3 Gráficos para variáveis quantitativas

Um dos gráficos mais importantes para exibir distribuição de frequência de variáveis quantitativas é o histograma. Este gráfico pode ser pensado como uma representação gráfica da tabela de frequência com intervalos nas classes, em que as barras mostram o quão grande é a frequência nos intervalos. Assim, sua construção pode ser feita de forma similar ao procedimento empregado para construir a tabela de frequências com intervalos nas classes.

3.1 Histograma

O histograma é um gráfico de barras contíguas, e é apropriado para representar distribuições de frequências tando de variáveis quantitativas contínuas como discretas com muitos valores possíveis. Se a variável é quantitativa discreta, mas contém poucos valores possíveis, então os gráficos utilizados para apresentar a distribuição de frequência de variáveis qualitativas podem ser usados para representar sua frequência nos dados observados.

A construção do histograma será explicada aqui por meio de um exemplo, em que a variável “Nota do ENEM” do questionário aplicado aos estudantes das engenharias será utilizada para ilustrar essa construção. Dentre os entrevistados $n=157$ declaram a sua nota do ENEM para ingressar no curso em se encontra. Os valores ordenados são apresentados a seguir.

notaEnem<-read.table("NotasEnem.csv",head=TRUE)
sort(notaEnem$Nota)

##   [1] 450,00 499,20 518,00 530,00 540,00 547,00 550,00 551,14 558,00 560,00
##  [11] 561,30 570,00 570,00 570,00 575,00 578,00 578,00 588,00 588,00 589,00
##  [21] 592,00 592,16 592,16 592,16 592,40 595,00 597,00 599,00 599,50 599,60
##  [31] 600,00 602,00 602,00 604,05 604,50 604,50 605,00 609,00 614,00 614,66
##  [41] 615,00 618,00 619,00 619,65 620,00 620,00 620,00 621,00 621,00 621,14
##  [51] 622,00 622,20 622,30 624,00 624,00 624,00 624,80 624,80 627,80 627,80
##  [61] 630,00 630,00 630,00 631,00 631,00 631,00 633,00 634,20 634,88 635,00
##  [71] 636,10 636,10 639,50 640,00 640,00 640,00 640,75 642,00 643,20 643,60
##  [81] 643,60 644,00 644,00 645,00 645,00 645,40 648,00 648,04 648,40 650,00
##  [91] 650,00 650,00 650,00 650,00 651,00 651,00 651,00 651,30 651,50 652,00
## [101] 652,20 652,20 652,20 652,76 652,76 653,00 655,00 655,00 655,00 656,00
## [111] 657,00 657,56 660,00 660,00 661,00 661,48 663,00 664,62 664,94 664,94
## [121] 666,00 667,00 667,00 668,00 670,00 670,00 670,00 670,00 670,00 671,00
## [131] 671,90 671,90 676,14 676,50 680,00 680,00 680,00 680,00 683,00 684,50
## [141] 685,60 691,00 693,00 694,94 694,94 696,00 699,00 705,50 705,50 707,30
## [151] 709,00 720,12 720,30 728,00 750,00 750,00 765,28

Para os dados da variável “Nota do ENEM”, vamos fixar $L_{sup}=766$ e $L_{inf}=450$ para determinar $AT=L_{sup}-L_{inf}=766-450=316.$ Como $n=157$ , tem-se $k\approx 1+log_{2}209\approx 8,29\approx 8$ , assim $k=8$ que fornece $\delta=316/8 \approx 40$ . Logo, tem-se:

$450+40=490$ $\Rightarrow$ $[450; 490)$
$490+40=530$ $\Rightarrow$ $[490; 530)$
$530+40=570$ $\Rightarrow$ $[530; 570)$
$570+40=610$ $\Rightarrow$ $[570; 610)$
$610+40=650$ $\Rightarrow$ $[610; 650)$
$650+40=690$ $\Rightarrow$ $[650; 690)$
$690+40=730$ $\Rightarrow$ $[690; 730)$
$730+40=770$ $\Rightarrow$ $[730; 770)$

Com isso, têm-se os intervalos que fornecerão as bases dos retângulos que utilizados para montar o gráfico de barras. No entanto, essas barras não serão construídas de qualquer modo, mas sim de modo que a área de cada barra seja igual à frequência relativa de ocorrência da variável no intervalo fornecido pela base dessa barra.

Para iniciar a construção do histograma, deve-se construir as escalas, usando os intervalos no eixo das abcissas, e para a ordenada, deve-se antes obter as alturas das barras, para finalmente construir a escala e desenhar as barras.

3.1.1 Altura da primeira barra do histograma

O primeiro intervalo construído, $[450; 490)$ , contém 20 valores de nota, assim sua frequêcia relativa é $f_1=1/157\approx 0,006$ , então a primeira barra deve ter área 0,006 Ou seja, a altura ( $h$ ) da barra deve ser obtida como:

$\delta \times h=0,006$

em que $\delta=490-450=40$ é a amplitude do intervalo em cada classe, então:

$40\times h_1=0,006 \Rightarrow h_1=0,000159$

A Figura 3.1 mostra a primeira barra do histograma, cuja área é dada por: $h_1=0,000159 \Rightarrow \delta \times h_1 = f_1 \approx 0,006$

Figura 3.1: : Construção da primeira barra do histograma.

3.1.2 Altura da segunda barra do histograma

Para obter a segunda barra, basta usar o mesmo raciocínio, ou seja:

Obtém-se a segunda frequência relativa observando quantas observações contém o segundo intervalo $[490; 530)$ , neste caso duas;
calcula-se a altura da barra dividindo essa frequência pela amplitudoe da classe:

$f_2=2/157 = 0,01273885 \Rightarrow h_2=\frac{f_2}{40}=0,0003184713.$ Logo a altura da segunda barra é $\approx 0.0003$ , assim basta subir a barra até esse valor, como mostra a Figura 3.1.

Figura 3.2: : Construção da segunda barra do histograma.

3.1.3 Alturas para as demais barras do histograma

o intervalo $[530; 570)$ contém 8 observações, então $f_3=8/157 = 0,05095541 \Rightarrow h_3=\frac{f_3}{40}= 0,001273885.$
O intervalo $[570; 610)$ contém 26 observações, então $f_4=26/157 = 0,1656051 \Rightarrow h_4=\frac{f_4}{40}= 0,004140127.$
- o intervalo $[610; 650)$ contém 49 observações, então:
$f_5=49/157 = 0,3121019 \Rightarrow h_5=\frac{f_5}{40}= 0,007802548.$
o intervalo $[650; 690)$ contém 55 observações, então: $f_6=55/157 = 0,3503185 \Rightarrow h_6=\frac{f_6}{40}= 0,008757962.$
o intervalo $[690; 730)$ contém 12 observações, então:

$f_7=12/157 = 0,07643312 \Rightarrow h_7=\frac{f_7}{40}= 0,001910828.$

o intervalo $[730; 770)$ contém 4 observações, então:

$f_8=4/157 = 0,1656051 \Rightarrow h_8=\frac{f_8}{40}= 0,004140127.$

Deste modo, têm-se os seguinte valores de alturas para as barras:

$h_1= 0,0001592357 =1,592357\mbox{ e}^{-4}$
$h_2= 0,0003184713 =3,184713 \mbox{ e}^{-4}$
$h_3= 0,0012738854 =1,2738854\mbox{ e}^{-3}$
$h_4= 0,0041401274 =4,1401274 \mbox{ e}^{-3}$
$h_5= 0,0078025478 = 7,8025478 \mbox{ e}^{-3}$
$h_6= 0,0087579618 = 8,7579618 \mbox{ e}^{-3}$
$h_7= 0,0019108280 = 1,910828\mbox{ e}^{-3}$
$h_8= 0,0006369427 = 6,369427 \mbox{ e}^{-4}$

A escala no eixo das ordenadas deve ser construída observando o maior valor de altura, como mostra a Figura 3.3.

Figura 3.3: :Histograma para a variável Nota.

3.2 Polígono de frequência

Após a construção do histograma, é importante observar tendência de alturas das barras, para isso é interessante construir o polígono de frequência sobre as barras, que é um gráfico de linhas obtido ligando os pontos médios dos topos de cada barra, como mostra a Figura 3.4. Como pode ser visto nessa figura, usando o histograma é fácil observar para quais valores da variável tem-se a maior frequência. No caso da variável “Nota”, percebe-se que aproximadamente 66% dos entrevistados que declarou sua nota, obteve nota entre 610 e 690 pontos.

Figura 3.4: :Histograma e polígono de frequência para a variável Nota.

3.3 Exemplo de aplicação

3.4 Exemplos de aplicação

Exemplo.3.1 Considere as observações da variável “Altura” da tabela 1.1. Utilizando o código a seguir, obtém-se o histograma dos dados.

X=DadosEstudantes$Altura


hist(X,
     breaks=9,               # controla o número de classes
     xlab="Nota",            # rótulo do eixo das abcissas
     ylab="Frequência",      # rótulo do eixo das ordenadas
     freq=FALSE,             # se FALSE a soma da área das barras é 1
     probability = TRUE,     # se TRUE a soma da área das barras é 1
     border="black",         # cor para bordas
     col="gray",             # cor para as barras
     main=" " )

Figura 3.5: :Histograma para a variável Altura.

A Figura 3.5 mostra o histograma para a variável Altura dos estudantes, onde podemos ver que existe uma grande frequência de estudantes com altura entre 1,60 e 1,75 metro de altura (m), sendo a maior frequência entre 1,70 e 1,75 m.

Exemplo.3.2 Ainda nos dados da tabela 1.1, pode-se construir o histograma para as variáveis idade dos entrevistados no dia da entrevista e a idade quando esses entrevistados escolheram o curso em que estão matriculados. Os códigos a seguir fornecem os histogramas para essas variáveis. Observe que nesses códigos são escolhidas 15 classes para os histogramas, a fim de se ter uma visualização melhor da distribuição de frequência das variáveis.

X=DadosEstudantes$Idade
Y=DadosEstudantes$Idade.da.Escolha.do.Curso

## plot x
hist(X, breaks=15, xlab="Nota", ylab="Frequência", freq=FALSE,  probability = TRUE,    border="black",      col="gray", main=" " )

Figura 3.6: :Histograma para a variável Idade na epoca da entrevista

## plot y
hist(Y, breaks=15, xlab="Nota", ylab="Frequência", freq=FALSE,  probability = TRUE,    border="black",      col="gray", main=" " )

Figura 3.7: :Histograma para a variável Idade de escolha do curso.

As Figuras 3.6 e 3.7 mostram os histogramas das idades no ato da entrevista e as idades em que escolheram o curso em que estão matriculados. Observe que existe uma grande frequência de estudantes com idade em torno de 17 anos, enquanto as idades de escolha ficou em torno de 16, o que leva a conclusão de que existe uma alta frequência de estudantes que decidiram pelos seus cursos em época bem próxima a realização do exame para ingresso na universidade.