2 Variáveis Aleatórias Discretas

De modo mais formal, uma variável aleatória discreta \(X\) é uma função definida num espaço amostral \(\Omega\), assumindo valores em um conjunto enumerável dos números reais, como representado pela Figura 2.1.

: Diagrama de Venn para os dados dos 209 estudantes que responderam ao questionário.

Figura 2.1: : Diagrama de Venn para os dados dos 209 estudantes que responderam ao questionário.

  • Observe que:

\(\Lambda=\left\lbrace x_1, x_2, \cdots \right\rbrace.\)

  • Pelo diagrama da Figura 2.1, vê-se:

\[\begin{equation} \begin{split} \left[ X=x_1\right]&=X^{-1}(x_1)=\lbrace \omega_3\rbrace,\\ \left[ X=x_2\right]&=X^{-1}(x_2)=\lbrace \omega_2, \omega_3\rbrace\\ \vdots & \\ \end{split} \tag{2.1} \end{equation}\]

  • Como, \(A=\left\lbrace \omega_1,\omega_2\right\rbrace=X^{-1}(x_2)=\left[X=x_2\right] \subset \Omega,\) então se \(\omega_1\) ou \(\omega_2\) ocorre, podemos pensar que \(x_2\) ocorre;

  • de um modo geral \(\left[ X=x_i\right]\) representa a função inversa \(X^{-1}\) no ponto \(x_i\), sendo também um evento, ou seja

    \[\left[ X=x_i\right]=X^{-1}(x_i)=A \subset \Omega;\]

  • como os eventos variam a cada realização do experimento, os valores numéricos que lhes são atribuídos também variarão,

  • assim, faz sentido pensar em uma probabilidade associada ao valor numérico,

  • a qual é induzida pelo evento ao qual este valor está associado.

  • Portanto, tem-se:

    \[P\left(X=x_2\right)=P\left(X^{-1}(x_2)\right)=P\left(\lbrace \omega_2, \omega_3\rbrace\right).\]