1.3 Crédibilité multivariée

L’idée de la crédibilité multivariée est d’utiliser plus qu’une seule statistique pour estimer la prime. Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} P_{T+1} &=& \delta \bar{K} + \tau \bar{N} + \omega \end{eqnarray*}\]

où nous avons ici deux coefficients de crédibilité \(\delta\) et \(\tau\) qui utilisent deux statistiques différentes de l’historique de réclamations (par exemple, le nombre de réclamations et la sévérité, le nombre de réclamations de type responsabilité civile et de vols, etc.).

1.3.1 Approche générale d’estimation

Exemple 1.3 Trouvez les paramètres \(\delta\) ,\(\tau\) et \(\omega\) qui minimisent la fonction

\[\begin{eqnarray*} E\left[\left((\delta \bar{K} + \tau \bar{N} + \omega) - S_{i,T+1} \right)^2\right] \end{eqnarray*}\]

où \(\bar{K}\) et \(\bar{N}\) sont des statistiques de l’historique de réclamations.

(Exercice à faire en classe)

Notons :

\[\begin{eqnarray*} W = E\left[\left((\delta \bar{K} + \tau \bar{N} + \omega) - S_{i,T+1} \right)^2\right] \end{eqnarray*}\]

On doit donc trouver les paramètres \(\delta\) ,\(\tau\) et \(\omega\) qui minimisent la fonction \(M\):

\[\begin{eqnarray*} \frac{\delta W}{\delta \delta} &=& E\left[2 \bar{K} \left((\delta \bar{K} + \tau \bar{N} + \omega) - S_{i,T+1} \right)\right] = 0 \\ \frac{\delta W}{\delta \tau} &=& E\left[2 \bar{N} \left((\delta \bar{K} + \tau \bar{N} + \omega) - S_{i,T+1} \right)\right] = 0\\ \frac{\delta W}{\delta \omega} &=& E\left[2 \left((\delta \bar{K} + \tau \bar{N} + \omega) - S_{i,T+1} \right)\right] = 0\\ \end{eqnarray*}\]

\[\begin{eqnarray*} \delta E[\bar{K}^2] + \tau E[\bar{K} \bar{N}] + \omega E[\bar{K}] = E[\bar{K} S_{i,T+1}] \\ \delta E[\bar{N} \bar{K}] + \tau E[\bar{N}^2] + \omega E[\bar{N}] = E[\bar{N} S_{i,T+1}] \\ \delta E[\bar{K}] + \tau E[\bar{N}] + \omega = E[S_{i,T+1}] \end{eqnarray*}\]

En soustrayant la première équation de la troisième \(\times E[\bar{K}]\) et en soustrayant la seconde équation de la troisième \(\times E[\bar{N}]\):

\[\begin{eqnarray*} \delta Cov[\bar{K}, \bar{N}] + \tau Var[\bar{N}] = Cov[\bar{N}, S_{i,T+1}] \\ \delta Var[\bar{K}] + \tau Cov[\bar{K},\bar{N}] = Cov[\bar{K}, S_{i,T+1}] \end{eqnarray*}\]

(2 équations, 2 inconnues)

En soustrayant la première équation \(\times Cov[\bar{K}, \bar{N}]\) de la deuxième \(\times Var[\bar{N}]\) (et vice-versa)

\[\begin{eqnarray*} \delta \left( Var[\bar{N}] Var[\bar{K}] - Cov[\bar{K}, \bar{N}]^2 \right) &=& Cov[\bar{K}, S_{T+1}] Var[\bar{N}] - Cov[\bar{N}, S_{T+1}] Cov[\bar{K}, \bar{N}] \\ \tau \left( Var[\bar{N}] Var[\bar{K}] - Cov[\bar{K}, \bar{N}]^2 \right) &=& Cov[\bar{N}, S_{T+1}] Var[\bar{K}] - Cov[\bar{K}, P_{T+1}] Cov[\bar{K}, \bar{N}] \end{eqnarray*}\]

et donc:

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{Cov[\bar{K}, S_{T+1}] Var[\bar{N}] - Cov[\bar{N}, S_{T+1}] Cov[\bar{K}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{K}] - Cov[\bar{K}, \bar{N}]^2 \right)} \\ \tau &=& \frac{Cov[\bar{N}, S_{T+1}] Var[\bar{K}] - Cov[\bar{K}, S_{T+1}] Cov[\bar{K}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{K}] - Cov[\bar{K}, \bar{N}]^2 \right)} \end{eqnarray*}\]

\(\omega\) n’est que le complément de crédibilité, trouvé de manière à avoir un estimateur non-biaisé:

\[ E[S_{T+1}] = \delta E[\bar{K}] + \tau E[\bar{N}] + \omega \]

1.3.2 Modèle fréquence - sévérité, sous conditions d’indépendance

On suppose que le coût d’assurance se modélise par une distribution de fréquence avec effets aléatoires \(\theta_1\) et une distribution de sévérité avec effets aléatoires \(\theta_2\). La fréquence et la sévérité sont conditionnellement indépendants, et \(\theta_1\) et \(\theta_2\) sont indépendants.

Il serait intéressant d’analyser ce modèle sous les angles suivants:

1- La fréquence; 2- La sévérité; 3- La prime pure.

1.3.2.1 Crédibilité bayésienne

Avant de commencer l’approche par approximation avec le modèle de Bühlmann, il pourrait être intéressant d’analyser cette situation sous un cadre bayésien.

1- La fréquence;

En notant \(H = \sum_{t=1}^T n_t\), on cherche \(E[N_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}]\). Puisque la fréquence et la sévérité sont indépendantes, de même que leurs effets aléatoires \(\theta_1\) et \(\theta_2\), nous obtenons:

\[E[N_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] = E[N_{T+1}|N_{1},...,N_{T}]\]

2- La sévérité;

La fréquence et la sévérité sont indépendantes, ainsi, on cherche \(E[S_{H+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] = E[S_{T+1}|S_{1},...,S_{H}]\).

3- la prime pure.

Il y a deux manières d’analyser cette statistique:

1. En utilisant la distribution de \(PP\), de manière à avoir \(E[PP_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}]\).
   Cette façon de faire est très difficile, car la distribution d’une somme composée n’est pas facile à trouver. En effet, la distribution exacte d’une somme composée se calcul généralement en utilisant des convolutions, une distribution de Tweedie, etc.;

2. En séparant les distributions de fréquence et de sévérité. On cherche ainsi:

(Exercice à faire en classe)

\[\begin{eqnarray*} E[PP_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] &=& E[\sum_{j=1}^{N_{T+1}} S_{j,H+1} |N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] \\ &=& E[E[\sum_{i=1}^{N_{T+1}} S_{j,H+1} |N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}, N_{T+1} ]] \\ &=& E[N_{T+1} E[S_{H+1} |N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}]] \\ &=& E[N_{T+1} E[S_{H+1} |S_{1},...,S_{H}] | N_{1},...,N_{T}] \\ &=& \underbrace{E[N_{T+1}| N_{1},...,N_{T}]}_{\text{Fréquence}} \times \underbrace{E[S_{H+1} |S_{1},...,S_{H}]}_{\text{Sévérité}} \\ \end{eqnarray*}\]

Ainsi, on calcule la prime prédictive de la fréquence, et la prime prédictive de la sévérité (à tour de rôle et de manière indépendante).

1.3.2.2 Crédibilité linéaire

Utilisons maintenant la crédibilité multivariée afin d’avoir

\[\begin{eqnarray*} P_{T+1} &=& \delta \bar{S} + \tau \bar{N} + \omega \end{eqnarray*}\]

1- La fréquence;

Il pourrait être intéressant d’ajouter les statistiques de la sévérité dans le calcul de la prime de crédibilité de la fréquence, de manière à avoir:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{N_{T+1}} &=& \delta \bar{S} + \tau \bar{N} + \omega \end{eqnarray*}\]

Nous avons:

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{Cov[\bar{S}, N_{T+1}] Var[\bar{N}] - Cov[\bar{N}, N_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \\ \tau &=& \frac{Cov[\bar{N}, N_{T+1}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, N_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \end{eqnarray*}\]

Nous avons besoin de:

(Exercice à faire en classe)

\[\begin{eqnarray*} Var[\bar{N}] &=& \frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2 \\ Var[\bar{S}] &=& \frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2 \\ Cov[\bar{S}, N_{T+1}] &=& E[Cov[\bar{S}, N_{T+1}|\theta_1, \theta_2]] + Cov[E[\bar{S}\theta_2], E[N_{T+1}|\theta_1]]\\ &=& 0 + Cov(\frac{1}{\theta_1}, \theta_2) = 0 \\ Cov[\bar{N}, N_{T+1}] &=& M_N^2\\ Cov[\bar{S}, \bar{N}] &=& 0\\ \end{eqnarray*}\]

avec \(M^2_F, \Sigma_N^2\) pour les paramètres de structure de la fréquence, et \(M^2_S, \Sigma_S^2\) pour les paramètres de structure de la sévérité.

Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{Cov[\bar{S}, N_{T+1}] Var[\bar{N}] - Cov[\bar{N}, N_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \\ &=& \frac{0 - 0}{Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2} = 0 \\ \tau &=& \frac{M_N^2 (\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2) - 0}{ (\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2) (\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2)} \\ &=& \frac{M_N^2}{ (\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2)} \end{eqnarray*}\]

Ce qui signifie que le coefficient \(\delta\) accordé à l’expérience de sévérité est nul! La sévérité ne donne pas d’information sur la fréquence… ce qui est normal à cause de l’hypothèse d’indépendance.

Ainsi, le résultat obtenu est le même que celui de la crédibilité univariée.

2- La sévérité;

\[\begin{eqnarray*} \widehat{S_{T+1}} &=& \delta \bar{S} + \tau \bar{N} + \omega \end{eqnarray*}\]

(Exercice à faire en classe)

La même conclusion aurait pu être tirée pour la sévérité…, et donc:

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{M_S^2}{ (\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2)} \\ \tau &=& 0 \end{eqnarray*}\]

Ce qui signifie que le coefficient \(\tau\) accordé à l’expérience de fréquence est nul! La fréquence ne donne pas d’information sur la sévérité… ce qui est normal à cause de l’hypothèse d’indépendance.

3- La prime pure.

Il y a trois manières d’analyser cette statistique:

1. Crédibilité univariée en utilisant les statistiques passées de \(PP_1, PP_2, ..., PP_T\).

Il s’agit d’une simple application directe de la théorie de la crédibilité linéaire univariée de Bülhmann. Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& Z \overline{PP} + (1-Z) \mu_{PP} \end{eqnarray*}\]

avec \(Z = \frac{T}{T + \frac{\Sigma_{PP}^2}{M_{PP}^2}}\).

avec:

(Exercice à faire en classe)

\[\begin{eqnarray*} \mu_{PP} &=& E[PP] \\ &=& E[N] E[S] \\ &=& E[E[N|\theta_1]] E[E[S|\theta_2]] \\ &=& \mu_N \mu_s \\ M^2_{PP} &=& Var[E[PP|\Theta]]\\ &=& Var[E[N|\theta_1] E[S|\theta_2]]\\ &=& E[E[N|\theta_1]^2 E[S|\theta_2]^2] - E[E[N|\theta_1] E[S|\theta_2]]^2 \\ &=& E[E[N|\theta_1]^2] E[E[S|\theta_2]^2] - \mu_{PP}^2 \\ &=& [M^2_N + \mu_N^2] [M^2_S + \mu_S^2] - \mu_{PP}^2 \\ &=& M^2_N*M^2_S + M^2_N*\mu_S^2 + \mu_N^2*M^2_S + \mu_N^2*\mu_S^2 - \mu_{PP}^2 \\ &=& M^2_N*M^2_S + M^2_N*\mu_S^2 + \mu_N^2*M^2_S \\ \Sigma^2_{PP} &=& E[Var[PP|\Theta]]\\ &=& E[E[S|\Theta]^2 Var[N|\Theta] + Var[S|\Theta] E[N|\Theta]]\\ &=& E[E[S|\Theta]^2] E[Var[N|\Theta]] + E[Var[S|\Theta]] E[E[N|\Theta]] \\ &=& E[E[S|\theta_2]^2] E[Var[N|\theta_1]] + E[Var[S|\theta_2]] E[E[N|\theta_1]] \\ &=& (M^2_{S} + \mu_S^2) \Sigma^2_{N} + \Sigma^2_{S} \mu_N \end{eqnarray*}\]

Remarque: La seule statistique analysée dans un tel modèle est la prime pure. Ainsi, les tendances de la fréquence et de la sévérité ne sont pas du tout considérées.

2. Crédibilité univariée effectuée la fréquence, et sur la sévérité.

Dans l’analyse bayésienne, nous avons vu que :

\[\begin{eqnarray*} E[PP_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] &=& \underbrace{E[N_{T+1}| N_{1},...,N_{T}]}_{\text{Fréquence}} \times \underbrace{E[S_{H+1} |S_{1},...,S_{H}]}_{\text{Sévérité}} \\ \end{eqnarray*}\]

Ainsi, il est possible d’utiliser la fréquence crédibilisée, multipliée par la sévérité crédibilisée !

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& (Z_N \overline{N} + (1-Z_N) \mu_{N})(Z_S \overline{S} + (1-Z_S) \mu_{S}) \\ &=& Z_N Z_S \overline{N} \ \overline{S} + (1-Z_N) Z_S \overline{S} \mu_{N} + Z_N (1-Z_S) \overline{N} \mu_{S} + (1-Z_S) (1-Z_N) \mu_{N} \mu_{S}\\ \end{eqnarray*}\]

Remarque: Dans ce modèle, les tendances de la fréquence et de la sévérité sont considérées. En conséquence, un tel modèle est plus juste que le modèle de crédibilité univariée de la prime pure ne considérant que \(PP_1, PP_2, ..., PP_T\).

3. Crédibilité bivariée en utilisant les statistiques passées de \(N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{M}\)

On cherche ici:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& \delta \bar{S} + \tau \bar{N} + \omega \end{eqnarray*}\]

avec

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{Cov[\bar{S}, PP_{T+1}] Var[\bar{N}] - Cov[\bar{N}, PP_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \\ \tau &=& \frac{Cov[\bar{N}, PP_{T+1}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, PP_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \end{eqnarray*}\]

Nous avons besoin de:

(Exercice à faire en classe)

\[\begin{eqnarray*} Var[\bar{N}] &=& \frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2 \\ Var[\bar{S}] &=& \frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2 \\ Cov[\bar{S}, \bar{N}] &=& 0\\ Cov[\bar{S}, PP_{T+1}] &=& E[Cov[\bar{S}, PP_{T+1}|N_{T+1}]] + Cov[E[\bar{S}|N_{T+1}], E[PP_{T+1}|N_{T+1}]]\\ &=& E[N_{T+1} Cov[\bar{S}, S_{T+1}]] + Cov[E[\bar{S}], N_{T+1}E[S_{T+1}]] \\ &=& E[N] Var[S] + E[\bar{S}] E[S_{T+1}] Cov[1, N_{T+1}] \\ &=& E[N] Var[S] + 0 \\ Cov[\bar{N}, PP_{T+1}] &=& E[Cov[\bar{N}, PP_{T+1}|S_{T+1}]] + Cov[E[\bar{N}|S_{T+1}], E[PP_{T+1}|S_{T+1}]]\\ &=& E[S_{T+1} Cov[\bar{N}, N_{T+1}]] + Cov[E[\bar{N}], S_{T+1}E[N_{T+1}]] \\ &=& E[S] Var[N] + E[\bar{N}] E[N_{T+1}] Cov[1, S_{T+1}] \\ &=& E[S] Var[N] + 0 \\ \omega &=& \mu_N \mu_s - \delta \mu_s + \tau \mu_N \end{eqnarray*}\]

Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{Cov[\bar{S}, PP_{T+1}] Var[\bar{N}] - Cov[\bar{N}, PP_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \\ &=& \frac{E[N] Var[S] (\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2) - \frac{1}{T} E[S] Var[N] 0 }{(\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2)*(\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2) - 0} \\ &=& \frac{E[N] Var[S] (\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2)}{(\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2)*(\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2)} \\ &=& \frac{E[N] Var[S]}{\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2} \\ \tau &=& \frac{Cov[\bar{N}, PP_{T+1}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, PP_{T+1}] Cov[\bar{S}, \bar{N}]}{\left( Var[\bar{N}] Var[\bar{S}] - Cov[\bar{S}, \bar{N}]^2 \right)} \\ &=& \frac{E[S] Var[N] (\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2)}{(\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2)*(\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2)} \\ &=& \frac{E[S] Var[N]}{\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2} \end{eqnarray*}\]

et donc:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& \delta \bar{S} + \tau \bar{N} + \omega \\ &=& \frac{E[N] Var[S]}{\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2} \bar{S} + \frac{E[S] Var[N]}{\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2} \bar{N} + \omega \\ &=& \frac{Var[S]}{\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2} \mu_N \bar{S} + \frac{Var[N]}{\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2} \mu_S \bar{N} + \mu_N \mu_s - \delta \mu_s + \tau \mu_N \end{eqnarray*}\]

Remarque: Ce modèle est plus juste que le modèle de crédibilité univariée de la prime pure ne considérant que \(PP_1, PP_2, ..., PP_T\) (point #1). Toutefois, il est important de constater que nous utilisons ici une approximation linéaire, ce qui n’est pas réellement la structure observée de la prime pure vis-à-vis la fréquence et la sévérité.\

Ainsi, cette approximation n’est pas exacte comme celle vue précedemment (fréquence fois sévérité):

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& Z_N Z_S \overline{N} \ \overline{S} + (1-Z_N) Z_S \overline{S} \mu_{N} + Z_N (1-Z_S) \overline{N} \mu_{S} + (1-Z_S) (1-Z_N) \mu_{N} \mu_{S}\\ \end{eqnarray*}\]

qui implique aussi un terme en \(\overline{N} \ \overline{S}\).

Exemple 1.4 On suppose:

La fréquence et la sévérité sont conditionnellement indépendants, et \(\theta_1\) et \(\theta_2\) sont indépendants.

Calculez la prime prédictive, et les diverses formes de primes de crédibilité pour:

1. La fréquence;

2. La sévérité;

3. La prime pure.

1. Crédbilité bayésienne:

2. La fréquence;

Nous connaissons bien le modèle Poisson-Gamma (BN1):

\[E[N_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] = E[N_{T+1}|N_{1},...,N_{T}] = \frac{\alpha + \sum_{t=1}^T n_t}{\beta + T} = \frac{0.1 + \sum_{t=1}^T n_t}{1 + T} \]

2. La sévérité;

Nous connaissons bien le modèle Exponentielle-Gamma:

\[E[N_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] = E[S_{H+1}|S_{1},...,S_{H}] = \frac{\eta + \sum_{j=1}^{H} s_j}{\nu + H - 1} = \frac{4 + \sum_{j=1}^{H} s_j}{4 + H - 1} \]

3. La prime pure.

Nous avons vu que la distribution exacte de \(PP\) était difficile. Ainsi, nous utilisons plutôt:

\[\begin{eqnarray*} E[PP_{T+1}|N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{H}] &=& \underbrace{E[N_{T+1}| N_{1},...,N_{T}]}_{\text{Fréquence}} \times \underbrace{E[S_{H+1} |S_{1},...,S_{H}]}_{\text{Sévérité}} \\ &=& \frac{\alpha + \sum_{t=1}^T n_t}{\beta + T} \frac{\eta + \sum_{j=1}^{H} s_j}{\nu + H - 1} \\ &=& \frac{0.1 + H}{1 + T} \frac{4 + \sum_{j=1}^{H} s_j}{4 + H - 1} \end{eqnarray*}\]

2- Crédibilité linéaire:

1. La fréquence;

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& 0 \\ \tau &=& \frac{M_N^2}{ (\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2)} \\ &=& \frac{T}{T + 1} \end{eqnarray*}\]

et donc:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{N_{T+1}}&=& \frac{\alpha + H}{\beta + T} = \frac{0.1 + H}{1 + T} \end{eqnarray*}\]

… même chose que Bühlmann. Les deux variables aléatoires sont conditionnellement indépendantes, de même que leur effets aléatoires.

2. La sévérité;

(Exercice à faire en classe)

La même conclusion aurait pu être tirée pour la sévérité…, et donc:

\[\begin{eqnarray*} \tau &=& 0 \\ \delta &=& \frac{M_S^2}{ (\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2)} \\ &=& = \frac{H}{H +\nu - 1} = \frac{H}{H + 3} \end{eqnarray*}\]

et donc:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{S_{H+1}}&=& \frac{\eta + \sum_{j=1}^{H} s_j}{\nu + H - 1} = \frac{4 + \sum_{j=1}^{H} s_j}{3 + H} \end{eqnarray*}\]

3. La prime pure.

• Crédibilité univariée en utilisant les statistiques passées de \(PP_1, PP_2, ..., PP_T\). Ainsi:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& Z \overline{PP} + (1-Z) \mu_{PP} \end{eqnarray*}\]

pour \(Z = \frac{T}{T + \frac{\Sigma_{PP}^2}{M_{PP}^2}}\).

Nous avons:

(Exercice à faire en classe)

\[\begin{eqnarray*} \mu_N &=& \frac{\alpha}{\beta} = 0.1\\ \mu_s &=& \frac{\eta}{\nu-1} = 4/3\\ M^2_{N} &=& \frac{\alpha}{\beta^2} = 0.1\\ M^2_{S} &=& \frac{\eta^2}{(\nu - 1)^2(\nu- 2)} = 16/18\\ \Sigma^2_{N} &=& \frac{\alpha}{\beta} = 0.1\\ \Sigma^2_{S} &=& \frac{\eta^2}{(\nu - 1)(\nu- 2)} = 16/6 \end{eqnarray*}\]

avec

\[\begin{eqnarray*} \mu_{PP} &=& \mu_N \mu_s = 0.1333\\ M^2_{PP} &=& M^2_N*M^2_S + M^2_N*\mu_S^2 + \mu_N^2*M^2_S = 0.293333\\ \Sigma^2_{PP} &=& (M^2_{S} + \mu_S^2) \Sigma^2_{N} + \Sigma^2_{S} \mu_N = 0.5333\\ Z &=& \frac{T}{T + \frac{\Sigma_{PP}^2}{M_{PP}^2}} = \frac{T}{T + 1.8181} \end{eqnarray*}\]

• Crédibilité univariée effectuée la fréquence, et sur la sévérité.

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& (Z_N \overline{N} + (1-Z_N) \mu_{N})(Z_S \overline{S} + (1-Z_S) \mu_{S}) \\ &=& \frac{0.1+ H}{1 + T} \frac{4 + \sum_{j=1}^{H} s_j}{ 3 + H} \end{eqnarray*}\]

• Crédibilité bivariée en utilisant les statistiques passées de \(N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{M}\)

On cherche:

\[\begin{eqnarray*} \widehat{PP_{T+1}} &=& \delta \bar{S} + \tau \bar{N} + \omega \end{eqnarray*}\]

Nous avons:

(Exercice à faire en classe)

\[\begin{eqnarray*} E[N] = \mu_N &=& \frac{\alpha}{\beta} = 0.1\\ E[S] = \mu_s &=& \frac{\eta}{\nu-1} = 4/3\\ Var[N] = M^2_{N} + \Sigma^2_{N} &=& 0.1 + 0.1 = 0.2\\ Var[S] = M^2_{S} + \Sigma^2_{S} &=& 16/18 + 16/6 = 3.5555 \end{eqnarray*}\]

avec

\[\begin{eqnarray*} \delta &=& \frac{E[N] Var[S]}{\frac{1}{H} \Sigma_S^2 + M_S^2} = \frac{0.35555}{\frac{1}{H} 16/6 + 16/18}\\ \tau &=& \frac{E[S] Var[N]}{\frac{1}{T} \Sigma_N^2 + M_N^2} = \frac{0.26666}{\frac{1}{T} 0.1 + 0.1} \end{eqnarray*}\]

Comparaison numérique des primes selon la méthode de calcul (horizon de 10 ans) sur la prime pure:

avec:

• Créd. linéaire (1): en utilisant les statistiques passées de \(PP_1, PP_2, ..., PP_T\).
• Créd. linéaire (2): bivariée en utilisant les statistiques passées de \(N_{1},...,N_{T}, S_{1},...,S_{M}\)

Rappel:

L’idée de Bühlmann était de forcer la prime prédictive à avoir la forme de la crédibilité, ou encore de projeter la prime prédictive sur la droite du graphique. Dans le cas Poisson-gamma, il n’y a aucune perte puisque l’approximation est égale à la vraie prime prédictive.

Toutefois, pour tous les autres choix de la distribution (ici, Poisson-Inverse-gaussienne) avec un modèle Poisson, l’approximation implique une erreur:

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