第 1 章 导出范畴
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给定环 \({ R }\) (不要求是交换环), \({ R }\)-复形是指一列 \({ R }\)-模 \[\begin{align*} M : \quad \cdots \to M_{i+1} \xrightarrow{\partial_{i+1} } M_i \to \cdots \end{align*}\] 并满足 \({ \partial ^2 = 0 }\).
该复形的第 \({ i }\) 次同调为 \({ H_i (M) : = \myker \partial _i / \myim \partial _{i+1} }\), 定义 \[\begin{align*} H(M) : = \{ H_i (M) \} _{i \in \mathbb{Z} } \end{align*}\]
定义 \({\mathscr{C} (R) }\) 为 \({ R }\)-复形的范畴, 任给两个 \({ R }\)-复形 \({ M,N }\), 态射 \({ f\colon M \to N }\) 形如 \({ f = \{f_i\}_{i \in \mathbb{Z} } }\) 使得下图交换
\[\begin{CD} \cdots @>>> M_{i+1}@>>> M_i @>>> M_{i-1} @>>> \cdots\\ \vdots @VVf_{i+1}V @VVf_iV @VVf_{i-1}V & \vdots\\ \cdots @>>> N_{i+1}@>>>N_{i} @>>> M_{i-1} @>>> \cdots \end{CD}\]
即 \({ \partial f = f \partial }\). 记 \({ M,N }\) 间态射集为 \[\begin{align*} \Hom_{\mathscr{C}(R)} (M,N). \end{align*}\]
同调函子同样诱导出 \({ f }\) 在同调群上的态射: \({ H(f) \colon H(M) \to H(N) .}\)
定义 1.1 (拟同构) 若 \({ H(f) }\) 为双射, 则称 \({ R }\)-复形间的态射 \({ f }\) 为拟同构 (quasi-isomorphism), 也称为弱等价 (weak equivalence).
记 \({ W }\) (W 指 weak equivalence) 为 \({ \mathscr{C}(R) }\) 中的弱等价全体 (不一定构成集合). 类似于局部化定义 \[\begin{align*} D(R): = \mathscr{C} (R) [W ^{-1} ] \end{align*}\]
或者 \[\begin{align*} D(R): = W ^{-1} \mathscr{C} (R) \end{align*}\]
显然 \({ W }\) 中不是任意两个映射都能复合. 即使能复合, 可能也不会表现出很好的性质 (?), 所以我们实际上还要求 \({ W }\) 满足六分之二性质 (2-out-of-6 property): 任给 \({ \mathscr{C} (R) }\) 中可复合的三个态射: \[\begin{align*} \bullet \xrightarrow {f} \bullet \xrightarrow {g} \bullet \xrightarrow {h} \bullet , \end{align*}\] 若 \({ gf, hg \in W }\) 则 \({ f,g,h, hgf \in W }.\)
练习 1.1 验证六分之二性质.
下面通过定义同伦范畴来构造导出范畴. \[\begin{align*} \mathscr{C}(R) \leadsto K(R) \leadsto D(R). \end{align*}\]
其中
\({ K(R) }\) 表示 \({ R }\)-模的同伦范畴
\({ D(R) }\) 表示 \({ R }\)-模的导出范畴
\({ K(R) \leadsto D(R) }\) 为局部化, 也就是使拟同构可逆.
给定两个 \({ R }\)-复形, 记 \({ \Hom_{R} (M,N) }\) 为复形之间的一列阿贝尔群同态, 以及 \[\begin{align*} \Hom_{R} (M,N)_n : = \prod_{i \in \mathbb{Z} }\Hom_{R} (M_i, N_{i+n}), \end{align*}\] 其元素称为 \({ M\to N }\) 的 \({ n }\) 次映射. 此时微分映射为 \[\begin{align*} \partial \colon \Hom_{R} (M,N) _{n+1} &\to \Hom_{R} (M,N)_n \\ f & \mapsto \partial f - (-1)^{n+1} f \partial . \end{align*}\]
练习 1.2 验证 \({ \partial ^2 =0 }\).
注意到 \[\begin{align*} Z_0 \left(\Hom_{R} (M,N) \right) = \Hom_{\mathscr{C} (R)} (M,N). \end{align*}\]
定义 1.2 (链映射同伦, 同伦范畴) 给定 \({ f,g \in \Hom_{\mathscr{C} (R)} (M,N) }\) 若存在 \({ h \in \Hom_{R} (M,N) _1 }\) 使得 \[\begin{align*} f - g = \partial h \in \Hom_{R} (M,N), \end{align*}\] 则称 \({ f,g }\) 为同伦的 (homotopic).
记 \[\begin{align*} K(R): = \mathscr{C} (R) / \text{同伦关系} , \end{align*}\] 称之为 \({ R }\)-模的同伦范畴 (homotpy category), 其中
i). \({ \Obj (K(R) }\) 为 \({ R }\)-复形
ii). \({ \Hom_{K} (M,N) = H_0 \left( \Hom_{R} (M,N) \right) }\)
在 \({ \mathscr{C} (R) }\) 中, 若 \({ f,g }\) 同伦, 则 \({ H(f) = H(g) }\)
在 \({ K(R) }\) 中, 若 \({ f,g }\) 同伦, 则 \({ f=g. }\)
定义 1.3 (纬悬) 给定 \({ R }\)-复形 \({ M }\), 其纬悬 (suspension) \({ \Sigma M }\) 是指 \({ R }\)-复形 \[\begin{align*} \left(\Sigma M \right)_{i} = M_{i-1}. \end{align*}\]
从而 \({ \partial ^{\Sigma M} = - \partial ^{M} }.\)
记 \({ \Proj R }\) 为投射 \({ R }\)-模全体, 记 \({ q\colon K(R) \to D(R) }\) 为前面提到的局部化函子. 一方面我们有 \({ K(\Proj R) \subseteq K (R),}\) 所以自然地有 \({ K(\Proj R) \to D(R) }\); 另一方面, 我们也有反向的箭头: \[\begin{align*} p \colon D(R) \to K \left(\Proj R \right) \end{align*}\] 实际上这还是个全忠实的嵌入 (full and faithful embedding), 而且 \({ p }\) 左伴随于 \({ q }\): \[\begin{align*} \Hom_{K} (pM, N) \cong \Hom_{D} (M,qN) \end{align*}\]
在 \({ \Proj R }\) 上工作可行性高很多, 因为有投射分解 (projective resolution).
给定复形态射 \({ f\colon M \to N }\),, 定义其映射锥 (mapping cone) 为 \[\begin{align*} \Cone (f): = N \oplus \Sigma M \end{align*}\] 并带有微分映射 \[\begin{align*} \begin{bmatrix} \partial ^n & \pm f \\ 0 & -\partial ^M \end{bmatrix} \colon \begin{CD} N_{i+1}\\ \oplus \\ \quad \left(\Sigma M \right)_{i+1} \end{CD} \longrightarrow \begin{CD} N_{i}\\ \oplus \\ \quad \left(\Sigma M \right)_{i} \end{CD} \end{align*}\]
此时我们有正合列 \[\begin{align*} 0 \to N \hookrightarrow \Cone (f) \to \Sigma M \to 0 \end{align*}\] 从而 \({ f }\) 为弱等价 \({ \iff }\) \({ H \left( \Cone (f) \right) =0. }\)
1.1 \({ p }\) 的像
定义 1.4 (${ K }$-投射) 给定 \({ R }\)-复形 \({ P,M,N }\), 以及弱等价 \({ \pi \colon M \twoheadrightarrow N }\), 若对任意态射 \({ \alpha \colon P \to N }\), \[\begin{align*}\begin{CD} @.M \\ @. @VV\pi V \\ P @>\alpha >>N \end{CD}\end{align*}\] 存在其提升 (lifting) \({ \widetilde{ \alpha } \colon P \to M }\) 使得新图表交换, 则称 \({ P }\) 为 \({ K }\)-投射的 (\({ K }\)-projective).
注意到一个事实: \[\begin{align*} p \colon D(R) \xrightarrow{\sim} K\text{-} \Proj (R) \subseteq K (\Proj R) \end{align*}\]
一些练习.
练习 1.3
\({ \{ P_ \lambda \} }\) 是 \({ K }\)-投射的 \({ \iff }\) \({ \bigoplus P_ \lambda }\) 是 \({ K }\)-投射的
\({ K }\)-投射性在 \({ \Sigma }\) 下封闭
\({ K }\)-投射性在直和下封闭
给定复形的短正合列 \[\begin{align*} 0 \to P' \to P \to P'' \end{align*}\] 若 \({ P' }\) 和 \({ P'' }\) 是 \({ K }\)-投射的, 则 \({ P }\) 也是 \(K\)-投射的. 特别地, 若 \({ P', P, P'' }\) 已经是 \({ R }\)-投射摸, 则其中任意两个是 \({ K }\)-投射的能推出第三个也是 \({ K }\)-投射的.
推论 1.1 若 \({ P }\) 是个有界投射复形, 则 \({ P }\) 为 \({ K }\)-投射的. 其中有界指复形中只有有限多个 \({ P_i \neq 0. }\)
进一步地, 对任意投射复形 \({ P }\) 若满足 \[\begin{align*} P_i = 0 , \quad \forall \, i \ll 0, \end{align*}\] 则 \({ P }\) 还是 \({ K }\)-投射的.