Capítulo 4 Teste de hipóteses

4.1 Distribuição normal

$Função densidade de probabilidade da distribuição gaussiana (distribuição normal): $X \sim N(\mu,\sigma^2)$.$

Figura 1.1: Função densidade de probabilidade da distribuição gaussiana (distribuição normal): $X \sim N(\mu,\sigma^2)$.

$Várias funções densidade de probabilidade da distribuição distribuição normal: Em $\mu=0$ e $\sigma^2=1$ (curva vermelha) temos a distribuição normal padrão $X \sim N(0,1)$$

Figura 2.1: Várias funções densidade de probabilidade da distribuição distribuição normal: Em $\mu=0$ e $\sigma^2=1$ (curva vermelha) temos a distribuição normal padrão $X \sim N(0,1)$

\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\]

Onde: $\mu$ = média, $\sigma$ = desvio padrão.

Exemplos:

Curva normal [https://www.geogebra.org/m/muusbweq].
Curva normal 2 [https://www.geogebra.org/m/whcwmx4w].

Propriedades:

O ponto máximo de $f(x)$ está em $\mu$.
Os pontos de inflexão da função são: $X = \mu + \sigma$ e $X = \mu - \sigma$ (desvio-padrão).
A curva é simétrica em relação a $\mu$.
$E(X) = \mu$ e $Var(X) = \sigma^2$.
A área compreendida pela curva nesse intervalo é exatamente igual a 1, valor que, em estatística, corresponde a 100% de probabilidade.

4.2 Teorema do limite central

Materiais de apoio (clique para acessar):
- Rice Virtual Lab in Statistics: Sampling Distributions (em inglês).
- Applet Central (em inglês).
- Distribuição normal (em inglês).
- Calculadora da distribuição normal.
- Geogebra:
  - Central Limit Theorem (reproduced from Adam Knowles).
  - Distribuição Normal(0,1).

Quando o tamanho n da amostra aumenta, a distribuição amostral da sua média aproxima-se cada vez mais de uma distribuição normal.

Comparação das funções densidade de probabilidade, $p(k)$, para a soma de $n$ pares de dados de seis faces mostrando a convergência para uma distribuição normal quando se aumenta $n$ em acordo com o teorema do limite central. No gráfico abaixo a direita os perfis suaves estão reescalados e superpostos e comparados a uma distribuição normal (curva preta). Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

Figura 1.2: Comparação das funções densidade de probabilidade, $p(k)$, para a soma de $n$ pares de dados de seis faces mostrando a convergência para uma distribuição normal quando se aumenta $n$ em acordo com o teorema do limite central. No gráfico abaixo a direita os perfis suaves estão reescalados e superpostos e comparados a uma distribuição normal (curva preta). Fonte: https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution

Teorema do limite central:

Se $\bar{x}$ é a média de uma amostra aleatória de tamanho $n$ de uma população infinita com a média $\mu$ e desvio-padrão $\sigma$ e se $n$ é grande, então $z$ é uma nova variável aleatória dada por

\[ z=\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} \tag{4.1}\]

que tem uma nova distribuição normal padrão dada por $Z \sim N(\mu=0,\sigma^2 = 1)$, isto é, $Z \sim N(0,1)$.

Onde: $\sigma_{\bar{x}}=\sigma/\sqrt{n}$ na igualdade (4.1).

Em particular é importante lembrar que:

Para população infinita: $\sigma_\bar{x} = \frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{n}}$
Para população finita: $\sigma_\bar{x} = \frac{\sigma_{pop}}{\sqrt{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{n-1}}$, onde $N$ é o tamanho da população.

4.3 Teste de hipóteses

Uma hipótese estatística é uma afirmação ou conjectura sobre um parâmetro, ou parâmetros, de uma população (ou populações). Pode também se referir ao tipo, ou natureza, da população (ou populações).

Procedimentos gerais para um teste de hipótese:
1. Definir a hipótese nula ($H_0$) e a alternativa ($H_A$).
2. Definir um nível de significância $\alpha$, que irá determinar o nível de confiança $100 \times (1−\alpha)%$ do teste.
3. Definir o tipo de teste, com base na hipótese alternativa.
4. Calcular a estatística de teste, com base na distribuição amostral do estimador do parâmetro sob teste → valor calculado.
5. Determinar a região crítica (região de rejeição), com base no nível de significância $\alpha$ → valor crítico.
6. Concluir o teste.

4.3.1 Hipótese nula ($H_0$) × hipótese alternativa ($H_A$)

A hipótese nula ($H_0$) é a alegação inicial assumida como verdadeira. A hipótese alternativa representado por $H_A$ é a afirmação contraditória.
A hipótese nula será rejeitada em favor da hipótese alternativa somente se a evidência da amostra sugerir que $H_0$ seja falsa.
Se a amostra não contradizer fortemente $H_0$, continuaremos a acreditar na verdade da hipótese nula.
As duas conclusões possíveis de uma análise do teste de hipóteses são rejeitar $H_0$ ou não rejeitar $H_0$.

Exemplo: Em um estudo sobre a proporção de homens e mulheres de uma mesma população, deseja-se testar a hipótese de que a proporção de mulheres é maior do que a proporção de homens. Clique aqui para baixar o arquivo (nesse arquivo vamos considerar $1$ como mulher, mas depende de como o dado foi coletado pelo pesquisador).

Definir a hipótese nula ($H_0$) e a alternativa ($H_A$).

Resolução: Supõe-se inicialmente que a população de mulheres é de 50 %, ou seja, $H_0$ é tal que a proporção $p_M = 0,5$. Então as hipóteses são:

$H_0: p_M = 0,5$ × $H_A: p_M > 0,5$

Com isso, deseja-se que a hipótese nula $p_M = 0,5$ seja rejeitada, de modo que a hipótese alternativa $p_M > 0,5$ seja apoiada.

Apoiar a hipótese alternativa de que $p_M > 0,5$ é o mesmo que apoiar a afirmativa de que a proporção de mulheres na população é maior do que a de homens.

Nível de significância: erros de decisão.

Figura 1.3: Erros de decisão no teste de hipóteses.

$\alpha$ = Pr(erro tipo I) = Pr(rejeitar $H_0$ | $H_0$ verdadeira) (leia-se: probabilidade de rejeitar $H_0$, sendo $H_0$ verdadeira).
$\beta$ = Pr(erro tipo II) = Pr(não rejeitar $H_0$ | $H_0$ falsa).
$\alpha$ é o nível de significância do teste.
$1-\alpha$ é o nível de confiança do teste.

No exemplo anterior, se $H_0$: $p_M$ = 0,5 e $H_A$: $p_M$ > 0,5, então:

$\alpha$ = Pr(concluir que a proporção de mulheres é maior quando na verdade não é).
$\beta$ = Pr(concluir que a proporção é igual quando na verdade não é).

Definir o tipo de teste, com base na hipótese alternativa:

A hipótese alternativa determinará o sentido do teste de hipótese, que pode ser:

Figura 1.4: Diferentes testes para a hipótese alternativa.

3.1 Teste bilateral:

Uma hipótese do tipo:

$H_0: \Theta = \Theta_0$

$H_A: \Theta \ne \Theta_0$

É bilateral.

Figura 2.2: Teste bilateral com as regiões de rejeição e de não rejeição da $H_0$.

3.2 Teste unilaterais:

Uma hipótese do tipo:

$H_0: \Theta = \Theta_0$

$H_0: \Theta < \Theta_0$

É unilateral à esquerda.

Figura 1.5: Teste unilateral a esquerda com as regiões de rejeição e de não rejeição da $H_0$.

Uma hipótese do tipo:

$H_0: \Theta = \Theta_0$

$H_0: \Theta > \Theta_0$

É unilateral à direita.

Figura 1.6: Teste unilateral a direita com as regiões de rejeição e de não rejeição da $H_0$.

Calcular a estatística de teste para a proporção:

Pode se demonstrar (Morettin, 2010¹) que a distribuição para proporções de $p$ sucessos pode ser defininida como uma variável aleatória da seguinte forma:

Seja $p$ conhecida A população pode ser definida como uma variável $X$ tal que:

\[ X= \begin{cases} 1 & \text{se o elemento da população tem a característica}\\ 0 & \text{se o ele1nento da população não tem a característica} \end{cases} \]

e $Pr(X=1)=p$, $P(X=0)=1-p$.

Foi demonstrado² que: $\mu=E(X)=p$ e $\sigma^2=Var(X)=p(1-p)$.

Retira-se uma grande amostra³ ($n \rightarrow \infty$) $x_1$, $x_2$, $...$, dessa população, com reposição e define-se $x$ como o número de sucessos na amostra, isto é, o número de elementos da amostra com a característica que se quer estudar.

O estimador de $p$ é definido por $\hat{p}=\frac{x}{n}$: proporção de sucessos na amostra.

$X: B(n,p)$, $E(X) = np$ e $Var(X) = np(1-p)$.

Calculando esperança e variância de $p$:

$E(\hat{p})=E(\frac{x}{n})=\frac{1}{n}E(x)=\frac{1}{n} np = p$ $\therefore \mu_p = E(\hat{p})=p$.

$Var(\hat{p})=Var(\frac{x}{n})=\frac{1}{n^2}Var(x)=\frac{1}{n^2}np(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}$ $\therefore \sigma_p=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

Portanto a variável normalizada $z$ para proporção será:

\[ z=\frac{\bar{x} - \mu}{\sigma} = \frac{E(x) - \mu}{\sigma_p} = \frac{p-p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}\]

Determinar a região crítica (região de rejeição), com base no nível de significância $\alpha$ → valor crítico

Estabelecer um valor crítico que divide a região de rejeição da região de não rejeição da hipótese nula.
A região crítica de um teste de hipótese é a região de rejeição da hipótese nula.

Concluir o teste. Com base na estatística do teste e do valor crítico:

Se a estatística estiver dentro da região crítica rejeita-se $H_0$.
Se a estatística estiver fora da região crítica não se rejeita $H_0$.

No R:

Temos duas funções que podem executar o teste de hipóteses: prop.test() (que usa a distribuição normal para o cálculo da probabilidade e que faz uso da correção de continuidade de Yates) e binom.test() (que é o teste exato para uma distribuição binomial).

O uso da distribuição Normal (distribuição contínua) em vez da distribuição Binomial (distribuição discreta) usa a correção de continuidade que tem por objetivo tornar as probabilidades calculadas pelo modelo Normal mais próximas daquelas obtidas usando o modelo Binomial⁴.

mulheres_homens=read.csv("mulheres-homens.csv")
table(mulheres_homens$resposta) # proporção de 1's e 0's.
#> 
#>  0  1 
#> 38 62
prop.test(x=62,n=100,alternative = "greater",correct = T)
#> 
#>  1-sample proportions test with continuity correction
#> 
#> data:  62 out of 100, null probability 0.5
#> X-squared = 5.29, df = 1, p-value = 0.01072
#> alternative hypothesis: true p is greater than 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.5329359 1.0000000
#> sample estimates:
#>    p 
#> 0.62
binom.test(x=62,n=100,p=0.5,alternative = "greater")
#> 
#>  Exact binomial test
#> 
#> data:  62 and 100
#> number of successes = 62, number of trials = 100,
#> p-value = 0.01049
#> alternative hypothesis: true probability of success is greater than 0.5
#> 95 percent confidence interval:
#>  0.5332465 1.0000000
#> sample estimates:
#> probability of success 
#>                   0.62

3 Estatísticas descritivas

References

Curso de Estatística com R Project

Capítulo 4 Teste de hipóteses

4.1 Distribuição normal

4.2 Teorema do limite central

4.3 Teste de hipóteses

4.3.1 Hipótese nula (\(H_0\)) × hipótese alternativa (\(H_A\))