La importancia de la estadística dentro del campo experimental siempre ha sido muy relevante, ya que para poder extraer conclusiones de un conjunto de datos experimentales se hace necesaria la utilización de procedimientos estadísticos más o menos sofisticados. Con la irrupción de los ordenadores personales y de los programas estadísticos para legos en la materia, así como la explosión tecnológica que estamos viviendo en los últimos años, la importancia de un correcto estudio estadístico de los datos experimentales se hace más necesaria que nunca. Se siguen publicando trabajos de investigación basados en datos experimentales donde el tratamiento estadístico de la información allí recogida puede considerarse como decepcionante. Con esta materia pretendemos guiar al estudiante en un correcto uso y análisis de las técnicas estadísticas más habituales en los diseños experimentales.
El tratamiento estadístico de datos experimentales se puede caracterizar en dos grandes áreas: estudios descriptivos y análisis y modelización. Los estudios descriptivos se centran en el procesado de los datos experimentales obtenidos con el objetivo de establecer o reflejar posibles patrones o tendencias en su comportamiento. Se engloban dentro de este ámbito todas la técnicas estadísticas que permiten los resúmenes numéricos y gráficos de la información observada, así como la detección de observaciones anómalas, la transformación y el filtrado de los datos experimentales. Sin embargo, los estudios descriptivos tienen la gran limitación de que sus resultados están circunscritos a los datos observados, y por tanto no se pueden generalizar a la población más general de la que se han obtenido. En el análisis y modelización se pretende generalizar los posibles patrones de comportamiento observados, en la fase descriptiva, mediante la construcción de modelos que nos permiten aproximar el comportamiento de datos experimentales no observados. Evidentemente la construcción de dichos modelos estadísticos no es una tarea rutinaria que debe tomarse a la ligera. La propia naturaleza de los datos observados puede dar una idea de los posibles modelos que se pueden utilizar, pero el modelo final obtenido es el resultados de un proceso iterativo de construcción, verificación y validación que puede resultar costoso en algunas situaciones.
La modelización estadística resulta relevante para representar el comportamiento de los datos experimentales de la forma más sencilla posible mediante modelos matemáticos donde se introduce de forma natural la incertidumbre de cualquier diseño experimental. Esta asignatura se centrará en la fase de modelización pero para poder llegar a comprender su naturaleza es necesario introducir primero los conceptos básicos de cualquier estudio estadístico, así como los procedimientos de estadística descriptiva y el estudio de la aleatoriedad en los diseños experimentales.
Este tema establece las definiciones básicas de cualquier estudio estadístico sobre diferentes ejemplos e introduce la nomenclatura básica de los modelos estadísticos que estudiaremos más adelante.
Usar la estadística no necesariamente es sinónimo de utilizar palabras raras o de hacer cálculos complicados. Significa que deseamos ver la realidad de forma objetiva, a través de datos que reflejen de la mejor manera posible qué es lo que está ocurriendo. Una vez se tienen los datos hay que saber sacarles la información y saberla plasmar de forma clara y convincente.
En esta sección presentamos los conceptos básicos que utilizaremos a lo largo de la materia. Se trata únicamente de un resumen muy esquemática, pero nos sirve para sentar las bases de los temas siguientes.
El objetivo de cualquier diseño experimental es aquellos que pretendemos estudiar en función del tipo de información que se ha recogido y del tipo de premisas establecidas antes de la recolección de los datos. Además es importante establecer el número de repeticiones del experimento que vamos a realizar, ya que eso condicionará el análisis de dichos datos. Si nuestro diseño experimental es muy complejo puede ocurrir que plantemos más de un objetivo.
Ejemplo 1 (Degradación compuesto orgánico). Se va a realizar un experimento para conocer el tiempo que tarda en degradarse un compuesto orgánico. En este caso nuestro objetivo es el tiempo hasta la degradación. Si el experimneto considera diferentes tipos de compuestos nuestro objetivo podría ser comparar el tiempo de degradación en función del tipo de compuesto.
Se define la población como el conjunto de sujetos u objetos que son de interés para el objetivo u objetivos planteados en nuestro diseño experimental. EL problema principal es que la población de sujetos u objetos suele ser demasiado grande para poder analizarla de forma completa, y por tanto debemos acudir a un subconjunto de dicha población para llevar a cabo nuestro diseño experimental.
Se define la muestra como el subconjunto de la población a la que accedemos para obtener la información necesaria de cara a responder de la forma más precisa posible al objetivo u objetivos planteados.
Una medida es un número o atributo que se puede calcular para cada uno de los miembros de la población que está relacionado directamente con el objetivo de interés de la investigación. El conjunto de medidas obtenidas para cada uno de los elementos muestrales se denominan datos muestrales.
EL conjunto de medidas que se pueden observar y registrar para un conjunto de sujetos u objetos bajo investigación se denominan variables. Por tanto, una variable es el conjunto de valores que puede tomar cierta característica de la población sobre la que se realiza el estudio estadístico. Se distinguen dos tipos que pasamos a describir a continuación.
Son el tipo de variables que como su nombre lo indica expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría, y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando sólo pueden tomar dos valores posibles, como sí y no, hombre y mujer o ser politómicas cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:
Son las variables que toman como argumento cantidades numéricas. Las variables cuantitativas además pueden ser:
De forma habitual, la estructura de cualquier banco de datos (asociado a un diseño experimental) tiene una estructura matricial donde en las filas se colocan los sujetos bajo estudio y en las columnas se sitúan las variables medidas para cada uno de ellos.
Asociada a cada variable de nuestro banco de datos se puede establecer lo que conocemos como parámetro o parámetros de interés de la variable.
Ejemplo 2 (Variable de interés). Para el diseño experimental del estudio de la degradación del compuesto orgánico presentado en el ejemplo @ref(exm:ejemplo1), la variable de interés es de tipo continuo y viene dada por el tiempo de degradación asociado a cada repetición del experimento. Sin embargo, a la hora de extraer conclusiones no podemos presentar todo el conjunto de datos sino que recurrimos a un resumen de dichos datos.
Asociado a cada variable se puede establecer lo que conocemos como parámetro o parámetros de interés de la variable. En el ejemplo anterior el parámetro de interés es el tiempo medio de degradación. Dado que generalmente no es posible examinar toda la población y debemos recurrir a una muestra de dicha población, es imposible conocer el verdadero valor del parámetro asociado con dicha variable. Para sortear este problema definimos el estadístico como una realización del parámetro para los datos muestrales observados. Por tanto el valor del estadístico (denominado estimación) varia entre dos muestras de las misma población. Cuanto mayor es la muestra más se parecerá el valor del estadístico al del parámetro.
En ocasiones ocurrirá que el número de parámetros asociado con una variable no es único, ya que se pueden establecer varios parámetros para estudiar el comportamiento de una variable. En el caso de variables de tipo cuantitativo siempre existen dos parámetros de interés: la media y la desviación típica. El primero nos indica como se sitúan los datos mientras que el segundo nos indica como se reparten los datos muestrales alrededor de la media.
Ejemplo 3 (Parámetro de interés). Para el diseño experimental del estudio de la degradación del compuesto orgánico presentado en el ejemplo @ref(exm:ejemplo1), el parámetro poblacional de interés es el tiempo medio de degradación, mientras que el estadístico es la media del tiempo de degradación observado para los sujetos de la muestra. Distinguimos entonces entre media poblacional (parámetro) y media muestral (estadístico).
De forma habitual, cuando el investigador (o investigadores) se plantea un diseño experimental y comienza con la recogida de datos es porque persigue el estudio de o verificación de un objetivo planteado sobre la población bajo estudio. Estos objetivos se suelen establecer en base a teorías o hipótesis que se desean verificar sobre le funcionamiento de la población bajo ciertas condiciones experimentales. Por ejemplo:
Es entonces cuando la modelización estadística interviene y el analista busca el mejor modelo que ajusta los datos disponibles y proporciona predicciones fiables. El objetivo de la modelización estadística es el planteamiento de una expresión matemática que representa el comportamiento general de la población bajo estudio, teniendo en cuenta el diseño experimental establecido y el objetivo u objetivos que se desean verificar
Un primer paso en la modelización estadística es el planteamiento de una expresión matemática que represente el comportamiento general de la población bajo estudio teniendo en cuenta el diseño experimental establecido y el objetivo u objetivos que se desean verificar. Esto es lo que se conoce como componente sistemática del modelo y se basa únicamente en la parte controlada del diseño experimental. Por ejemplo, si nos planteamos como objetivo conocer la suma de dos números \(a\) y \(b\), la función matemática (sistemática) que permite expresar la suma de forma única es \(“a+b”\). Esta componente sistemática es una función determinista, pues siempre proporciona el mismo resultado si los valores de entrada son iguales. Al proponer la parte sistemática (o determinista) de un modelo será siempre necesario concretar la variable que se asocia al objetivo o hipótesis planteada sobre la población (representada por \(Y\)) y la variable o variables \((X_1, X_2,…)\) relacionadas o supuestamente relacionadas con ella a través de la función matemática especificada.
Supongamos un diseño experimental en el que tenemos una variable \(Y\) que está ligada directamente con el objetivo de la investigación, y un conjunto de variables \(X_1, X_2,…,X_k\), que se supone que pueden influir en el comportamiento de \(Y\). Habitualmente a \(Y\) se la denomina variable respuesta o variable dependiente y a las \(X’s\) variables predictoras, variables explicativas e incluso covariables cuando se trata de variables de tipo numérico continuo. Cuando las variables \(X\) son de tipo categórico se suelen denominar factores explicativos o de clasificación. A las variables \(X\) se las suele denominar también variables independientes, asumiendo independencia entre ellas, aunque esta acepción puede estar algo alejada de la realidad como discutiremos más adelante; en adelante no utilizaremos esta denominación y optaremos por cualquiera de las anteriormente presentadas. En la situación más sencilla donde la respuesta puede venir influenciada de forma directa por las posibles predictoras, la respuesta media (\(\hat{Y}\)) se puede modelizar a través de una función \(f\) que describe la componente sistemática del modelo:
\[\begin{equation} \hat{Y} = f(X_1,X_2,...,X_k) \end{equation}\]
Si nuestro modelo es adecuado, esta función debe reflejar el comportamiento medio esperado de la variable respuesta. Dado que sujetos distintos con los mismos valores de las \(X’s\) producirán generalmente valores distintos en la respuesta, se hace necesaria la introducción de una componente variable en el modelo. Esta componente se denomina componente aleatoria y está relacionada directamente con la variabilidad de los sujetos en la respuesta para una misma combinación de valores de las variables predictoras. La denotaremos habitualmente por:
\[\begin{equation} \epsilon \end{equation}\]
que es una variable aleatoria con distribución de probabilidad \(F\). Asumiendo que ambas componentes tienen un efecto aditivo sobre la respuesta, nuestro modelo base de partida vendrá dado por la expresión:
\[\begin{equation} Y = \hat{Y} + \epsilon = f(X_1,X_2,...,X_k) + \epsilon \end{equation}\]
En función del tipo de variable respuesta, las predictoras, de la relación que se pueden establecer entre ellas a través de \(f\), y del establecimiento de las estructuras aleatorias \(F\) para los errores tendremos diferentes tipos de modelos. A lo largo de esta materia veremos las diferentes posibilidades de modelización.
En función del tipo de variable respuesta, las predictoras, de la relación que se pueden establecer entre ellas a través de \(f\), y del establecimiento de las estructuras aleatorias \(F\) para los errores tendremos diferentes tipos de modelos. A lo largo de esta materia veremos las diferentes posibilidades de modelización. A lo largo de las unidades siguientes iremos estudiando las características de los diferentes modelos, pero estos se pueden agrupar en dos grandes apartados:
Introduciremos además los modelos de suavizado y una breve introducción a los modelos de efectos aleatorios, que pueden ser utilizados en conjunción con los LM y los GLM.
El proceso de modelización y análisis estadístico de un banco de datos se puede estructurar según las siguientes pautas de actuación:
Si la revisión/validación del modelo nos lleva a descartarlo (punto 7), será preciso una nueva propuesta, de modo que entraremos en un bucle entre los puntos (5)-(7) que culminará cuando quedemos satisfechos con el diagnóstico y la validación del modelo.
A la hora de representar gráficamente la información de cada banco de datos tendremos en cuenta esta serie de principios básicos:
Javier Morales, email: j.morales@.umh.es.
Mª Asunción Martínez, email: am.mayoral@umh.es.