Chapter 2 Statistique descriptive univariée

Introduction

Objectif du chapitre

Être capable d’analyser, d’interpréter et de résumer graphiquement les principales caractéristiques d’une série statistique.

2.0.1 Notations

Dans ce chapitre, nous supposons avoir observé une variable \(X\) sur \(n\) individus. La donnée observée sur l’individu \(i\) sera notée \(x_i\).

Definition 2.1 (Série statistique) L’ensemble \(x_{1:n}=\left(x_1,\cdots,x_i,\cdots, x_n\right)\) est une série statistique.

2.1 Séries qualitatives

Une série statistique \(x_{1:n}\) est dite qualitative ou catégorielle lorsque la variable soujacente \(X\) est qualitative (nominale ou ordinale). Ses données sont des caractéristiques qui ne peuvent être quantitifées.

Definition 2.2 (Modalité) On appelle modalité toute valeur possible d’une variable.

Definition 2.3 (Série qualitative nominale) Une série statistique qualitative est dite nominale lorsqu’il n’y a pas d’ordre sur ses modalités.

Definition 2.4 (Série qualitative ordinale) Une série statistique qualitative est dite ordinale lorsqu’il y a un ordre sur ses modalités.

2.1.1 Tableau statistique - Mode

Soit \(\left\{m_1,\cdots,m_k,\cdots,m_K\right\}\) l’ensemble des modalités de la série qualitative \(x_{1:n}\);
Soit \(n_k=\sum_{i=1}^n1_{[x_i=m_k]}\), l’effectif de la modalité \(m_k\);
On a: \(n=\sum_{k=1}^Kn_k\)
Fréquence de la modalité \(m_k\): \(f_k=\dfrac{n_k}{n}\);

Definition 2.5 (Mode) Le Mode est toute modalité au plus grand effectif (ou à la plus grande fréquence).

Tableau statistique

Modalités	\(m_1\)	\(\cdots\)	\(m_k\)	\(\cdots\)	\(m_K\)	Total
Effectifs	\(n_1\)	\(\cdots\)	\(n_k\)	\(\cdots\)	\(n_K\)	\(n\)
Fréquences	\(f_1\)	\(\cdots\)	\(f_k\)	\(\cdots\)	\(f_K\)	\(1\)

Example 2.1 (Couleur des yeux)

eyes_colors = sample(c(rep("black", 5), rep("blue", 2), rep("brown", 7)), replace = FALSE)
cat(eyes_colors, "\n")

## brown brown black blue brown black black brown blue brown black brown black brown

table(eyes_colors)

## eyes_colors
## black  blue brown 
##     5     2     7

Cas d’une série qualitative ordinale

- Effectifs cumulés: $N_k=\sum_{h=1}^kn_h$
- Fréquences cumulées: $F_k=\sum_{h=1}^kf_h$

Modalités	\(m_1\)	\(\cdots\)	\(m_k\)	\(\cdots\)	\(m_K\)	Total
Effectifs	\(n_1\)	\(\cdots\)	\(n_k\)	\(\cdots\)	\(n_K\)	\(n\)
Eff. cum.	\(N_1=n_1\)	\(\cdots\)	\(N_k=\sum_{h=1}^kn_h\)	\(\cdots\)	\(n\)	-
Fréquences	\(f_1\)	\(\cdots\)	\(f_k\)	\(\cdots\)	\(f_K\)	\(1\)
Fréq. Cum.	\(F_1=f_1\)	\(\cdots\)	\(F_k=\sum_{h=1}^kf_h\)	\(\cdots\)	\(1\)	-

2.1.2 Graphiques

2.1.2.1 Diagrammes à barres

Chaque modalité \(m_k\) est représentée par une barre verticale dont la hauteur \(h_k\) est proportionnelle à son effectif (ou de façon equivalente à sa fréquence):

\[ h_k=c^{te}\times f_k \]

Pour \(c^{te}=1\), on a \(h_k=f_k\);
Pour \(c^{te}=n\), on a \(h_k=n\times f_k=n_k\).

2.1.2.2 Diagrammes en secteurs (ou circulaire, ou en camenberts)

Chaque modalité \(m_k\) est représentée par un angle dont la mesure est proportionnelle à son effectif (ou fréquence):

\[ \alpha_k = 360\times f_k. \]

Example 2.2

Example 2.3 (Niveaux de satisfaction)

## peu satisfait pas satisfait modérément satisfait modérément satisfait très satisfait modérément satisfait peu satisfait

2.2 Séries quantitatives

On considère une série quantitative \(x_{1:n}=\left(x_1,\cdots,x_i,\cdots,x_n\right)\in\mathbb{R}^n\).

Definition 2.6 La série est dite:

Discrète lorsqu’elle ne peut prendre que les valeurs isolées dans \(\mathbb{R}\);
Continue lorsqu’elle peut prendre toute valeur d’un intervalle ouvert non vide de \(\mathbb{R}\).

2.2.1 Paramètres

2.2.1.1 Paramètres de tendance centrale (ou de position)

Definition 2.7 (Mode) On appelle mode toute modalité au plus grand effectif.

Definition 2.8 (Moyenne arithmétique) \[ \bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]

Definition 2.9 (Moyenne pondérée) Des fois, chaque données \(x_i\) est accompagnée d’un poids \(\omega_i>0\) vérifiant \(\sum_{i=1}^n\omega_i=1\). La moyenne des données pondérées \(\left(x_i, \omega_i\right)\) est: \[ \bar{x} = \sum_{i=1}^{n} \omega_ix_i \]

Remarques: La moyenne arithméique correspond à la moyenne pondérée avec les poids \(\omega_i=\dfrac{1}{n}\).

Definition 2.10 (Moyenne géométrique) \[ g = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}} \]

Remarque: Si tous les \(x_i>0\), \[ \ln g = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln x_i \]

Definition 2.11 (Moyenne harmonique) La moyenne harmonique est l’inverse de la moyenne des inverses: \[ h = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x_i}} \]

Definition 2.12 (Médiane) On appelle médiane toute valeur \(q_{0.5}\) telle que:

\(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{[x_i\leq q_{0.5}]}\geq 0.5\) et
\(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{[x_i\geq q_{0.5}]}\geq 0.5\).

Dans la pratique

Ranger les données dans l’ordre croissant \(\min\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}=x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots, x_{(i)}\leq\cdots,x_{(n)}=\max\left\{x_1,\cdots,x_n\right\}\)
Si \(n\) est impair, prendre \(q_{0.5}=x_{\left(\dfrac{n+1}{2}\right)}\)
Si \(n\) est pair, prendre \(q_{0.5}=\dfrac{1}{2}\left(x_{\left(\dfrac{n}{2}\right)}+x_{\left(\dfrac{n}{2}+1\right)}\right)\)

Definition 2.13 (Quantiles) Soit \(\alpha\in[0, 1]\).

On appelle quantile d’ordre \(\alpha\) de la série \(x_{1:n}\) tout réel \(q_{\alpha}\) vérifiant:

\(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{[x_i\leq q_{\alpha}]}\geq \alpha\) et
\(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{[x_i\geq q_{\alpha}]}\geq 1-\alpha\).

Remarques:

La médiane est le quantile d’ordre \(0.5\).

Definition 2.14 (Les quartiles) Les quartiles sont \(q_{\frac{1}{4}}\), \(q_{\frac{1}{2}}\) et \(q_{\frac{3}{4}}\).

2.2.1.2 Paramètres de dispersion

Ces paramètres fournissent une compréhension approfondie de la dispersion des données d’une série quantitative, chacun mettant en lumière différents aspects de la variabilité des données.

Definition 2.15 (Étendu) L’étendue mesure la dispersion totale des données en calculant la différence entre la valeur maximale et minimale:

\[E= x_{(n)} - x_{(1)}\]

:::{.definition name=” distance interquartile”} La distance interquartile (IQ) mesure l’étendue de la moitié centrale des données, réduisant l’impact des valeurs extrêmes ou des outliers:

\[IQ = q_{\frac{3}{4}} - q_{\frac{1}{4}}\] :::

Definition 2.16 (Variance) La variance mesure la dispersion des données autour de leur moyenne. Elle est basée sur les carrés des écarts à la moyenne pour éviter que les différences positives et négatives se compensent:

\[S^2_x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\]

Proposition 2.1 (Exercice) \[S^2_x = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x^2_i - \bar{x}^2\]

Definition 2.17 (Écart-type) L’écart-type est la racine carrée de la variance, fournissant une mesure de dispersion dans les mêmes unités que les données originales:

\[S_x = \sqrt{S^2_x}\]

Definition 2.18 (Écart moyen absolu) L’écart moyen absolu est la moyenne des valeurs absolues des écarts à la moyenne, offrant une autre mesure de dispersion: \[\text{eMoyAbs} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|\]

Definition 2.19 (Écart médian absolu) L’écart médian absolu se concentre sur la médiane, calculant la moyenne des valeurs absolues des écarts à la médiane: \[\text{eMedAbs} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - q_{\frac{1}{2}}|\]

2.2.1.3 Moments

Definition 2.20 (Moments) Le moment d’ordre \(k\) est le réel \[ \mu_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^k \]

Definition 2.21 (Moments centrés) Le moment centré d’ordre \(k\): \[ m_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^k \]

Remark.

\(\bar{x}=\mu_1\)
\(S_x^2 = m_2\)

2.2.1.4 Paramètres de Forme

Definition 2.22 (Coefficient d'applatissement (Skewness)) Mesure de l’asymétrie de la distribution autour de sa moyenne. \[g_1 = \frac{m_3}{S^3_x}\]

Definition 2.23 (Coefficient d'asymétrie de Yule) C’es une mesure d’asymétrie basée sur les positions des trois quartiles, normalisé par la distance interquartile: \[A_Y = \frac{q_{\frac{3}{4}} + q_{\frac{1}{4}} - 2q_{\frac{1}{2}}}{q_{\frac{3}{4}} - q_{\frac{1}{4}}}\]

Definition 2.24 (Coefficient d'asymétrie de Pearson) C’est une mesure de l’asymétrie basée sur une comparaison de la moyenne et du mode, standardisé par l’écart-type: \[A_P = \frac{\bar{x} - x_M}{S_x}\] où \(\bar{x}\) est la moyenne, \(x_M\) est le mode, et \(s_x\) est l’écart-type.

2.2.1.5 Paramètre d’aplatissement (Kurtosis)

Definition 2.25 (Kurtosis) C’est une mesure du degré d’aplatissement de la distribution par rapport à une distribution normale: \[\beta_2 = \dfrac{m_4}{S^4_x}\] - Formule de Fisher: \[g_2 = \beta_2 - 3 = \dfrac{m_4}{S^4_x} - 3\] où \(m_4\) est le moment centré d’ordre quatre et \(s_x\) est l’écart-type au carré.

2.2.2 Série quantitative regroupée par intervalles (ou classes)

Les données de séries quantitatives continues sont souvent regroupées en intervalles ou classes pour synthétiser l’information et faciliter son analyse. Cette section décrit la méthode de regroupement et sa représentation à travers des tableaux et des histogrammes, en utilisant des exemples concrets et des instructions pour réaliser ces tâches avec R.

2.2.2.1 Principe de Regroupement - Tableau statistique

La plage des valeurs de la variable en question est partitionnée en un certain nombre \(K\) d’intervalles;

Définir le nombre \(K\) d’e classes’intervalles;

Remplacer chaque observation par l’intervalle qui la contient;
Établir le tableaux des effectifs des données transformées qui sont alors qualitatives ordinales.

Classes	Amplitudes	Centres	Effectifs	Freq.	Freq. cum
\(I_1=[b_0,b_1[\)	\(a_1\)	\(c_1\)	\(n_1\)	\(f_1\)	\(F_1\)
\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)
\(I_k=[b_{k-1},b_k[\)	\(a_k\)	\(c_k\)	\(n_k\)	\(f_k\)	\(F_k\)
\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)	\(\cdots\)
\(I_K=[b_{k-1},b_K]\)	\(c_K\)	\(c_K\)	\(n_K\)	\(f_K\)	\(F_K\)

avec:

\(n_k=\sum_{i=1}^n1_{I_k}(x_i)\)
\(f_k=\dfrac{n_k}{n}\)
\(F_k=\sum_{h=1}^kf_h\)
Centre de l’intervalle \(k\): \(c_k=\dfrac{b_{k-1}+b_k}{2}\)
Amplitude: \(a_k=b_k-b_{k-1}\)

2.2.2.2 Détermination du Nombre de Classes

Le nombre de classes peut être déterminé par des règles empiriques telles que :

La règle de Sturges : \(K = 1 + 3.3 \log_{10}(n)\)
La règle de Yule : \(K = 2.5 \sqrt[4]{n}\)

où \(n\) est le nombre total d’observations.

2.2.3 Représentation Graphique : L’Histogramme

L’histogramme est un outil graphique qui représente la distribution des données regroupées en classes. Chaque classe est représentée par un rectangle, dont la base est l’intervalle de classe et la surface est proportionnelle à l’effectif (ou la fréquence) de la classe.

Histogramme de fréquence: La surface d’une classe est proportionnelle à sa fréquence

\[ \dfrac{a_k\times h_k}{f_k}=1\rightarrow h_k=\dfrac{f_k}{a_k} \]

Histogramme des effectifs: La surface d’une classe est proportionnelle à son effectif

\[ \dfrac{a_k\times h_k}{n_k}=1\rightarrow h_k=\dfrac{n_k}{a_k} \]

Example 2.4 (Scores à un examen) On considère les scores obtenus par un groupe d’étudiants lors d’un examen:

require(ggplot2)
scores_exam <- c(55, 70, 68, 82, 90, 74, 61, 77, 85, 93, 69, 70, 75, 88, 92, 56, 65, 74, 58, 80)
ggplot(mapping = aes(x=scores_exam, )) +
   geom_histogram(color = "coral", fill = "steelblue", breaks = c(50, 60, 70, 85, 100), closed = "left", )

2.2.4 Fonction de répartition

2.2.4.1 Cas d’un échantillon \(x_{1:n}\)

Definition 2.26 (Fonction de répartition) La fonction de répartition, notée \(F_{x_{1:n}}\), est un outil essentiel en statistique descriptive pour analyser la distribution d’un échantillon \(x_1, \ldots, x_n\). Elle indique pour tout réel \(x\), la proportion d’observations de l’échantillon qui sont inférieures ou égales à \(x\). Cette fonction est définie pour tout réel \(x\) par :

\[ F_{x_{1:n}}(x) = \frac{\text{Nombre d'observations} \leq x}{n} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n1_{[x_i\leq x]}. \]

Proposition 2.2 (Fonction de répartition)

Criossante : Si \(x \leq y\), alors \(F_{x_{1:n}}(x) \leq F_{x_{1:n}}(y)\).
Limites : \(\lim_{x \to -\infty} F_{x_{1:n}}(x) = 0\) et \(\lim_{x \to +\infty} F_{x_{1:n}}(x) = 1\).
Droite continue : La \(F_{x_{1:n}}\) est continue à droite pour tout point \(x\).

Example 2.5 (Fonction de répartition) Considérons un échantillon de valeurs \(x_1, \ldots, x_n\) et calculons sa fonction de répartition. Voici comment cette fonction peut être estimée et représentée en R pour un échantillon hypothétique :

# Échantillon hypothétique
x <- c(2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)

# Calcul de la fonction de répartition
Fx <- ecdf(x)

# Représentation graphique de la fonction de répartition
plot(Fx, xlab="x", ylab="F(x)")

2.2.4.2 Cas de données regroupées par intervalles

Considérons le regroupement en intervalles selon les bornes \(b_0<b_1<\cdots<b_K\), que nous notons \(b_{0:K}\). Pour \(\left(b_{k-1}; b_k\right)\) l’intervalle, notons:

\(n_k\), son effectif;
\(f_k=\dfrac{n_k}{n}\), sa fréquence;
\(F_k = \sum_{h=1}^kf_h\), sa fréquence cumulée, avec \(F_0=0\).

Definition 2.27 (Fdr de données regroupées) Alors la fonction de répartition vérifie:

\(F_{b_{0:K}}(x)=0\) si \(x\leq b_0\);
\(F_{b_{0:K}}(x)=1\) si \(x\geq b_K\);
Pour tout \(x\in\left(b_{k-1}; b_k\right)\), le point \(\left(x, F_{b_{0:K}}(x)\right)\) appartient à la droite passant par \(\left(b_{k-1}, F_{k-1}\right)\) et \(\left(b_k, F_k\right)\).

Example 2.6 Définir et tracer la fonction de répartition associée aux données sur les scores à un examen données dans un exemple précédent.

2.2.5 Autres graphiques

2.2.5.1 Diagramme en bâtons

Le diagramme en bâtons est un outil graphique couramment utilisé pour représenter des données statistiques discrètes (quantitatves discrètes ou catégorielles). Chaque bâton dans le diagramme représente une modalité, avec la hauteur du bâton proportionnelle à l’effectif ou à la fréquence de la modalité représentée.

Caractéristiques Principales

Simplicité : Facile à lire et à interpréter, idéal pour comparer des fréquences ou des effectifs entre différentes catégories.

Adaptabilité : Peut être utilisé pour des données qualitatives ou quantitatives discrètes.

Clarté Visuelle : Permet une visualisation immédiate des tendances et des disparités entre les catégories.

Example 2.7 Prenons un exemple où nous avons le nombre d’enfants par famille dans une petite enquête :

Nombre d’Enfants : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Effectifs : 18, 32, 66, 41, 32, 9, 2

Pour représenter ces données sous forme de diagramme en bâtons en R, on peut utiliser le code suivant:

# Données
nombre_enfants <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
effectifs <- c(18, 32, 66, 41, 32, 9, 2)

# Création du diagramme en bâtons
barplot(effectifs, names.arg = nombre_enfants, col = 'skyblue',
        xlab = "Nombre d'Enfants", ylab = "Effectifs",
        main = "Nombre d'Enfants par Famille")

2.2.5.2 Boîte à moustaches (Boxplot)

La boîte à moustaches, également connue sous le nom de diagramme en boîte ou boxplot, est un outil graphique essentiel en statistique descriptive pour résumer la distribution d’une variable quantitative. Ce diagramme fournit une représentation visuelle compacte de la dispersion des données, de leur tendance centrale, et des valeurs aberrantes.

Composition

Le diagramme en boîte est constitué des éléments suivants :

Rectangle (Boîte) : S’étend du premier quartile \(q_{\frac{1}{4}}\) au troisième quartile \(q_{\frac{3}{4}}\), englobant ainsi la moitié médiane des données. La longueur de la boîte représente l’écart interquartile \(IQR = q_{\frac{3}{4}} - q_{\frac{1}{4}}\), qui mesure la dispersion des données.
Médiane : Une ligne à l’intérieur de la boîte marque la médiane \(q_{\frac{1}{2}}\), divisant ainsi l’ensemble des données en deux parties égales.
Moustaches : S’étendent de la boîte jusqu’aux valeurs minimales et maximales, à l’intérieur de l’intervalle \(\left[q_{\frac{1}{4}} - 1.5 * IQR, q_{\frac{3}{4}} + 1.5 * IQR\right]\). Ces lignes indiquent la plage des données régulières.
Valeurs Extrêmes : Les données qui se trouvent en dehors de l’intervalle des moustaches sont considérées comme des valeurs aberrantes et sont souvent marquées par des points.

Calcul des Bornes

Pour dessiner le diagramme, il est nécessaire de calculer les bornes inférieure et supérieure :

Borne Inférieure \(b_{−}\) : \(q_{\frac{1}{4}} - 1.5 * IQR\)
Borne Supérieure \(b_{+}\) : \(q_{\frac{3}{4}} + 1.5 * IQR\)

où \(IQR\) est la distance interquartile.

Example 2.8 Supposons que nous disposons d’un ensemble de données représentant les tailles d’un groupe d’individus. Voici comment créer une boîte à moustaches pour ces données en R :

# Données d'exemple
tailles <- c(160, 165, 170, 175, 180, 185, 190, 195, 200, 205, 210, 215)

# Création du boxplot
boxplot(tailles, main="Boîte à Moustaches des Tailles", ylab="Taille (cm)")

43	43	43	47	48
48	48	48	49	49
49	50	50	51	51
52	53	53	53	54
54	56	56	56	57
59	59	59	62	62
63	63	65	65	67
67	68	70	70	70
72	72	73	77	77
81	83	86	92	93

1.94	2.20	2.33	2.39	2.45	2.50	2.54	2.61	2.66	2.85
1.96	2.21	2.33	2.40	2.46	2.51	2.54	2.62	2.68	2.87
2.07	2.26	2.34	2.40	2.47	2.52	2.55	2.62	2.68	2.90
2.09	2.26	2.34	2.40	2.47	2.52	2.55	2.62	2.68	2.91
2.09	2.28	2.35	2.40	2.48	2.52	2.56	2.62	2.71	2.94
2.12	2.29	2.36	2.41	2.49	2.52	2.56	2.63	2.73	2.95
2.13	2.30	2.37	2.42	2.49	2.53	2.57	2.63	2.75	2.99
2.14	2.31	2.38	2.42	2.49	2.53	2.57	2.65	2.76	2.99
2.19	2.31	2.38	2.42	2.49	2.53	2.59	2.66	2.77	3.09
2.19	2.31	2.38	2.42	2.50	2.54	2.59	2.66	2.78	3.12

Statistiques descriprives

Chapter 2 Statistique descriptive univariée

Introduction

Objectif du chapitre

2.0.1 Notations

2.1 Séries qualitatives

2.1.1 Tableau statistique - Mode

2.1.2 Graphiques

2.1.2.1 Diagrammes à barres

2.1.2.2 Diagrammes en secteurs (ou circulaire, ou en camenberts)

2.2 Séries quantitatives

2.2.1 Paramètres

2.2.1.1 Paramètres de tendance centrale (ou de position)

2.2.1.2 Paramètres de dispersion

2.2.1.3 Moments

2.2.1.4 Paramètres de Forme

2.2.1.5 Paramètre d’aplatissement (Kurtosis)

2.2.2 Série quantitative regroupée par intervalles (ou classes)

2.2.2.1 Principe de Regroupement - Tableau statistique

2.2.2.2 Détermination du Nombre de Classes

2.2.3 Représentation Graphique : L’Histogramme

2.2.4 Fonction de répartition

2.2.4.1 Cas d’un échantillon \(x_{1:n}\)

2.2.4.2 Cas de données regroupées par intervalles

2.2.5 Autres graphiques

2.2.5.1 Diagramme en bâtons

2.2.5.2 Boîte à moustaches (Boxplot)

2.3 Exercices

2.3.1 QCM Statistique Descriptive

2.3.2 Exercice

2.3.3 Exercice

2.3.4 Exercice

2.3.5 Exercice

2.3.6 Exercice

2.3.7 Exercice

2.3.8 Exercice

2.3.9 Exercice

2.3.10 Exercice

2.3.11 Exercice

2.3.12 Exercice

43	43	43	47	48
48	48	48	49	49
49	50	50	51	51
52	53	53	53	54
54	56	56	56	57
59	59	59	62	62
63	63	65	65	67
67	68	70	70	70
72	72	73	77	77
81	83	86	92	93

43	43	43	47	48
48	48	48	49	49
49	50	50	51	51
52	53	53	53	54
54	56	56	56	57
59	59	59	62	62
63	63	65	65	67
67	68	70	70	70
72	72	73	77	77
81	83	86	92	93

43	43	43	47	48
48	48	48	49	49
49	50	50	51	51
52	53	53	53	54
54	56	56	56	57
59	59	59	62	62
63	63	65	65	67
67	68	70	70	70
72	72	73	77	77
81	83	86	92	93