矩阵。

特别地，当$\sigma_0^2=1,d=1$时，我们将该过程称为标准布朗运动。

通过布朗运动的定义，我们来看一个练习。

练习1.3： 设$\{B(t),t\ge0\}$ 是一维布朗运动，那么对于常数$c>0$，证明 $$\left\{\frac1cB(c^2t),t\ge0\right\}$$ 也是一维布朗运动。

提示：性质1和2不难验证，性质3可用正态分布的性质进行验证。

2.2 Itô积分

我们从如下形式的积分开始考虑。 $$\int_{0}^{s} f(t) d B(t)\tag{2.1}$$ 其中$B(t)$是一维标准布朗运动。与实变函数中Legesgue积分的定义类似，对$(2.1)$的定义很自然地先从简单函数开始。令 $$\phi(t)=\sum_{j \geq 0} e_{j} \cdot \mathcal{X}_{\left[j \cdot 2^{-n},(j+1) 2^{-n}\right)}(t)$$ 其中$\mathcal{X}$为特征函数，$n$为自然数。此时有 $$\int_{0}^{s} \phi(t) d B(t)\tag{2.2}=\sum_{j \geq 0} e_{j}\left[B(t_{j+1})-B(t_{j})\right]$$ 其中 $$t_{k}=\left\{\begin{array}{ccc} {k \cdot 2^{-n}} & {\text { if }} & {0 \leq k \cdot 2^{-n} \leq s} \\ {0} & {\text { if }} & {k \cdot 2^{-n}<0} \\ {s} & {\text { if }} & {k \cdot 2^{-n}>s} \end{array}\right.$$ 进而考虑简单函数$\phi(t)$对可测函数$f(t)$的逼近。特别地，我们选择 $$\phi_1(t)=\sum_{j \geq 0} B(j \cdot 2^{-n}) \cdot \mathcal{X}_{\left[j \cdot 2^{-n},(j+1) 2^{-n}\right)}(t)$$ $$\phi_2(t)=\sum_{j \geq 0} B((j+1) \cdot 2^{-n}) \cdot \mathcal{X}_{\left[j \cdot 2^{-n},(j+1) 2^{-n}\right)}(t)$$ 它们都是对$f(t)=B(t)$的逼近，但是此时 $$\mathbb E\left[\int_{0}^{T} \phi_{1}(t) d B(t)\right]=\sum_{j \geq 0} \mathbb E\left[B(t_{j})\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)\right]=0$$ $$\begin{aligned} \mathbb E\left[\int_{0}^{T} \phi_{2}(t) d B(t)\right]&=\sum_{j \geq 0} \mathbb E\left[B(t_{j+1}) \cdot\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)\right]\\ &=\sum_{j \geq 0} \mathbb E\left[\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)^2\right]=T \end{aligned}$$ 因此不论$n$的取值为多少，式$(2.2)$在两种近似积分方式下得到的结果并不一致！事实上，这是因为函数$B(t)$并不是有界变差函数，因而不能按照原先Riemann-Stieltjes积分的定义。

实际上，这一划分-求和-取极限的过程 $$\sum_{j} f(t_{j}^{*}) \cdot \mathcal{X}_{\left[t_{j}, t_{j+1}\right)}(t)$$ 中在每个区间$\left[t_{j}, t_{j+1}\right]$上，点$t_j^*$的选取方式会改变其极限情况下的取值。但是如果我们能固定点$t_j^*$在区间$\left[t_{j}, t_{j+1}\right]$中的选取方式，这样的积分便是有意义的。下面两种方式是最常用的节点选取方式：

1. 取左端点$t_j^*=t_j$，这时得到的积分称为Itô积分，形式上记为 $$\int_{0}^{s} f(t) d B(t).\tag{2.3}$$

2. 取中点$t_j^*=(t_j+t_{j+1})/2$，这时得到的积分称为Stratonovich积分，形式上记为 $$\int_{0}^{s} f(t)\circ d B(t).\tag{2.4}$$

下面我们给出详细的定义。

定义2.1： 记 $\mathcal{V}=\mathcal{V}(S, T)$ 为如下形式的函数 $$f(t, \omega):[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$ 使得

1. $(t, \omega) \rightarrow f(t, \omega)$ 是 $\mathcal{B} \times \mathcal{F}$-可测的，其中$\mathcal{B}$是$[0, \infty)$上的Borel $\sigma-$代数。

2. $f(t, \omega)$ 关于 $\mathcal{F}_{t}$ 适应。

3. $\mathbb E\left[\int_{S}^{T} f(t, \omega)^{2} d t\right]<\infty$。

注：上文中提到的函数$\phi_1\in\mathcal{V},\phi_2\notin\mathcal{V}$，其不满足第二条性质。

对于这样定义的一类函数$\mathcal{V}$，我们可以得到以下性质：

1. 对于任一有界且轨道连续的函数$g\in\mathcal{V}$，存在简单函数列$\{\phi_n\}\subset\mathcal{V}$，使得 $$\lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left(g-\phi_{n}\right)^{2} d t\right] = 0\tag{2.5}$$ 注：事实上，只需令$\phi_{n}(t, \omega)=\sum_{j} g\left(t_{j}\right) \cdot \mathcal{X}_{\left[t_{j}, t_{j+1}\right)}(t)$，即有$\int_{S}^{T}\left(g-\phi_{n}\right)^{2} d t \rightarrow 0$。

2. 对于任一有界函数$h\in\mathcal{V}$，存在有界且轨道连续的函数列$\{g_n\}\subset\mathcal{V}$，使得 $$\lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left(h-g_{n}\right)^{2} d t\right] = 0\tag{2.6}$$ 注：考虑非负连续函数$\psi_n$满足$\psi_n(x)=0$，对于$x\le \frac1n$或$x\ge0$，并且$\int_{-\infty}^\infty\psi_n(x)=1$，进而定义$g_n(t)=\int_0^t\psi_n(s-t)h(s)ds$，可知$g_n$关于$\mathcal F_t$适应并且由有界收敛定理，有$\int_{S}^{T}\left(h-g_{n}\right)^{2} d t\rightarrow0$。

3. 对于任一函数$f\in\mathcal{V}$，存在有界函数列$\{h_n\}\subset\mathcal{V}$，使得 $$\lim_{n \rightarrow \infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left(f-h_{n}\right)^{2} d t\right] = 0\tag{2.7}$$ 注：只需令 $$h_{n}(t)=\left\{\begin{array}{ccc} {-n} & {\text { if }} & {f(t)<-n} \\ {f(t)} & {\text { if }} & {-n \leq f(t) \leq n} \\ {n} & {\text { if }} & {f(t)>n.} \end{array}\right.$$ 再由控制收敛定理可得。

定义2.2 (Itô积分)：

1. 对于简单函数$\phi\in\mathcal{V}$，定义 $$\int_{0}^{s} \phi(t) d B(t)=\sum_{j \geq 0} e_{j}\left[B(t_{j+1})-B(t_{j})\right].\tag{2.8}$$

2. 对于任一函数$f\in\mathcal{V}$，由上述分析，存在简单函数列$\{\psi_n\}\subset\mathcal{V}$，使得 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb E\left[\int_{S}^{T}\left|f-\phi_{n}\right|^{2} d t\right] = 0\tag{2.9}$$

3. 进而有函数$f$的Itô积分 $$\mathcal{I}(f):=\int_{S}^{T} f(t) d B(t):=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{S}^{T} \phi_{n}(t) d B(t)\tag{2.10}$$ 注：右端为$L^2(P)$中的Cauchy列，因而该极限存在。

通过这样的定义方式，我们有以下推论：

推论2.3 (Itô isometry)： 对于任意的$f\in\mathcal{V}(S,T)$， $$\mathbb E\left[\left(\int_{S}^{T} f(t) d B(t)\right)^{2}\right]=\mathbb E\left[\int_{S}^{T} f^{2}(t) d t\right]\tag{2.11}$$ 证明：考虑$f$为简单函数 $$\phi(x)=\sum_{j \geq 0} e_{j} \cdot \mathcal{X}_{\left[t_j,t_{j+1}\right)}(t)$$ 令$\Delta B_j=B(t_{j+1})-B(t_j)$。由增量的独立性，有 $$\mathbb E\left[e_{i} e_{j} \Delta B_{i} \Delta B_{j}\right]=\left\{\begin{array}{ccc} {0} & {\text { if }} & {i \neq j} \\ {\mathbb E[e_{j}^{2}] \cdot\left(t_{j+1}-t_{j}\right)} & {\text { if }} & {i=j} \end{array}\right.$$ 进而有 $$\begin{aligned} \mathbb E\left[\left(\int_{S}^{T} \phi(t) d B(t)\right)^{2}\right] &=\sum_{i, j}\mathbb E\left[e_{i} e_{j} \Delta B_{i} \Delta B_{j}\right]\\&=\sum_{j} \mathbb E[e_{j}^{2}] \cdot\left(t_{j+1}-t_{j}\right) \\ &=\mathbb E\left[\int_{S}^{T} \phi^{2}(t) d t\right]. \end{aligned}$$ 再对$f\in\mathcal{V}$中一般函数证明即可。

推论2.4：若存在函数$f,f_n\in\mathcal{V}(S,T)$，且 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb E\left[\int_S^T(f_n(t)-f(t))^2dt\right]=0$$ 则有 $$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{S}^{T} f_{n}(t) d B(t)=\int_{S}^{T} f(t) d B(t). \tag{2.12}$$

下面我们来通过一个例子看看这样的定义得到的结果。

例2.5：设$B(0)=0$，则有 $$\int_0^tB(s)dB(s)=\frac12B^2(t)-\frac12t$$

证明：通过定义$2.2$，令 $$\phi_n(s)=\sum B(t_j) \cdot \mathcal{X}_{\left[t_{j}, t_{j+1}\right)}(s)$$ 进而有 $$\begin{array}{l} {\mathbb E\left[\int_{0}^{t}\left(\phi_{n}-B(t_s)\right)^{2} d s\right]=\mathbb E\left[\sum_{j} \int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(B(t_j)-B(t_s)\right)^{2} d s\right]} \\ {=\sum_{j} \int_{t_{j}}^{t_{j+1}}\left(s-t_{j}\right) d s=\sum_{j} \frac{1}{2}\left(t_{j+1}-t_{j}\right)^{2} \rightarrow 0 ,\ \text { 当 } \Delta t_{j} \rightarrow 0}. \end{array}$$ 由推论$2.4$，得到 $$\int_{0}^{t} B(s) d B(s)=\lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0} \int_{0}^{t} \phi_{n} d B(s)=\lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0} \sum_{j} B(t_j) \Delta B(t_j)$$ 且由布朗运动的性质，有 $$\begin{aligned} \Delta\left(B^{2}(t_j)\right) &=B^{2}(t_{j+1})-B^{2}(t_j)\\ &=\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right)^{2}+2 B(t_{j})\left(B(t_{j+1})-B(t_{j})\right) \\ &=\left(\Delta B(t_{j})\right)^{2}+2 B(t_{j}) \Delta B(t_{j}) \end{aligned}$$ 进而当$B(0)=0$时， $$B^2(t_j)=\sum_j\Delta\left(B^{2}(t_j)\right)=\sum_j\left(\Delta B(t_j)\right)^2+2\sum_jB(t_j)\Delta B(t_j)$$ 因此 $$\begin{aligned} \lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0} \sum_{j} B(t_j) \Delta B(t_j)&=\lim _{\Delta t_{j} \rightarrow 0}\left[\frac12B^2(t)-\frac12\sum_j(\Delta B(t_j))^2\right]\\ &=\frac12B^2(t)-\frac12t. \end{aligned}$$

注：这不同于以往的积分，否则有$\int_0^tf(s)df(s)=\frac12f^2(t)$。事实上，这是因为$\mathbb E\left[\int_0^tf(t)dB(t)\right]=0$ (将在后文提到)，因而减去$\frac12B^2(t)$的期望$\frac12t$是自然的事情。

定理2.6：Itô积分有如下性质：设$f,g\in\mathcal{V}(0,T)$，假设$0\le S<U<T$，则有

1. (线性性) $\int_S^T(af+bg)dB(t)=a\cdot\int_S^TfdB(t)+b\cdot\int_S^TgdB(t).$

2. (可加性) $\int_S^TfdB(t)=\int_S^UfdB(t)+\int_U^TfdB(t).$

3. $\mathbb E\left[\int_S^TfdB(t)\right]=0.$

4. $\int_S^TfdB(t)$关于$\mathcal{F}_T$可测.

5. $M(t):=\int_0^tf(s)dB(s)$是关于$\sigma$-代数流$\mathcal{F}_t$的鞅(martingale). 见Stochastic Differential Equations P33.

2.3 Itô公式

我们注意到Itô积分$B(t)=\int_0^tdB(s)$经过函数$g(x)=\frac12x^2$符合之后并不是形如$\int_0^tf(s)dB(s)$形式的Itô积分，而是“$dB(s)$”项加上“$ds$”项的积分： $$\frac12B^2(t)=\int_0^t\frac12ds+\int_0^tB(s)dB(s)$$ 下面我们引入这一概念。

定义3.1：(Itô过程) 记$B(t)$是$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)$上的布朗运动，则定义在$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb P)$上的随机过程$\{X_t,t\ge0\}$满足 $$X_t=X_0+\int_0^tu(s)ds+\int_0^tv(s)dB(s)\tag{3.1},$$ 其中要求$u(s),v(s)$适应且可积，也即 $$\int_0^t(u^2(s)+|v(s)|)ds<+\infty.$$ 称这样的过程为Itô过程。

或将式$3.1$写成微分形式： $$dX(t)=udt+vdB(t)\tag{3.2}$$ 式$3.1$或式$3.2$称为随机微分方程(stochastic differential equation, SDE)，例如通过例2.5，我们有 $$d\left(\frac12B^2(t)\right)=\frac12dt+B(t)dB(t)$$ 下面我们陈述一个重要的公式。

定理3.2：(一维Itô公式，Itô formula)

设Itô过程$X(t)$满足 $$dX(t)=udt+vdB(t)$$ 设$g(t,x)\in C^2\left([0,\infty)\times\mathbb R\right)$，则随机过程 $$Y(t)=g\left(t,X(t)\right)$$ 仍然是Itô过程，并且有 $$d Y(t)=\frac{\partial g}{\partial t}\left(t, X(t)\right) d t+\frac{\partial g}{\partial x}\left(t, X(t)\right) d X(t)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}\left(t, X(t)\right) \cdot\left(d X(t)\right)^{2} \tag{3.3}$$ 其中$\left(d X(t)\right)^{2}$的计算按照 $$dt\cdot dt=dt\cdot dB(t)=dB(t)\cdot dt=0,\quad dB(t)\cdot dB(t)=dt.\tag{3.4}$$

Itô formula的详细证明见Stochastic Differential Equations P46, 我们先通过两个例子来进行说明。

例3.3：考虑随机积分 $$I=\int_0^tB(s)dB(s).\tag{3.5}$$ 我们令$X(t)=B(t),g(t,x)=\frac12x^2$，有 $$Y(t)=g(t,X(t))=\frac12B^2(t).$$ 并且由Itô formula， $$\begin{aligned}d Y(t)&=\frac{\partial g}{\partial t} d t+\frac{\partial g}{\partial x} d B(t)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}\left(d B(t)\right)^{2}\\ &=B(t) d B(t)+\frac{1}{2}\left(d B(t)\right)^{2}=B(t) d B(t)+\frac{1}{2} d t. \end{aligned}$$ 因而有 $$d\left(\frac12B^2(t)\right)=B(t)dB(t)+\frac12dt,$$ 或写成 $$\frac12B^2(t)=\int_0^tB(s)dB(s)+\frac12dt.\tag{3.6}$$ 这与例$2.5$得到的结果一致。

例3.4：考虑随机积分 $$I=\int_0^tsdB(s).\tag{3.7}$$ 注意到其应当含有“$tB(t)$”项 (为什么?) 自然地取$g(t,x)=tx$，此时 $$Y(t)=g(t,B(t))=tB(t).$$ 由Itô formula， $$dY(t)=B(t)dt+tdB(t)+0,$$ 也即有 $$d(tB(t))=B(t)dt+tdB(t),$$ 两侧积分，移项后得到 $$\int_0^tsdB(s)=tB(t)-\int_0^tB(s)ds.\tag{3.8}$$ 注：得到的结果形式上与分部积分类似，进而可得以下结论。

练习3.5：证明Itô积分下的分部积分公式： $$\int_0^tf(s)dB(s)=f(t)B(t)-\int_0^tB(s)df(s)$$

下面将定理$3.2$推广至高维。

定理3.6：(Itô公式，The general Itô formula)令 $$dX(t)=udt+vdB(t)\tag{3.9}$$ 是$n$维Itô过程，设$g(t,x)\in C^2\left([0,\infty)\times\mathbb R^n\right)$，满足$g(t,x)=\left(g_1(t,x),\cdots,g_p(t,x)\right)$则随机过程 $$Y(t)=g\left(t,X(t)\right)$$ 仍然是Itô过程，并且对于向量$Y(t)$的某一分量$Y_k$，有 $$d Y_{k}(t)=\frac{\partial g_{k}}{\partial t}(t, X) d t+\sum_{i} \frac{\partial g_{k}}{\partial x_{i}}(t, X) d X_{i}+\frac{1}{2} \sum_{i, j} \frac{\partial^{2} g_{k}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(t, X) d X_{i}(t) d X_{j}(t)\tag{3.10}$$ 其中 $$dB_i(t)\cdot dB_j(t)=\left\{\begin{array}{ccc} {dt} & {\text { if }} & {i=j} \\ {0} & {\text { if }} & {i\neq j} \end{array}\right.,\ dt\cdot dt=d\cdot B_i(t)dt=dt\cdot dB_i(t)=0.$$