第 1 章 局部理论

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流形理论的整个基础就是分为两部分: 先局部地看, 再整体地看. 这一章的目的就是教会我们怎么局部地看.

1.1 多复变全纯函数

先是回忆单复变中的一些框架和结论. 全纯函数的定义域通常为开集. 特别地, 我们还对连通开集特别取了名字, 称为 “区域” (domain 或 region).

• 两个经典的定义域模型是单位圆盘 (disc) 和穿孔圆盘 (punctured disc): 前者连通, 全纯意味着有泰勒展开; 后者同胚于环形 (annulus), 带洞, 全纯意味着允许极点 (pole) 出现在洞里, 从而泰勒展开变成洛朗展开.

• 复可微从复数角度看就是局部为复线性函数 (即在切空间中, 是个线性映射), 从实数角度看就是满足柯西-黎曼方程 (Cauchy-Riemann equation), 即实部和虚部有一定关系, 从而和局部复线性相兼容. 实际上这里包含了两个可逆的过程, 实变函数的 “复化” (complexification) 与复变函数的 “实化”, 前者即标量延拓 (scalar extension), 后者即标量限制 (scalar restriction), 具体见 1.2 线性代数.

• 复可微性还有个积分的等价刻画, 这是复变函数理论具有很强刚性的一个体现. 具体地说, ${ f\colon U \to \mathbb{C} }$ 全纯当且仅当 ${ f }$ 连续可微并且对任意开圆盘 ${ B_{\varepsilon } (z_0) \subseteq U }$ 我们有 $$\begin{align*} f(z_0) = \frac{1}{2 \pi \i} \int_{\partial B_{\varepsilon } (z_0)} \frac{f(z)}{z-z_0} d z. \end{align*}$$

  而正是这一性质保证了我们的复可微性等价于开邻域内可作泰勒级数展开.

• 下面列举一些刚性结论:

  • 最大模原理 (maximal modulus principle): 区域上的全纯函数只能在边界上取得最大模, 除非为常值函数. 相应地, 若定义域没有边界, 则函数也无界. 这一定理常用来证明复变函数理论中的单连通 (simply connected) 性质.

  • 恒等定理 (identity theorem): 区域上的两全纯函数若在一个有聚点的集合上相等, 则处处相等, 基于此可证明延拓的唯一性. 证明技巧为利用连通集的既开又闭.

  • 黎曼延拓定理 (Riemann extension theorem): 穿孔圆盘上的有界全纯函数可以延拓到整个开圆盘.

  • 黎曼映照定理 (Riemann mapping theorem): 复平面中的单连通真开子集和单位圆盘共形等价. 从而全纯单射自动有全纯的逆.

  • 刘维尔定理 (Liouville theorem): 有界整函数为常函数.

  • 留数定理 (residue theorem): 多连通区域上全纯函数的环路积分等于其内部极点留数之和的 ${ 2 \pi i }$ 倍. 因其刻画了极点的性质, 留数定理的代数描述在证明 Riemann-Roch 定理中非常关键, 其中代数刻画指利用除子的上同调性质.

下面开始多复变函数的内容, 其中的 “多” 有两种含义:

• ${ \mathbb{C} ^n \text{ 中开集 } \to \mathbb{C} }$

• ${ \mathbb{C}^m \text{ 中开集 } \to \mathbb{C} ^n }$

定义域的经典模型之一为多圆盘 (polydisc) $$\begin{align*} B_{\varepsilon } (w) : = \left\{ z \in \mathbb{C} ^n : \left| z_j - w_j \right| < \varepsilon _j \right\} \end{align*}$$ 其中 ${ \varepsilon = (\varepsilon _1, \ldots, \varepsilon _n) }$.

给定开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^n }$, 称 ${ f\colon \to \mathbb{C} }$ 为全纯函数, 是指 ${ f }$ 逐坐标满足柯西-黎曼方程. 从而若取记号 ${ z_j = x_j + \i y_j }$ $$\begin{align*} \frac{\partial}{\partial z_j}&: = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial }{\partial x_j} - \i \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \\ \frac{\partial}{\partial \overline{z}_j}&: = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial }{\partial x_j} + \i \frac{\partial}{\partial y_j} \right) \end{align*}$$

于是柯西-黎曼方程等价于 $$\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial \overline{z} _j} =0, \quad i = 1, \ldots, n \end{align*}$$

简记为 ${ \overline{\partial } f =0 }$, 更具体的含义在 1.3 微分形式 中会解释.

命题 1.1 (多复变的柯西积分公式)
给定连续函数 ${ f\colon \overline{B_{\varepsilon } (w)} \to \mathbb{C} }$. 假设 ${ f }$ 对每个变量都全纯, 则对任意 ${ z \in B_{\varepsilon} (w) }$ 有 $$\begin{align*} f(z) = \frac{1}{(2 \pi \i )^n } \int_{\left| \xi _j - w_j \right| = \varepsilon _j} \frac{f(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n} )}{(\xi _1 - z_1) \cdots (\xi _n - z_n)} d \xi \cdots d \xi _n \end{align*}$$

由此, 有两个结论

1. (Osgood 引理): ${ \overline{B_{\varepsilon } (w)} }$ 可替换为 任意开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^n }$

2. 对于全纯函数 ${ f \colon U \to \mathbb{C} ,}$ 任给 ${ w \in U }$, 存在多圆盘 ${ B_ \varepsilon (w) \subseteq U \subseteq \mathbb{C} ^n }$ 使得 ${ f }$ 在 ${ B_{\varepsilon } (w) }$ 上有级数展开 $$\begin{align*} \sum_{j_{1}, \ldots, j_{n} =0}^{\infty} a_{j_{1}, \ldots, j_{n} } (z_1-w_1)^{j_1} \cdots (z_n-w_n) ^{j_n}, \end{align*}$$ 其中 $$\begin{align*} a_{j_{1}, \ldots, j_{n} } = \frac{1}{j_1 ! \cdots j_n !} \frac{\partial ^{j_1 + \cdots + j_n } f}{\partial z_1 ^{j_1} \cdots \partial z_n ^{j_n}} \end{align*}$$

一些性质:

• 最大模原理, 恒等定理, 刘维尔定理都可以直接推广到多复变情形

• 依然有某种形式的黎曼延拓定理

• 黎曼映照定理不成立

• 有一些意外的性质, 例如 Hartog 定理.

引理 1.1 (全纯性的积分判别法)
给定开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^n, }$ ${ \varepsilon >0 }$ 以及 ${ \partial B_{\varepsilon } \subseteq \mathbb{C} }$ 的一个开邻域 ${ V \subseteq \mathbb{C} . }$ 若 ${ f \colon V \times U \to \mathbb{C} }$ 全纯, 则 $$\begin{align*} g (z) : = g (z_1, \ldots z_n) : = \int_{\left| \xi \right| = \varepsilon } f (\xi , z_1, \ldots , z_n) d \xi \end{align*}$$ 亦在 ${ U }$ 上全纯.

命题 1.2 (Hartog 定理)
给定 ${ n \geqslant 2 }$, ${ \varepsilon = \left(\varepsilon _{1}, \ldots, \varepsilon _{n} \right) }$ 以及 ${ \varepsilon ' = \left(\varepsilon' _{1}, \ldots, \varepsilon' _{n} \right) }$ 使得对任意 ${ j }$ 都有 ${ \varepsilon _j' < \varepsilon _j }.$ 则任意全纯函数 ${ f\colon B_{\varepsilon } (0) \setminus \overline{B_ \varepsilon '} (0) \to \mathbb{C} }$ 能被唯一延拓到 ${ f\colon B_{\varepsilon } (0) \to \mathbb{C} }$

定义 1.1 (Weierstrass 多项式) Weierstrass 多项式 (Weierstrass polynomial)是指形如 $$\begin{align*} z_1 + \alpha _1 (w) z_1 ^{d-1}+ \cdots + \alpha _d (w) \end{align*}$$ 的关于 ${ z_1 }$ 的多项式, 其中 ${ \alpha _i (w) }$ 为 ${ \mathbb{C} ^{n-1} }$ 中小圆盘上的全纯函数并且在原点处取值为 ${ 0 }$.

定理 1.1 (Weierstrass 预备定理)
给定多圆盘上的全纯函数 ${ f\colon B_ \varepsilon (0) \to \mathbb{C} }$ 使得 ${ f(0) = 0 }$. 假设 ${ f_0 (z_1) \not\equiv 0 }$, 则存在唯一的 Weierstrass 多项式 ${ g (z_1, w) = g_w (z_1) }$ 以及 更小圆盘 ${ B_{\varepsilon ' (0) \subseteq B_ \varepsilon (0) } }$ 上的全纯函数 ${ h }$ 使得 $$\begin{align*} f = g \cdot h \end{align*}$$ 以及 ${ h(0) \neq 0 }$.

记号: ${ Z(f):= \left\{ z \in \mathbb{C} ^n : f(z)=0 \right\} }$

命题 1.3 (黎曼延拓定理)
给定开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^n }$ 上的全纯函数 ${ f. }$ 若 ${ g \colon U \setminus Z(f) \to \mathbb{C} }$ 全纯且在 ${ Z(f) }$ 附近局部有界, 则 ${ g }$ 可被唯一延拓到 ${ \widetilde{ g }\colon U \to \mathbb{C} }$

定义 1.2 (向量值全纯函数) 给定开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^m },$ 称其上函数 ${ f\colon U \to \mathbb{C} ^n }$ 为全纯函数 (holomorphic function) 是指 ${ f }$ 的每个坐标分量 ${ f_1, \ldots , f_n }$ 都是全纯函数.

多元微分学的经典三件套: (复/实)雅可比矩阵, 反函数定理, 隐函数定理. 以及还有下述流形版本的局部平坦化.

推论 1.1
给定开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^m }$ 及全纯映射 ${ f\colon U \to \mathbb{C} ^n }$. 假设 ${ z_0 \in U }$ 使得 ${ \rank \left(J(f) (z_0) \right) }$ 满秩.

i). 若 ${ m \geqslant n }$ 则存在双全纯映射 ${ h\colon V \to U' }$ 使得对任意 ${ z=(z_{1}, \ldots, z_{m} ) \in V }$ 有 $$\begin{align*} f \circ h (z_{1}, \ldots, z_{m} ) = (z_{1}, \ldots, z_{n}) , \end{align*}$$ 其中 ${ U' }$ 为 ${ z_0 }$ 的开邻域, ${ V }$ 为 ${ f(z_0) }$ 的开领域.

ii). 若 ${ m \leqslant n }$ 则存在双全纯映射 ${ g\colon V \to V' }$ 使得对任意 ${ z=(z_{1}, \ldots, z_{m} ) \in V }$ 有 $$\begin{align*} g \circ f (z_{1}, \ldots, z_{n} ) = (z_{1}, \ldots, z_{m}, 0, \ldots ,0) , \end{align*}$$ 其中 ${ V }$ 为 ${ f(z_0) }$ 的开领域, ${ V' }$ 为 ${ z_0 }$ 的开邻域.

另外由于刚性, 正则性可由双射直接保证.

命题 1.4
给定开集 ${ U,V \subseteq \mathbb{C} ^n }$ 间的全纯函数 ${ f\colon U \to V }$. 若 ${ f }$ 为双射, 则对任意 ${ z \in U }$ 有 ${ \det J(f) (z) \neq 0. }$ 特别地, ${ f }$ 双全纯.

下面开始用层的语言.

定义 1.3 (全纯函数层) 记 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n} }$ 为 ${ \mathbb{C} ^n }$ 上的全纯函数层 (sheaf of holomorphic functions), 指对任意开集 ${ U \subseteq \mathbb{C} ^n }$,

• 其在 ${ U }$ 上的截面 (section) ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n} (U) }$ 为全体全纯函数 ${ f\colon U \to \mathbb{C} ^n }$

• 其在 ${ z \in \mathbb{C} ^n }$ 处的茎 (stalk) ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n, z} }$ 为全体函数芽 ${ (U,f) }$, 其中 ${ U }$ 为 ${ z }$ 的一个任意小的开邻域, ${ f }$ 为 ${ U }$ 上的全纯函数.

一个重要的观察是, ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n} }$ 在不同点的茎彼此同构. 所以后面我们着重讨论其中之一 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n ,0} }$. 下面是对茎的一些观察.

• 偏导数 ${ \frac{\partial }{\partial z_j} }$ 定义了 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n ,0} }$ 上的 ${ \mathbb{C} }$-线性自同态.

• 对于 ${ f \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n ,0} }$, ${ Z(f) }$ 即 ${ f }$ 所在的芽.

• 对于 ${ f \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$, 若 ${ f (0) \neq 0 }$, 则 ${ 1/f }$ 就是 ${ f }$ 在 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$ 中的乘法逆元, 所以 $$\begin{align*} \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} \times = \left\{ (U,f) : f(0) \neq 0 \right\} \end{align*}$$ 于是 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$ 的非平凡理想全部出现在 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} \setminus \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0}^\times }$ 中, 而不难验证 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} \setminus \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0}^\times }$ 本身是个理想, 从而是个极大理想, 故 ${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$ 为局部环.

命题 1.5
${ \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n, 0} }$ 为

i). 局部环

ii). 唯一分解整环 (使用 Weierstrass 预备定理)

iii). 诺特环 (使用 Weierstrass 除子定理)

命题 1.6 (Weierstrass 除子定理)
给定 ${ f \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$ 以及 ${ d }$ 次 Weierstrass 多项式 ${ g \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^{n-1}, 0} [z_1] }$. 则存在唯一次数小于 ${ d }$ 的 ${ r \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^{n-1} , 0} [z_1] }$ 以及唯一的 ${ h \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n, 0} }$ 使得 $$\begin{align*} f = g \cdot h + r. \end{align*}$$

一些交换代数视角的结论:

命题 1.7

1. 给定不可约函数 ${ g \in \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$. 若 ${ f inn \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$ 在 ${ Z(g) }$ 上为 ${ 0 }$, 则 ${ g }$ 整除 ${ f }$.

2. 对任意芽 ${ X \subseteq \mathbb{C} ^n }$, 集合 ${ I(X) \subseteq \mathcal{O}_{\mathbb{C} ^n,0} }$

1.2 线性代数

定义 1.4 (殆复结构) 给定有限维实线性空间 ${ V }$, 若自同态 ${ I \colon V \to V }$ 满足 ${ I^2 = -\id }$, 则称 ${ I }$ 为 ${ V }$ 上的殆复结构 (almost complex structure).

实际上我们还可以把实变函数 “复化” (complexify) 为全纯函数. 给定 ${ f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C} },$ 首先考虑实向量空间 ${ V = \mathbb{R}^2 }$ 的复化: $$\begin{align*} V_{\mathbb{C} } : = V \otimes _{\mathbb{R}} \mathbb{C} \end{align*}$$

这解释了为什么常说张量积的作用是换系数.

具体地说, ${ \mathbb{k} }$-向量空间即域 ${ \mathbb{k} }$对自带加法的群有个环作用 (或者说标量乘法), 此处我们的环作用即 ${ - \otimes \mathbb{k} }$: $$\begin{align*} v \otimes (a+ \i b) & : = v \otimes_{\mathbb{R}} a + v \otimes_{\mathbb{R}} b \i \\ & = a v + b \left(v \otimes_{\mathbb{R}} \i \right) \end{align*}$$

以后我们忽略张量积的角标, 因为这是复几何, 数域只涉及 ${ \mathbb{k} = \mathbb{R}, \mathbb{C} }$, 所以张量的基底默认是 ${ \mathbb{R} }$.

简记为 ${ \i v : = v \otimes i }$. 由线性性, ${ \i^2 v = -v }$, 从而一般的标量乘法计算法则为 $$\begin{align*} (a+\i b) (v_1 + \i v_2) = (av_1 - b v_2) + \i (a v_2 + b v_1), \quad \forall \, v_1, v_2 \in V; a ,b \in \mathbb{R} \end{align*}$$

由此 ${ \dim_{\mathbb{R}} V = \dim _{\mathbb{C} } V_{\mathbb{C} } }$

1.3 微分形式