2.3 Estimateurs des paramètres de structures

Tout comme dans le modèle de Bühlmann, on doit proposer des estimateurs de \(M^2\), \(\Sigma^2\) et \(\mu = E[\mu(\theta)]\).

  1. Estimation de \(\mu\):

\[\begin{eqnarray*} \hat{\mu} &=& \sum_i^m \frac{W_{i \bullet}}{W_{\bullet \bullet}} X_{i W} = X_{W W} \end{eqnarray*}\]

  1. Estimation de \(\Sigma^2\)

\[\begin{eqnarray*} \widehat{\Sigma^2} &=& \frac{1}{m (T-1)} \sum_{i=1}^{m} \sum_{t=1}^{T} W_{i t}(X_{it} - X_{i W})^2 \end{eqnarray*}\]

  1. Estimation de \(M^2\)

\[\begin{eqnarray*} \widehat{M^2} = \frac{W_{\bullet \bullet}}{W_{\bullet \bullet}^2 - \sum_i^m W_{i \bullet}^2} \sum_{i=1}^{m} W_{i \bullet} (X_{i W} - X_{W W})^2 - (m-1) \widehat{\Sigma^2} \end{eqnarray*}\]

Exemple 2.4 Calculez les primes de crédibilité pour la 4e année des deux groupes dont l’expérience est décrite dans le tableau suivant:

Groupe Statistique An 1 An 2 An 3 An 4
1 Montant des réclamations 8000 11,000 15,000 .
Taille du groupe 40 50 70 75
2 Montant des réclamations 20,000 24,000 19,000 .
Taille du groupe 100 120 115 95
(Développement à faire en classe)

2.3.1 Base de données non-équilibrée

Dans le chapitre sur le modèle de Bühlmann, nous avions vu qu’une base de données équilibrée correspondait à la situation où tous les assurés \(i=1,\ldots,m\) sont observés pendant le même nombre de contrats. Dans la table ci-dessous, on observait tous les \(m\) assurés pendant \(T\) contrats.

Assuré Contrat 1 Contrat 2 … Contrat T
1 \(s_{1,1}\) \(s_{1,2}\) … \(s_{1,T}\)
2 \(s_{2,1}\) \(s_{2,2}\) … \(s_{2,T}\)
… … … … …
\(m\) \(s_{m,1}\) \(s_{m,2}\) … \(s_{m,T}\)

En pratique, les données des assureurs ne sont pas équilibrées. De quelle manière peut-on changer nos estimateurs de crédibilité dans une telle situation?

3- Calcul des estimateurs des paramètres de structure:

\[\begin{eqnarray*} \hat{\mu} &=& \sum_i^2 \frac{W_{i \bullet}}{W_{\bullet \bullet}} X_{i W} \\ &=& \frac{7*1 + 9*1/3}{7+9} = 5/8 \end{eqnarray*}\]

L’équation vue précédemment ne s’applique plus….

\[\begin{eqnarray*} \widehat{\Sigma^2} &=& \frac{1}{m (T-1)} \sum_{i=1}^{m} \sum_{t=1}^{T} W_{i t}(X_{it} - X_{i W})^2 \end{eqnarray*}\]

Nous utilisons plutôt:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{\Sigma^2} &=& \frac{1}{\sum_{i=1}^{m} (T_i - 1)} \sum_{i=1}^{m} \sum_{t=1}^{T} W_{i t}(X_{it} - X_{i W})^2\\ \end{eqnarray*}\]

avec \(T_1 = 4\) et \(T_2=3\) !

\[\begin{eqnarray*} \widehat{M^2} &=& \frac{W_{\bullet \bullet}}{W_{\bullet \bullet}^2 - \sum_i^m W_{i \bullet}^2} \left(\sum_{i=1}^{m} W_{i \bullet} (X_{i W} - X_{W W})^2 - (m-1) \widehat{\Sigma^2} \right) \\ &=& \frac{16}{16^2 - (7^2 + 9^2) } \Big[ 7 (1 - 5/8)^2 + 9(1/3 - 5/8)^2 - (2-1) 11/30 \Big]\\ &=& 0.1757 \end{eqnarray*}\]

Exemple 2.5 Calculez les primes de crédibilité pour l’année \(2016\) des deux flottes de véhicules suivantes, dont l’expérience est décrite ici:

Flotte Statistique 2015 2014 2013 2012
1 Nombre de sinistres 3 2 2 0
Nombre de véhicules 2 2 2 1
2 Nombre de sinistres 2 1 0 .
Nombre de véhicules 4 3 2 .
(Développement à faire en classe)