2 Separatrizes e medidas de dispersão associadas

Nesta seção será discutido o cálculo e o uso da mediana como uma medida de tendência central, além de descrever como se dá a obtenção e interpretação de outras separatrizes. Também serão apresentadas medidas da dispersão em torno da mediana.

2.1 Mediana

A média, embora seja uma medida de tendência central muito utilizada, muitas vezes não descreve de maneira adequada um conjunto de dados, pois essa é uma medida que pode ser afetada por algumas características que os dados pode conter, como por exemplo a presença de assimetria acentuada na distribuição dos dados, ou presença de pontos que destoam dos demais, seja para cima ou para baixo. Nessas situações é importante que sejam obtidas outras medidas que não sejam afetadas por essas características. Uma medida que pode ser empregada nessas situações é a mediana, pois esta não é afetada por assimetria ou por pontos atípicos.

2.1.1 Mediana a partir de uma série de dados

A mediana de um conjunto de valores é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa os dados ordenados ($x_{(1)},x_{(2)},\cdots,x_{(n)}$) em dois subconjuntos, de modo que 50% dos valores estão abaixo dele e os demais 50% estejam acima. Aqui, $x_{(1)}$ denota o valor valor mínimo da série de dados e $x_{(n)}$ corresponde ao valor máximo. Ou seja, têm-se:

$$x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}.$$

A mediana é uma separatriz, pois esta divide o conjunto de dados ordenados em duas partes iguais.

A obtenção da mediana de uma série de dados $\textbf{x}=(x_1,x_2, \cdots, x_n)$ pode ser feita da seguinte forma.

$$\begin{aligned} Med(\textbf{x}) &= \left\{ \begin{array}{ll} x_{(\frac{n+1}{2})}, &\ \text{se n é ímpar}; \\ \frac{x_{(\frac{n}{2})}+ x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}, &\ \text{se n par}. \end{array} \right.\\ \end{aligned}$$

Exemplo.2.1 Para ilustrar, considere os exemplos a seguir.

1. Para a série $\textbf{x}=(5, 2, 6, 13, 9, 15, 10)$, a mediana pode ser obtida como segue:

$$\begin{aligned} (\underbrace{2, 5, 6,}_{3 \ elementos}\fbox{9,}\underbrace{10, 13, 15}_{3\ elementos}) \Rightarrow Med(\textbf{x})=9\\ \end{aligned}$$

2. A série $\textbf{y}=(1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6)$ pode ser ordenada, e a mediana encontrada, da seguinte maneira:

$$\begin{aligned} (\underbrace {0,0,1,1,}_{4\ elementos}\fbox{2,3,}\underbrace{3,4,5,6}_{4\ elementos}) \Rightarrow Med(\textbf{y})=\frac{2+3}{2}= 2,5 \end{aligned}$$

2.1.2 Mediana a partir da tabela de frequência simples

Para obtenção da mediana a partir de uma tabela de frequência, considere a coluna das frequências relativas acumuladas. A frequência acumulada é útil devido a mediana ser um valor que acumula abaixo dele 50% dos dados ordenados, com isso pode-se encontrar facilmente a classe mediana olhando diretamente para a tabela. Para ilustrar a obtenção, considere o Exemplo 2.2.

Exemplo.2.2 Considere a Tabela 2.1, que mostra a distribuição de frequência das curvas da BR 116, compreendidas entre os quilômetros 52,90 e 113,20, dados vistos em Quaresma (2019). Considere o seguinte.

• População: todas as curvas existentes na BR 116 entre os quilômetros 52,90 e 113,20.
• Unidades amostrais ou indivíduos: as curvas investigadas.
• Variável: número de acidentes ocorridos entre 2014 e 2019 nessas curvas.

Nese caso a variável é resultado de uma contagem, portanto é quantitaiva dicreta. A distribuição de frequência das curvas segundo o número de acidentes pode ser vista na Figura 2.1, onde pode ser notada uma assimetria assentuada no gráfico exibido. Nesse caso, pode ocorrer uma divergência entre a média e a mediana do número de acidentes. As duas medidas serão obtidas e comparadas a seguir.

Tabela 2.1: Distribução de frequência da quantidade de acidentes por curva da BR 116, do quilômetro 52,90 até 113,20, entre os anos de 2014 a 2019 (Quaresma 2019).

Quant. Acidentes	$Freq. Curvas$	$f_i$	$F_{ac}$	$X_i \times f_i$
0	13	0.34	0.34	0.00
1	5	0.13	0.47	0.13
2	5	0.13	0.61	0.26
3	3	0.08	0.68	0.24
4	3	0.08	0.76	0.32
5	2	0.05	0.82	0.26
6	3	0.08	0.89	0.47
7	1	0.03	0.92	0.18
12	1	0.03	0.95	0.32
17	1	0.03	0.97	0.45
48	1	0.03	1	1.26
Total	38	1.01	-	3.89

Para obter a mediana, observe que a até a terceira classe são acumulados mais de 50% dos dados (61%), sendo assim, esta é a classe que contém a mediana, deste modo não importa se o total de elementos na série é par ou ímpar, a mediana é o valor que está nessa classe, no caso, 2 acidentes, como mostra a linha a seguir, a qual foi destacada da Tabela 2.1. Ainda na tabela, pode ser visto que a média é $\overline{x}=3,86$, a qual está a quase duas unidades distante da mediana, mostrando uma divergência dessas duas medidas de tendência central. Isso mostra que, neste caso, a média pode não ser uma boa medida de tendencial central.

Mediana=2	$n_i$=5	$f_i$=0,13	$F_{ac}$=0,61

Figura 2.1: : Frequência das curvas por acidente.

2.1.3 Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

A obtenção de uma aproximação da mediana a partir de dados agrupados em uma tabela de frequência em intervalos, assim como no caso de uma tabela de frequência simples, pode ser feita localizando a classe que contém a mediana. Neste caso, o valor da mediana não pode ser obtido de modo preciso, exigindo, pois é requerida uma aproximação dentro do intervalo que contém esse valor. Essa aproximação será feita aqui de modo a levar em consideração a distribuição de frequência por meio da relação: $$\begin{aligned} Med&=L_i+\left[\frac{\left( 0,5 - F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times \delta \end{aligned}$$ em que,

• $L_i$: limite inferior da classe mediana,
• $F_{ac(ant)}$: frequência relativa acumulada da classe anterior à classe mediana,
• $\delta$: amplitude da classe
• e $f_i$ é a frequência relativa da classe mediana.

O Exemplo 2.3 ilustra a obtenção dessa aproximação da mediana em tabela com intervalos.

Tabela 2.2: Distribução de frequência da variável “Local” em quilômetro.

Km	$Freq. Curvas$	$f_i$	$F_{ac}$
(53.05,59.78]	6	0.16	0.16
(59.78,66.46]	4	0.11	0.26
(66.46,73.13]	8	0.21	0.47
(73.13,79.81]	0	0.00	0.47
(79.81,86.48]	0	0.00	0.47
(86.48,93.16]	4	0.11	0.58
(93.16,99.83]	4	0.11	0.68
(99.83,106.5]	7	0.18	0.87
(106.5,113.2]	5	0.13	1
Total	38	1.00	-

Exemplo.2.3 A Tabela 2.1, mostra a distribuição de frequência das curvas da BR 116, compreendidas entre os quilômetros 52,90 e 113,20, segundo a quilometragem da via, dados vistos em Quaresma (2019). Neste caso, pode ser pensado as seguintes características para o estudo.

• População: todas as curvas existentes na BR 116 entre os quilômetros 52,90 e 113,20.
• Unidades amostrais ou indivíduos: as curvas investigadas.
• Variável: posição da curva na rodovia, medida pela quilometragem da via até a curva.

Note que a posição da curva é uma variável quantitativa contínua, sendo apropriado o uso de uma tabela de frequência com intervalos. Na sexta classe da tabela de frequência apresentada é localizada a mediana da quilometragem, ou seja, aquele valor para a variável local da curva que antes dele concentra 50\% dos locais das curvas para o trexo em questão. Essa classe é mostrada a seguir:

Mediana $\in$ (86,48;93,16]	$n_6$=4	$f_6$=0,11	$F_{ac}$=0,58

Uma vez que foi identificada a classe da mediana, basta aproximá-la dentro do intervalo, da seguinte forma:

$$\begin{aligned} Med&=L_6+\left[\frac{\left( 0,5 - F_{ac(5)}\right) }{f_6}\right] \times \delta \\ &=86,48+\frac{(0,5-0,47)}{0,11} \times (93.16-86,48)\\ &=86,48+\frac{0,03}{0,11} \times 6,68= 86,48 +2,73 \approx \textbf{88,3}. \end{aligned}$$

A Figura 2.2 mostra o histograma da frequência das curvas por quilometragem, onde pode ser visto o intervalo com maior frequência de curvas (65-70 km) e também o intervalo que contém a mediana (80-85 km).

Figura 2.2: : Frequência das curvas.

2.2 Outras Separatrizes

Separatrizes (ou quantis) são valores que dividem uma série de dados ordenados ($x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}$) em partes iguais. Assim como a mediana divide a série dados ordenados em duas partes iguais, podem ser obtidos valores que separam a série em mais parte iguais. As separatrizes mais importantes são:

• a mediana (uma medida que divide a série ordenada em duas partes iguais);
• os quartis (três medidas que dividem a série ordenada em quatro partes iguais);
• os decis (nove medidas que dividem a série ordenada em dez partes iguais)
• e os percentis (noventa e nove medidas que dividem a série ordenada em cem partes iguais).

A estratégia usada para a obtenção das demais separatrizes segue a mesma ideia aquela empregada para obter o valor da mediana. Então, para encontrar as medidas a partir de uma tabela de frequência, encontra-se a classe que contém a medida desejada observando as frequências relativas acumuladas. Se a tabela possuí intervalos, deve-se aproximar as medidas dentro de suas respectivas classes usando expressões que podem ser como segue.

1. Para os quartis:

$$\begin{aligned} p_j&= \frac{ j}{4}, \mbox{ para } j = 1,2,3 \\ Q_j&=L_i+\left[\frac{\left( p_j- F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times \delta \end{aligned}$$ com:

• $L_i$ é o limite inferior da classe definida por $p_j$;
• $F_{ac(ant)}$ é a frequência absoluta acumulada da classe anterior à que contém o $j$-ésimo quartil;
• $\delta$ é a amplitude da classe e
• $f_i$ é a frequência relativa da classe definida por $p_j$.

2. Para os decis:

$$\begin{aligned} p_j&= \frac{ j}{10}, \mbox{ para } j = 1,2,\cdots, 9\\ D_j&=L_i+\left[\frac{\left( p_j- F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times \delta \end{aligned}$$ com:

• $L_i$ é o limite inferior da classe definida por $p_j$;
• $F_{ac(ant)}$ é a frequência absoluta acumulada da classe anterior à que contém o $j$-ésimo decil;
• $\delta$ é a amplitude da classe e
• $f_i$ é a frequência relativa da classe definida por $p_j$.

3. Para os percentis:

$$\begin{aligned} p_j&= \frac{ j}{100}, \mbox{ para } j = 1,2,\cdots, 99\\ P_j&=L_i+\left[\frac{\left( p_j- F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times \delta \end{aligned}$$ com:

• $L_i$ é o limite inferior da classe definida por $p_j$;
• $F_{ac(ant)}$ é a frequência absoluta acumulada da classe anterior à que contém o $j$-ésimo percentil;
• $\delta$ é a amplitude da classe e
• $f_i$ é a frequência relativa da classe definida por $p_j$.

2.2.1 Cálculo dos quartis

No Exemplo 2.3, os quartis podem ser obtidos da seguinte maneira:

2.2.1.1 Valor do primeiro quartil ($Q_1$)

O valor $Q_1$ está na segunda classe da tabela (tab:tabclass), pois essa acumula mais de 25\% dos dados, como pode ser visto na classe destacada a seguir.

$Q_1$ $\in$ (59,78;66,46]	$n_2$=12	$f_2$=0,32	$F_{ac}$=0,26

Note que até essa classe concentra-se 26% dos dados, logo contém o $Q_1$. Para aproximar essa medida dentro da classe encontrada, basta usar a relação:

$$\begin{aligned} p_1&= \frac{ 1}{4}=0,25\\ Q_1&=L_2+\left[\frac{\left( p_1- F_{ac(1)}\right) }{f_2}\right] \times \delta\\ Q_1&=59,78+\left[\frac{\left( 0,25- 0,16\right) }{0,32}\right] \times (66,46-59,78)\\ Q_1&=59,78+0,82 \times 6,68=59,78+5,47\approx 65,25 \end{aligned}$$

Então, $Q_1\approx 65,25$

2.2.1.2 Valor do segundo quartil ($Q_2$)

O $Q_2=Med=88,3$, ou seja esse valor é o valor da mediana e já foi calculado anteriormente.

2.2.1.3 Valor do terceiro quartil ($Q_3$)

O valor $Q_3$ está na quinta classe da tabela (tab:tabclass), pois essa acumula mais de 75% dos dados:

$Q_3$ $\in$ (99,83;106,5]	$n_8$=7	$f_8$=0,18	$F_{ac}$=0,87

Note que até essa classe concentra-se 87% dos dados, logo contém o $Q_3$. Assim:

$$\begin{aligned} p_3&= \frac{ 3}{4}=0,75\\ Q_3&=L_8+\left[\frac{\left( p_3- F_{ac(7)}\right) }{f_8}\right] \times \delta\\ Q_3&=99,83+\left[\frac{\left( 0,75- 0,68\right) }{0,18}\right] \times (106,5-99,83)\\ Q_3&=99,83+0,39\times 6,68=99,83+2,61\approx 102,45 \end{aligned}$$

Ou seja, $Q_3\approx 102,45$

2.3 Desenho Esquemático (Boxplot)

O desenho esquemático, também conhecido como Boxplot, é um gráfico bastante útil na análise do comportamento de uma variável a partir de um conjunto de valores observados. Dentre as vantagens do boxplot, podemos destacar:

• a detecção rápida de uma possível assimetria na distribuição de frequência dos dados;
• a capacidade de fornecer uma ideia sobre a existência de possíveis pontos atípicos (muito além ou muito aquém dos demais pontos);
• a exibição dos quartis.

2.3.1 Contrução do Boxplot

Para sua construção, é preciso obter mais duas medidas para decidir quais são os pontos atípicos da série de dados. Essas medidas serão chamadas aqui de limite superior ($l_{sup}$) e limite inferior ($l_{inf}$). Para obtê-los, fazemos:

$$\begin{aligned} l_{inf}&= Q_1-\frac{3}{2}(Q_3-Q_1) \mbox{ e }\\ l_{sup}&=Q_3+\frac{3}{2}(Q_3-Q_1).\\ \end{aligned}$$

• Caso o valor mínimo no conjunto de dados seja maior que $Q_1-\frac{3}{2}(Q_3-Q_1$, então: $l_{sup}=min$.

• Do mesmo modo, caso o valor máximo no conjunto de dados seja menor que $Q_3+\frac{3}{2}(Q_3-Q_1)$, então: $l_{inf}=min$

Com essas medidas, podemos obter os valores que estão muito aquém de $Q_1$ ou muito além de $Q_3$. Tais pontos são chamados de pontos discrepantes (ou aberrantes, ou ainda outliers).

Após a obtenção dos limites ($l_{inf}$ e $l_{sup}$), podemos construir o boxplot da seguindo os seguintes passos:

• No eixo cartesiano, constrói-se um retângulo na vertical de modo que:

  • A base no retângulo corresponda ao primeiro quartil ($Q_1$)
  • e o topo (lado superior) corresponda ao terceiro quartil ($Q_3$);
  • divide-se o retângulo em duas partes usando um segmento de reta orientado pela mediana;
  • Acima do retângulo traça-se um segmento orientado por $l_{sup}$;
  • Abaixo do retângulo também é apresentado um traço orientado por $l_{inf}$;
    • acima de $l_{sup}$ e abaixo de $l_{inf}$, marcam-se os pontos discrepantes.

Exemplo.2.4 Voltando ao Exemplo 2.3, nota-se que falta apenas obter os limites para pontos atípicos para que seja possível a contrução do boxplot. Então, usando os valores já calculados para $Q_1$, $Q_2$ e $Q_3$, tem-se:

$$\begin{aligned} l_{inf}&= Q_1-\frac{3}{2}(Q_3-Q_1)= 65,25-\frac{3}{2}(102,45-65,25)=65,25-55,8=9,45 \\ l_{sup}&=Q_3+\frac{3}{2}(Q_3-Q_1)=102,45+\frac{3}{2}(102,45-65,25)=102,45+55,8=158,25.\\ \end{aligned}$$

Como, $min=53,11$ e $max=113,18$, então: $$\begin{aligned} l_{inf}&= 53,11 \\ l_{sup}&=113,18.\\ \end{aligned}$$

Usando esses limites e os quartis calculados anteriormente, pode-se costruir o gráfico apresentado na Figura @rer(fig:boxplotcurvas). Note que no intervalo delimitado pela caixa estão 50\% do total das curvas, e este intervalo vai dos quilometro $Q_1=65,25$ até o quilometro $Q_3=102,45$. Na caixa do gráfico pode ser notada uma assimetria, pois existem um lado, em relação a mediana, que é mais “largo” que o outro. Também pode ser notado que as curvas estão concentradas ao longo do trecho, ou seja, não existe uma isolada, pois não é observado pontos atípicos no conjunto de dados. Note, também, que a média e a mediana estão afastadas, indicando um deslocamento da média do centro da distribuição para a esquerda.

Figura 2.3: : Frequência das curvas pela sua localização na rodovia.

Exemplo.2.5 Considerando novamente a Tabela 2.1, que mostra a distribuição de frequência das curvas da BR 116, compreendidas entre os quilômetros 52,90 e 113,20, com as considerações seguintes.

• População: todas as curvas existentes na BR 116 entre os quilômetros 52,90 e 113,20.
• Unidades amostrais ou indivíduos: as curvas investigadas.
• Variável: número de acidentes ocorridos entre 2014 e 2019 nessas curvas.

A Figura 2.4, mostra o boxplot para esses dados, onde fica evidenciado o ponto atípico do conjunto de dados.

Figura 2.4: : Frequência das curvas pelo número de acidentes.

2.4 Medida da dispersão em torno da mediana

2.4.1 Distância interquartil

Se a mediana é usada como a medida de tendência central para um conjunto de dados, a distância entre o primeiro e o terceiro quartil pode ser usada como uma medida da variabilidade dos dados em torno da mediana. Essa medida é chamada de distância interquartil e é dada por:

$$D=Q_3-Q_1$$

Também é muito utilizado a "amplitude ou desvio semi-quartil’’, que seria o interquartil dividido por 2. Neste caso, essa é uma boa medida de dispersão, pois em um intervalo igual ao interquartil em torno da mediana estão 50% dos dados. Neste caso, o boxplot pode ser utilizado para visualizar o comportamento da variável que gerou os dos dados. Quanto maior for a distância entre os quartis $Q_1$ e $Q_2$, maior será a dispersão dos dados.

2.4.2 Amplitude Total

Também podem ser usadas outras medidas para se ter uma ideia da dispersão dos dados.
Um exemplo é a Amplitude Total (AT) que é a diferença entre o maior e o menor valor observado (valor máximo e valor mínimo).

$$AT = x_{\mbox{(max)}} - x_{\mbox{(min)}}$$

Observação: essa medida não é muito utilizada devido ser altamente afetada por pontos discrepantes, além de ser pouco informativa.

Referências

Quaresma, Renan Rocha. 2019. “Análise Da Influência de Parâmetros Geométricos de Rodovias Na Frequência E Severidade de Acidentes Rodoviários.” http://repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/49429/1/2019_tcc_rrocha.pdf.