第 1 章 导出范畴

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给定环 ${ R }$ (不要求是交换环), ${ R }$-复形是指一列 ${ R }$-模 $$\begin{align*} M : \quad \cdots \to M_{i+1} \xrightarrow{\partial_{i+1} } M_i \to \cdots \end{align*}$$ 并满足 ${ \partial ^2 = 0 }$.

该复形的第 ${ i }$ 次同调为 ${ H_i (M) : = \myker \partial _i / \myim \partial _{i+1} }$, 定义 $$\begin{align*} H(M) : = \{ H_i (M) \} _{i \in \mathbb{Z} } \end{align*}$$

定义 ${\mathscr{C} (R) }$ 为 ${ R }$-复形的范畴, 任给两个 ${ R }$-复形 ${ M,N }$, 态射 ${ f\colon M \to N }$ 形如 ${ f = \{f_i\}_{i \in \mathbb{Z} } }$ 使得下图交换

$$\begin{CD} \cdots @>>> M_{i+1}@>>> M_i @>>> M_{i-1} @>>> \cdots\\ \vdots @VVf_{i+1}V @VVf_iV @VVf_{i-1}V & \vdots\\ \cdots @>>> N_{i+1}@>>>N_{i} @>>> M_{i-1} @>>> \cdots \end{CD}$$

即 ${ \partial f = f \partial }$. 记 ${ M,N }$ 间态射集为 $$\begin{align*} \Hom_{\mathscr{C}(R)} (M,N). \end{align*}$$

同调函子同样诱导出 ${ f }$ 在同调群上的态射: ${ H(f) \colon H(M) \to H(N) .}$

定义 1.1 (拟同构) 若 ${ H(f) }$ 为双射, 则称 ${ R }$-复形间的态射 ${ f }$ 为拟同构 (quasi-isomorphism), 也称为弱等价 (weak equivalence).

记 ${ W }$ (W 指 weak equivalence) 为 ${ \mathscr{C}(R) }$ 中的弱等价全体 (不一定构成集合). 类似于局部化定义 $$\begin{align*} D(R): = \mathscr{C} (R) [W ^{-1} ] \end{align*}$$

或者 $$\begin{align*} D(R): = W ^{-1} \mathscr{C} (R) \end{align*}$$

显然 ${ W }$ 中不是任意两个映射都能复合. 即使能复合, 可能也不会表现出很好的性质 (?), 所以我们实际上还要求 ${ W }$ 满足六分之二性质 (2-out-of-6 property): 任给 ${ \mathscr{C} (R) }$ 中可复合的三个态射: $$\begin{align*} \bullet \xrightarrow {f} \bullet \xrightarrow {g} \bullet \xrightarrow {h} \bullet , \end{align*}$$ 若 ${ gf, hg \in W }$ 则 ${ f,g,h, hgf \in W }.$

练习 1.1 验证六分之二性质.

下面通过定义同伦范畴来构造导出范畴. $$\begin{align*} \mathscr{C}(R) \leadsto K(R) \leadsto D(R). \end{align*}$$

其中

• ${ K(R) }$ 表示 ${ R }$-模的同伦范畴

• ${ D(R) }$ 表示 ${ R }$-模的导出范畴

• ${ K(R) \leadsto D(R) }$ 为局部化, 也就是使拟同构可逆.

给定两个 ${ R }$-复形, 记 ${ \Hom_{R} (M,N) }$ 为复形之间的一列阿贝尔群同态, 以及 $$\begin{align*} \Hom_{R} (M,N)_n : = \prod_{i \in \mathbb{Z} }\Hom_{R} (M_i, N_{i+n}), \end{align*}$$ 其元素称为 ${ M\to N }$ 的 ${ n }$ 次映射. 此时微分映射为 $$\begin{align*} \partial \colon \Hom_{R} (M,N) _{n+1} &\to \Hom_{R} (M,N)_n \\ f & \mapsto \partial f - (-1)^{n+1} f \partial . \end{align*}$$

练习 1.2 验证 ${ \partial ^2 =0 }$.

注意到 $$\begin{align*} Z_0 \left(\Hom_{R} (M,N) \right) = \Hom_{\mathscr{C} (R)} (M,N). \end{align*}$$

定义 1.2 (链映射同伦, 同伦范畴) 给定 ${ f,g \in \Hom_{\mathscr{C} (R)} (M,N) }$ 若存在 ${ h \in \Hom_{R} (M,N) _1 }$ 使得 $$\begin{align*} f - g = \partial h \in \Hom_{R} (M,N), \end{align*}$$ 则称 ${ f,g }$ 为同伦的 (homotopic).

记 $$\begin{align*} K(R): = \mathscr{C} (R) / \text{同伦关系} , \end{align*}$$ 称之为 ${ R }$-模的同伦范畴 (homotpy category), 其中

i). ${ \Obj (K(R) }$ 为 ${ R }$-复形

ii). ${ \Hom_{K} (M,N) = H_0 \left( \Hom_{R} (M,N) \right) }$

在 ${ \mathscr{C} (R) }$ 中, 若 ${ f,g }$ 同伦, 则 ${ H(f) = H(g) }$

在 ${ K(R) }$ 中, 若 ${ f,g }$ 同伦, 则 ${ f=g. }$

定义 1.3 (纬悬) 给定 ${ R }$-复形 ${ M }$, 其纬悬 (suspension) ${ \Sigma M }$ 是指 ${ R }$-复形 $$\begin{align*} \left(\Sigma M \right)_{i} = M_{i-1}. \end{align*}$$

从而 ${ \partial ^{\Sigma M} = - \partial ^{M} }.$

记 ${ \Proj R }$ 为投射 ${ R }$-模全体, 记 ${ q\colon K(R) \to D(R) }$ 为前面提到的局部化函子. 一方面我们有 ${ K(\Proj R) \subseteq K (R),}$ 所以自然地有 ${ K(\Proj R) \to D(R) }$; 另一方面, 我们也有反向的箭头: $$\begin{align*} p \colon D(R) \to K \left(\Proj R \right) \end{align*}$$ 实际上这还是个全忠实的嵌入 (full and faithful embedding), 而且 ${ p }$ 左伴随于 ${ q }$: $$\begin{align*} \Hom_{K} (pM, N) \cong \Hom_{D} (M,qN) \end{align*}$$

在 ${ \Proj R }$ 上工作可行性高很多, 因为有投射分解 (projective resolution).

给定复形态射 ${ f\colon M \to N }$,, 定义其映射锥 (mapping cone) 为 $$\begin{align*} \Cone (f): = N \oplus \Sigma M \end{align*}$$ 并带有微分映射 $$\begin{align*} \begin{bmatrix} \partial ^n & \pm f \\ 0 & -\partial ^M \end{bmatrix} \colon \begin{CD} N_{i+1}\\ \oplus \\ \quad \left(\Sigma M \right)_{i+1} \end{CD} \longrightarrow \begin{CD} N_{i}\\ \oplus \\ \quad \left(\Sigma M \right)_{i} \end{CD} \end{align*}$$

此时我们有正合列 $$\begin{align*} 0 \to N \hookrightarrow \Cone (f) \to \Sigma M \to 0 \end{align*}$$ 从而 ${ f }$ 为弱等价 ${ \iff }$ ${ H \left( \Cone (f) \right) =0. }$

1.1 ${ p }$ 的像

定义 1.4 (${ K }$-投射) 给定 ${ R }$-复形 ${ P,M,N }$, 以及弱等价 ${ \pi \colon M \twoheadrightarrow N }$, 若对任意态射 ${ \alpha \colon P \to N }$, $$\begin{align*}\begin{CD} @.M \\ @. @VV\pi V \\ P @>\alpha >>N \end{CD}\end{align*}$$ 存在其提升 (lifting) ${ \widetilde{ \alpha } \colon P \to M }$ 使得新图表交换, 则称 ${ P }$ 为 ${ K }$-投射的 (${ K }$-projective).

注意到一个事实: $$\begin{align*} p \colon D(R) \xrightarrow{\sim} K\text{-} \Proj (R) \subseteq K (\Proj R) \end{align*}$$

一些练习.

练习 1.3

1. ${ \{ P_ \lambda \} }$ 是 ${ K }$-投射的 ${ \iff }$ ${ \bigoplus P_ \lambda }$ 是 ${ K }$-投射的

2. ${ K }$-投射性在 ${ \Sigma }$ 下封闭

3. ${ K }$-投射性在直和下封闭

4. 给定复形的短正合列 $$\begin{align*} 0 \to P' \to P \to P'' \end{align*}$$ 若 ${ P' }$ 和 ${ P'' }$ 是 ${ K }$-投射的, 则 ${ P }$ 也是 $K$-投射的. 特别地, 若 ${ P', P, P'' }$ 已经是 ${ R }$-投射摸, 则其中任意两个是 ${ K }$-投射的能推出第三个也是 ${ K }$-投射的.

推论 1.1
若 ${ P }$ 是个有界投射复形, 则 ${ P }$ 为 ${ K }$-投射的. 其中有界指复形中只有有限多个 ${ P_i \neq 0. }$

进一步地, 对任意投射复形 ${ P }$ 若满足 $$\begin{align*} P_i = 0 , \quad \forall \, i \ll 0, \end{align*}$$ 则 ${ P }$ 还是 ${ K }$-投射的.