2.4 Modèle fréquence-sévérité

Une autre manière de généraliser le modèle bayésien est d’inclure une forme de dépendance entre la fréquence et la sévérité, en supposant que le profil de risque de l’assuré, ou encore son paramètre d’hétérogénéité, affecte à la fois le nombre de réclamations et la sévérité des réclamations.

On pourrait ainsi avoir, par exemple, un profil d’assuré du portefeuille qui, à la fois, réclame en moyenne davantage et a, en moyenne, des sévérités de réclamations plus élevées.

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Formellement, on pourrait ainsi avoir un modèle ayant les hypothèses suivantes:

1. Le nombre de réclamation du contrat $t$, noté $N_t$, conditionnellement à $\Theta=\theta$, suit une certaine distribution de moyenne $\lambda_t \theta$;

2. La sévérité de la $j^e$ réclamation du contrat $t$, noté $X_{t,j}$, conditionnellement à $\Theta=\theta$, suit une certaine distribution de moyenne $\kappa_{t,j} \theta$, pour $j=1,\ldots, n_t$;

3. Conditionnellement à $\Theta$, $N_t$ et $X_{t,j}, j=1, \ldots, N_t$ sont indépendants.

4. On suppose une certaine distribution pour la variable aléatoire $\Theta$.

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Exemple 2.6 En utilisant les mêmes hypothèses, on pourrait donc avoir un modèle du genre:

• $N_t|\Theta=\theta \sim Poisson(\lambda_t \theta)$

• $X_{t,j}|\Theta=\theta \sim Normal(\kappa_t \theta, \sigma^2)$

• $\Theta \sim gamma(\alpha, \tau)$

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Ce qui est particulier dans ce type de modèle est que le nombre de réclamations, et la sévérité des réclamations sont affectés par le même paramètre d’hétérogénéité $\Theta$. Ainsi, la fréquence et la sévérité sont dépendantes, mais conditionnellement indépendantes sachant $\Theta$.

En d’autre mots, un tel modèle signifie qu’une grande valeur de $\theta$ augmentera à la fois la moyenne du nombre de réclamations et la sévérité moyenne. Ainsi, un assuré ne pourrait pas être un bon assuré pour la fréquence, et en même temps un mauvais assuré pour la sévérité. Si le profil de risque de l’assuré pour la fréquence est $\theta_a$, il sera aussi $\theta_a$ pour la sévérité.

Pour les modèles de crédibilité, cette dépendance est importante. En effet, au niveau de la connaissance a posteriori du profil de risque, la fréquence ET la sévérité donneront de l’information supplémentaire pour mettre à jour la distribution de $\Theta$.

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Crédibilité multivariée

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