9  Quadratische Formen

Wenn $\mathbf{A}$ eine symmetrische $(n\times n)$-Matrix ist und $\mathbf{x}$ ein Spaltenvektor der Länge $n$ ist, dann nennt man $${\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}$$ quadratische Form von $\mathbf{A}$. Ohne die kompakte Matrixnotation ergibt sich die quadratische Form als $${\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j.$$ Es handelt sich also tatsächlich um eine quadratische Funktion der Elemente von $\mathbf{x}$.

Mit Hilfe der quadratischen Form kann man das Konzept von positiven und negativen Zahlen in gewisser Weise auf Matrizen erweitern. Man nennt eine symmetrische Matrix positiv definit, wenn für alle $\mathbf{x}\ne \mathbf{0}$ $${\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}>0$$ gilt. Bei einer schwachen Ungleichung heißt die Matrix positiv semidefinit. Entsprechend nennt man eine symmetrische Matrix negativ definit (oder negativ semidefinit), wenn für alle $\mathbf{x}\ne \mathbf{0}$ $${\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}<0$$ bzw. ${\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}\le 0$ (die englischen Begriffe lauten positive or negative (semi)definite). Nicht jede Matrix ist positiv oder negativ (semi)definit. Matrizen, die weder positiv noch negativ semidefinit sind, heißen indefinit.

Bei der quadratischen Form einer Matrix ergibt sich eine reelle Zahl, wenn für $\mathbf{x}$ ein konkreter Vektor eingesetzt wird.

Warum wird Definitheit nur für symmetrische Matrizen definiert? Die Antwort ist: Weil es nicht nötig ist, sie für andere (quadratische) Matrizen zu definieren. Die quadratische Form einer nicht-symmetrischen Matrix lässt sich nämlich auf die quadratische Form einer symmetrischen Matrix zurückführen. Um das zu erkennen, betrachtet man die Transponierte der quadratischen Form, $$({\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}{)}^{\prime }={\mathbf{x}}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{x},$$ wobei sich die Umformung aus den Rechenregeln für die Transponierte ergeben (vgl. Abschnitt 4.2). Da es sich um eine reelle Zahl handelt, sind die transponierte und die ursprüngliche quadratische Form identisch. Daraus folgt $$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}& =\frac{1}{2}({\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Ax}+{\mathbf{x}}^{\prime }{\mathbf{A}}^{\prime }\mathbf{x})\\ & ={\mathbf{x}}^{\prime }\left(\frac{\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\prime }}{2}\right)\mathbf{x}\\ & ={\mathbf{x}}^{\prime }\mathbf{Bx},\end{array}$$ wobei $\mathbf{B}$ eine symmetrische Matrix ist. Mit anderen Worten, die quadratische Form einer nicht-symmetrischen Matrix kann immer auf die quadratische Form einer symmetrischen Matrix zurückgeführt werden. Folglich reicht es aus, symmetrische Matrizen zu betrachten.

Um zu entscheiden, ob eine Matrix positiv (semi)definit ist, untersucht man die Eigenwerte. Denn es gilt: Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Eigenwerte positiv sind. Und eine Matrix ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte nichtnegativ sind.

Positive Definitheit ist in der Ökonometrie deutlich relevanter als negative Definitheit. Trotzdem stellt sich die Frage, wie man feststellt, ob eine Matrix negativ (semi)definit ist. Die Vorgehensweise ist recht simpel: Wenn eine symmetrische Matrix $\mathbf{A}$ negativ (semi)definit ist, dann ist die Matrix $\mathbf{-}\mathbf{A}$ positiv (semi)definit. Wenn also alle Eigenwerte von $\mathbf{-}\mathbf{A}$ positv (bzw. nichtnegativ) sind, dann ist $\mathbf{A}$ negativ (semi)definit.

Positive Definitheit wird in der Ökonometrie oft benutzt, um zwei symmetrische Matrizen ” der Größe nach” zu vergleichen. Man nennt $\mathbf{A}$ größer als $\mathbf{B}$, wenn $\mathbf{A}-\mathbf{B}$ positiv definit ist.