\(\newcommand\AA{\mathcal{A}}\) \(\newcommand\bbz{\mathbb{Z}}\)

前言

此笔记整理自 (Huybrechts 2005) (Demailly 2012) (Cattani 2010)

目前这是一个非常粗糙的版本, 主要是作备忘录用, 打算今年6月再整理一番.

此笔记所讨论的复几何意指紧的复流形. 由于复流形的复结构具有很强的刚性, 所以复流形上的几何常常可以用多项式组的零点来描述.

问题: 复流形的分类是个很困难的问题.

  • 复曲线可以用模空间 (moduli space) 的理论进行一定程度上的分类

  • 复曲面的分类则已经很复杂了.

所以 Huybrechts 的书主要讨论的是理论相对完备的复流形, 例如

  • 带有黎曼度量: 基本工具, 这将引出重要的 Kähler 流形, 基于此我们将学习许多复几何的工具
  • 卡拉比-丘 (Calabi-Yau) 流形: 镜像对称 (mirror symmetry) 的核心问题

参考文献

Cattani, Eduardo. 2010. Introduction to Kähler Manifolds. Summer School-Conference on Hodge Theory; Related Topics. https://indico.ictp.it/event/a09153/session/4/contribution/2/material/0/1.pdff.
Demailly, Jean-Pierre. 2012. Complex Analytic and Differential Geometry. Universit´e de Grenoble I Institut Fourier. https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf.
Huybrechts, Daniel. 2005. Complex Geometry: An Introduction. Vol. 78. Springer.