2.2 Approximation de la sinistralité future

Proposition 2.1 Les paramètres \(\mathsf{Z_i}\) et \(b_i\) qui minimisent la fonction \(E[(p_{i, T+1}^{(Y)} - Y_{i, T+1})^2]\) sont:

\[\begin{eqnarray*} \mathsf{Z}_i &=& \frac{Cov[Y_{i,W}, Y_{i, T+1}]}{Var[Y_{i,W}]}, \ \text{ et } \ b = (1-\mathsf{Z}_i) \mu \end{eqnarray*}\]

et la prime \(p_{i,T+1}\) s’exprime comme:

\[p_{i,T+1}^{(Y)} = \mathsf{Z}_i \times Y_{i,W} + (1-\mathsf{Z}_i) \mu \]

(Développement à faire en classe)

Proposition 2.2 Puisque \(p_{i,T+1}^{(Y)}\) approxime la sinistralité future normalisée, l’approximation de la sinistralité future \(S_{i,T+1}\) du modèle de Bühlmann-Straub, notée \(p_{i,T+1}^{(S)}\), correspond à la prime de crédibilité normalisée multipliée par le poids de l’assuré \(i\) au temps \(T+1\):

\[p_{i,T+1}^{(S)} = p_{i,T+1}^{(Y)} \times W_{i,T+1}\]

2.2.1 Paramètres de structure

Proposition 2.3 La covariance entre la moyenne pondérée de la sinistralité normalisée et la prime de risque s’exprime comme:

\[Cov[Y_{i,W}, Y_{i, T+1}] = Var\left[\mu(\Theta) \right] = M^2\]

(Développement à faire en classe)

Proposition 2.4 La variance de la moyenne pondérée de la sinistralité normalisée s’exprime comme:

\[Var[Y_{i,W}] = \frac{1}{W_{i \bullet}} \Sigma^2 + M^2 \]

(Développement à faire en classe)

Proposition 2.5 Le facteur de crédibilité pour la \(i^e\) police est:

\[\begin{eqnarray*} \mathbf{Z}_i &=& \frac{Cov[Y_{i,W}, \mu(\Theta)]}{Var[Y_{i,W}]}\\ &=& \frac{M^2}{\frac{1}{W_{i \bullet}} \Sigma^2 + M^2} \\ &=& \frac{W_{i \bullet}}{W_{i \bullet} + K} \text{ où } K = \frac{\Sigma^2}{M^2} \end{eqnarray*}\]

2.2.2 Bühlmann et Bühlmann-Straub

Ainsi, nous pouvons voir que le modèle de Bühlmann-Straub ne fait que généraliser le modèle de Bühlmann. En effet, si \(W_{i,t} =1\) pour tous les contrats \(t\) de tous les assurés \(i\), nous avons:

  • \(Y_{i,t} = \frac{S_{i,t}}{W_{i,t}} = S_{i,t}\)

  • \(W_{i \bullet} = \sum_{t=1}^{T} W_{i,t} = W_{i \bullet} = T\)

  • \(\mathbf{Z}_i = \frac{W_{i \bullet}}{W_{i \bullet} + K} = \frac{T}{T + K} \text{ où } K = \frac{\Sigma^2}{M^2}\)

Étant donné que l’approche de Bühlmann-Straub n’est qu’une généralisation de la crédibilité de Bühlmann, plusieurs des analyses que nous avons déjà faites tiennent encore. Par exemple, l’analyse du coefficient de crédibilité, en fonction de \(\Sigma^2\) et \(M^2\) est la même.

Au lieu d’analyser le comportement du coefficient \(\mathbf{Z}_i\) en fonction de \(T\) comme dans le modèle de Bühlmann, on l’analysera en fonction de \(W_{i \bullet}\).

2.2.3 Exemples

Exemple 2.3 On suppose que le coût total des réclamations annuelles d’un assuré pour son contrat \(t\) suit une loi normale de moyenne \(\lambda_t \theta\) et de variance \(100\). Formellement, nous avons ainsi

\[S_{t} |\Theta = \theta \sim Normal(\lambda_t \theta, \sigma^2 = 100,000).\]

Les actuaires pensent qu’il existe 3 types d’assurés dans le portefeuille:

\[\begin{eqnarray*} \Pr(\Theta = \theta) = \begin{cases} 0.2, \ \text{pour } \theta=0.750\\ 0.3, \ \text{pour } \theta=1.000\\ 0.5, \ \text{pour } \theta=1.100\\ \end{cases}, \end{eqnarray*}\]

Un assuré a été observé pendant 3 contrats annuels, et cherche à s’assurer pour une 4e année. Les sinistres réclamés et les valeurs de ses paramètres \(\lambda_t\) pour \(t=1,2,3,4\) sont:

Année (\(t\)) \(\lambda_t\) \(s_t\)
\(1\) \(1000\) \(12,000\)
\(2\) \(1200\) \(3,000\)
\(3\) \(750\) \(1,000\)
\(4\) \(1200\) ?

A l’aide de l’approche de Bühlmann-Straub, répondez aux questions suivantes:

  1. Calculez la prime a priori de cet assuré au temps \(t=4\);
  2. Calculez la valeur du coefficient \(\mathsf{Z}\) pour ce modèle;
  3. Trouvez la prime de crédibilité de Bühlmann pour l’année 4;
  4. Comparez les résultats obtenus avec un calcul bayésien.
(Exemple à faire en classe)

Le modèle \(S_{t}|\Theta \sim Poisson(\lambda_{t} \Theta)\) avec \(\Theta \sim Gamma(\alpha, \alpha)\) est un exemple intéressant d’une application théorique du modèle de Bühlmann-Straub. En effet, puisque \(Var[S_{t}|\Theta] = \lambda_{t} \Theta\) n’est pas constante dans le temps, le modèle de Bühlmann n’est pas apte à modéliser ce mélange de distributions.

Exercice 2.1 Montrez comment le mélange \(S_{t}|\Theta \sim Poisson(\lambda_{t} \Theta)\) avec \(\Theta \sim Gamma(\alpha, \alpha)\) se modélise par le modèle de crédibilité de Bühlmann-Straub.

(Développement à faire en classe)

Il est intéressant de bien comprendre le dernier exemple:

  • On inteprète \(\lambda_{t}\) comme le poids \(\mathbf{Z}\) accordé à l’expérience de sinistre de l’assuré pour son contrat \(t\);

  • Il est injuste de comparer directement l’expérience de sinistre de deux assurés sans inclure la prime a priori \(\lambda_{t}\) de chaque assuré, pour chacun de leur contrat \(t\), dans la comparaison;

  • Plus \(\lambda_{t}\) est élevée, plus on s’attend à avoir une expérience de sinistre élevée.

Dans le chapitre intitulé Crédibilité linéaire exacte, nous avions vu sous quelles conditions le modèle de crédibilité linéaire donnait la même prime prédictive que le modèle bayésien. Évidemment, un développement similaire peut être fait pour l’approche Bühlmann-Straub. Nous verrons ces conditions dans un prochain chapitre (si nous avons le temps).