1 Introdução

Na teoria de probabilidades é levando em consideração um experimento aleatório. Esse tipo de experimento fornece resultados que não podem ser previstos com certeza antes de sua realização. Para tais experimentos o conjunto que contém todos os possíveis resultados é chamado de espaço amostral, geralmente denotado por \(\Omega\).

Qualquer subconjunto do espaço amostral é dado o nome de evento, aos quais pode ser associada uma medida de probabilidade. Como o conjunto das partes do espaço amostral, \(\mathcal{P}(\Omega)\), contém todos os eventos, ou seja todos os subconjuntos de \(\Omega\), essa medida de chance chamada de probabilidade é uma função definida em \(\mathcal{P}(\Omega)\) e assume valores de 0 a 1. Formalmente, temos: \[P:\mathcal{P}(\Omega) \longrightarrow [0,1].\]

Aqui o interesse ainda recai sobre a necessidade de atribuir medidas de chance aos eventos. Adicionalmente, muitas vezes, é conveniente associar valores numéricos aos resultados do experimento aleatório, ou seja, aos eventos.

Exemplo.1.1 Para ilustrar, considere que são inspecionadas 50 peças em uma linha de produção para verificação de defeito. Considere que é denotado por “D” a peça inspecionada que tem defeito e por “ND” a peça que não tem defeito.

Observe que o conjunto de todos os possíveis resultados dessa inspeção (o espaço amostral do experimento) terá \(2^{50}\) elementos, cada um deles sendo uma sequência de D’s e ND’s de tamanho 50.

Um espaço amostral com essa complexidade poderia ser simplificado se fosse considerada uma variável numérica que conta o número de itens defeituosos em uma sequência, ou seja, poderia ser considerada a variável:
  • \(X=\)"número de D’s (ou de ND’s) em 50 peças inspecionadas’’.

O espaço amostral de X é o conjunto de números reais \[\Lambda=\left\lbrace 0,1,2, ..., 50 \right\rbrace, \]

que é muito mais fácil de lidar do que o espaço ‘’amostral original’’ \(\Omega\), além de tornar mais claro o problema.

Ao especificarmos a quantidade X, definimos uma transformação (uma função) a partir do espaço amostral original para um “novo espaço amostral” \(\Lambda\), que é um conjunto de números reais. Essa função é chamada de variável aleatória e é informalmente definida a seguir.

Definição 1.1 Uma variável aleatória X é uma função definida num espaço amostral \(\Omega\), que assume valores reais.


Observação: Em geral, variáveis aleatórias são denotadas com letras maiúsculas (X, Y, etc) e os valores assumidos por elas são denotados pelas letras minúsculas correspondentes (x, y, etc).


Quais valores podem assumir cada uma das seguintes v.a. ?


  • \(X_1\): ’’ Linhas em uso em um sistema de comunicação com 30 linhas num intervalo de tempo determinado ’’: \[\Lambda=\left\lbrace 0,1,2, \cdots,50 \right\rbrace.\]

  • \(X_2\): ’’ porcentagem de umidade num lote de matéria-prima numa indústria ’’:

    \[\Lambda=[0,100]. \]

  • \(X_3\): ‘’número de falhas que podem ser encontradas na superfície de uma serpentina de aço’’

    \[\Lambda=\left\lbrace 0,1,2, \cdots\right\rbrace={\mathbb N}={\mathbb Z}^{+}. \]

  • \(X_6\): ’’ número de pacotes fragmentados em uma transmissão que utiliza 1000 pacotes para o envio de uma informação ’’:

\[\Lambda=\left\lbrace 0,1,2, \cdots,1000 \right\rbrace.\]


Embora existam outros tipos de v.a’s, aqui veremos as que mais surgem na prática, que são:

  • variáveis Aleatórias Discretas:

    • são aquelas que assumem valores em um conjunto finito ou infinito enumerável;

  • variáveis Aleatórias Contínuas:

    • são aquelas que assumem valores em um conjunto não enumerável (intervalos da reta).


O início desse capítulo será dedicado ao estudo das variáveis aleatórias discretas, suas distribuições de probabilidades, variância e esperança. Em seguida, serão vistas as variáveis aleatórias contínuas com suas distribuições de probabilidades, esperança e variância.