TEMA 3: Ampliación del cálculo diferencial: funciones compuestas y funciones homogéneas
Clase 1: la composición de funciones y la regla de la cadena
Las funciones compuestas surgen debido a las dependencias que pueden existir entre las variables de un modelo matemático. Por ejemplo, en la ecuación (1.6) diremos que la variable \(y\) depende de la variable \(x\) pero, a su vez, la variable \(x\) depende de la variable \(t:\)
\[\begin{equation} y=f(x)\;\;x=g(t) \tag{1.6} \end{equation}\]
De este modo, podríamos decir igualmente-si nos interesa especialmente dicho análisis- que la variable \(y\) depende de la variable \(t\). Para escribir esto, ya que que la relación entre \(x\) e \(y\) viene dada por \(f\) y la relación entre \(x\) y \(t\) viene dada por \(g\), diremos que \(f\) es una función compuesta por la \(g\). lo resumimos así: \(f\circ g\), o también:
\[ y=f(g(t)). \]
De hecho, otra manera de escribirlo, de acuerdo con la figura FIG 1, es mediante una función \(F\) (por ejemplo) de tal forma que:
\[ y=F(t). \]
FIG1. La idea de la relación entre las funciones
¿Cómo se analiza el cambio de \(y\) cuando se modifica \(t\)? Gráficamente, se puede ver en la FIG 1 que: si se cambia \(t\), ese cambio afecta a la \(x\) y la \(x\) afecta a la \(y\).
Ahora bien, si nuestra pregunta consiste en analizar cómo operar para ver cómo cambia la \(y\) ante un cambio en \(t\), vamos a pensar la respuesta utilizando la idea de la diferencial. Sabemos que
\[ \triangle y=f'(x)\triangle x+\epsilon\triangle x \]
(y sabemos que \(\epsilon \rightarrow 0\) cuando \(\triangle x \rightarrow 0\)) Como queremos analizar cuánto cambia la \(y\) ante cambios “marginales” en \(t\), dividimos en ambos miembros por \(\triangle t\)
\[ \frac{\triangle y}{\triangle t}=f'(x)\frac{\triangle x}{\triangle t}+\frac{\epsilon\triangle x }{\triangle t} \]
Nota que si \(\triangle t\rightarrow 0\), entonces, usando la definición de derivada, tenemos
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f'(x)\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\triangle x}{\triangle t}+\lim_{\triangle t\rightarrow0}\frac{\epsilon \triangle x}{\triangle t} \]
que nos lleva, finalmente, a la expresión, dado que \(\epsilon \rightarrow 0\)
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+0\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \]
Y esta es la regla que ya conoces en funciones de una variable:
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \]
Por ejemplo, tienes que \(f(x)=\ln\left(x\right)\) y \(x=g(t)=3t^{2}+2\) entonces, al componerlas, obtienes \[ y=\ln\left(3t^{2}+2\right). \] Por lo que \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f'(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \], es decir \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{x} 6t\) pero \(x=3t^{2}+2\), por lo que \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{3t^{2}+2}6t \]
que es la regla de derivación del logaritmo neperiano de una función compuesta, como has estudiado en bachillerato. Ahora es el momento de analizar algunos casos para funciones de \(n\) variables. Por simplicidad, aquí lo haremos para el caso de \(n=2\).
caso 1:composición del tipo \(z=F(t)\)
En este caso, tenemos una función de dos variables, tal que, por ejemplo, \(z=f(x,y)\) pero, a su vez, \(x=g(t)\) y \(y=h(t)\). A través de \(x,y\) podemos ver cómo un cambio en \(t\) modifica el valor de \(z\). Es decir, la composición actúa como \(z=F(t)\) (mira, para ello, la FIG 2). Ahora nos interesa queremos calcular la derivada \(F'(t)\) (o \(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t},...)\) con el objeto de analizar cuánto cambia la variable \(z\) ante un incremento marginal de la variable \(t\). Es muy importante que veas que, como la composición resulta en una función sólo de \(t\), la simbología de la derivada es distinta. Esta no es parcial, ya que es una función finalmente de una variable, y se ha de usar la \(\mathrm{d}\) romana.
Este primer ejemplo, podemos verlo en la siguiente gráfica:
FIG2. La función compuesta \(z=F(t)\) a través de las funciones que intervienen en su composición
Como ves, la variable \(t\), al incrementarse, afecta tanto a \(x\) como a \(y\). Una vez estas dos variables cambian, se traduce en un cambio de la variable \(z\). Si te das cuenta, aquí podemos usar la expresión de la aproximación que hemos visto anteriormente en los temas anteriores
\[ \triangle z=\frac{\partial f}{\partial x}\triangle x+\frac{\partial f}{\partial y}\triangle y+\epsilon_{1}\triangle x+\epsilon_{2}\triangle y \]
Recuerda que \(\epsilon_{1},\epsilon_{2}\) son dos errores que, a su vez, dependen de los valores de \(x,y\) y de las distancias relativas al punto inicial. Además, sabemos que convergen a \(0\) cuando \(\triangle x,\triangle y\rightarrow0\). Si dividimos por \(\triangle t\) toda la expresión:
\[ \frac{\triangle z}{\triangle t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\triangle x}{\triangle t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\triangle y}{\triangle t}+\epsilon_{1}\frac{\triangle x}{\triangle t}+\epsilon_{2}\frac{\triangle y}{\triangle t} \]
Si aplicamos \(\triangle t\rightarrow0\), estaremos definiendo la derivada y, a su vez, sabemos que que \(\epsilon_{1}\frac{\triangle x}{\triangle t}+\epsilon_{2}\frac{\triangle y}{\triangle t}\rightarrow0\). Por ello, en el límite
\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=f'_{x}g'+f'_{y}h' \] o, de igual manera,
\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \]
Además, estas composiciones pueden evaluarse en cualquier punto necesario. En este caso, por ejemplo, dada la estructura de la composición, sólo necesito \(t_{0}\). Con ese valor obtengo \(x_{0}=g(t_{0})\) y, además, \(y_{0}=h(t_{0})\). Entonces, la regla de la cadena, me queda:
\[ \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}(t_{0}) \]
De hecho, si miramos el esquema anterior y el resultado de la derivada, podemos -intuitivamente- entender que, una vez tenemos el esquema de dependencias de las funciones que intervienen en la composición, entonces (FIG 3)
FIG3. La función compuesta \(z=F(t)\) a través de las funciones que intervienen en su composición
podemos ver que, si vamos en la misma rama, realizamos el producto de las derivadas (teniendo en cuenta si estas son parciales o no). Cuando saltamos de rama, estas se suman.
caso 2:composición \(z=F(t,s)\)
En este caso, tenemos una función donde \(z=f(x,y)\) pero, a su vez, \(x=g(t,s)\) y \(y=g(t,s)\). A través de \(x,y\) podemos ver cómo un cambio en \(t\) o en \(s\) modifica el valor \(z\). Es decir, la composición actúa como \(z=F(t,s).\) Ahora, por tanto, queremos calcular las derivadas parciales \(F_{t}'(t,s)\) o \(F_{s}'(t,s)\) o también \(\frac{\mathrm{\partial}z}{\mathrm{\partial}t},\frac{\mathrm{\partial}z}{\mathrm{\partial}s}\). Fíjate que ahora cambiamos la derivada por la parcial, puesto que la función \(F\) depende de dos argumentos.
OJO!
No poner adecuadamente si es una derivada parcial o total equivale a una falta ortográfica.
Este primer ejemplo, podemos verlo en la siguiente gráfica de la FIG 4
FIG4. La función compuesta \(z=F(t,s)\) a través de las funciones que intervienen en su composición
En este caso, podríamos volver a verlo paso a paso pero, para abreviar, escribimos cómo serán las derivadas parciales de la función compuesta usando la regla de la cadena:
\[ \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial t} \]
\[ \frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial h}{\partial s} \]
Además, podemos obtener el valor del incremento de la función en unos puntos dados. En este caso, necesitaremos conocer \(t_{0},s_{0}\). De esta manera, tendremos \(x_{0}=g(t_{0},s_{0})\) y \(y_{0}=g(t_{0},s_{0})\). Así, mediante las anteriores derivadas, evaluadas en el punto correspondiente:
\[ \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\frac{\partial g}{\partial t}(t_{0},s_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\frac{\partial h}{\partial t}(t_{0},s_{0}) \]
\[ \frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\frac{\partial g}{\partial s}(t_{0},s_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\frac{\partial h}{\partial s}(t_{0},s_{0}) \]
En la FIG 5 puedes ver de nuevo cómo el esquema de dependencias, una vez dibujado, nos ayuda a dilucidar cómo obtener la derivada de la composición de las funciones a través de la regla de la cadena
FIG5. La función compuesta \(z=F(t,s)\) a través de las funciones que intervienen en su composición
De hecho, podemos obtener el gradiente de la función \(F\), es decir:
\(\nabla F(t,s)=[\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\frac{\partial g}{\partial t}(t_{0},s_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\frac{\partial h}{\partial t}(t_{0},s_{0}), \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\frac{\partial g}{\partial s}(t_{0},s_{0})+\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\frac{\partial h}{\partial s}(t_{0},s_{0})]\)
Utilizando la composición de funciones, también podemos aplicar los conocimientos del tema anterior. Por ejemplo, si con la función del caso 2 queremos saber cuál es el cambio aproximado en \(z\) si incrementamos \(t\), podemos utilizar:
\[ \triangle z\simeq\frac{\partial z}{\partial t}\triangle t \]
de la misma forma, si pretendemos calcular el incremento aproximado en \(z\) si aumentamos simultáneamente \(t\) y \(s\), tendremos
\[ \triangle z\simeq\frac{\partial z}{\partial t}\triangle t+\frac{\partial z}{\partial s}\triangle s, \]
y con ello responder, de la misma forma, a las preguntas típicas:
1 Dirección de la función compuesta de máximo incremento/decremento o de crecimiento nulo
2 Aproximación lineal/cuadrática
3 Elasticidad, etc…
Clase 2: derivada de funciones implícitas
A menudo, estamos acostumbrados a tener las funciones de tal forma
que la variable dependiente está a la izquierda del igual y la independiente
a la derecha. Esta manera de escribir las funciones se llama <
\[ y=f(x) \]
Cualquier función del estilo \(y=8x^{1/2}\), \(y=3/x+2\), etc… es
una función escrita de forma explícita. Sin embargo, podemos
escribir estas mismas funciones de forma <
\[\begin{equation} y-8x^{1/2}=0\tag{1.7} \end{equation}\]
\[\begin{equation} y-3/x=2 \end{equation}\]
Por otro lado, hay funciones que no pueden escribirse de forma <
\[\begin{equation} x-2xy+3y^{2}=4\tag{1.8} \end{equation}\]
¿podrías despejar la \(y\) en función de la \(x?\)? Imposible.
Vamos ahora a trabajar con funciones implícitas de dos variables. Como ya has visto, adoptan esta forma:
\[ F(x,y)=C \]
donde, en el caso de la ecuación (1.7), \(F(x,y)=y-8x^{1/2}\) y \(C=0.\) En el caso de (1.8), \(F(x,y)=x-2xy+3y^{2},C=4.\)
Seguro que te habrás dado cuenta de que una curva de nivel es una función implícita (vuelve, si no, a la definción de curva de nivel de estos apuntes). Entonces, lo que vamos a ver ahora es cómo una aplicación de la regla de la cadena, te ayudará a obtener la pendiente de una curva de nivel en un punto \((x_{0},y_{0})\) asociado a esa curva de nivel. ¿Será posible? Vamos a ver que, con la regla de la cadena, somos capaces de obtener esa derivada aún cuando no podamos disponer de la forma explícita de la función. Este método se conoce como el teorema de la función implícita (para dos variables).
1 Existe una función \(y=f(x)\) aunque no seamos capaces de escribirla de nmanera explícita
2 Esa función \(f\) es diferenciable en un entorno del abierto del punto \((x_{0},y_{0})\)
Si esto es así, la curva de nivel podemos escribirla como
\[ F(x,f(x))=C \]
De esta forma, estamos obteniendo una nueva función (la podemos llamar \(h(x)\)) que consiste en realizar una composición:
\[ h(x)\equiv F(x,f(x)) \]
FIG6. Esquema de dependencias de nuestra curva de nivel \(F(x,y)=C\)
Siguiendo el gráfico de dependencias anterior, tendremos la siguiente derivada
\[ \frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \]
Ahora nos queda darnos cuenta de que hemos derivado la parte izquierda de la ecuación. Nos queda derivar la parte derecha. Si
\[ h(x)\equiv F(x,f(x))=C \]
entonces
\[ h'(x)\equiv C'=0 \]
con lo que
\[ 0=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \]
y despejando
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}} \]
Si te das cuenta, somos capaces de obtener la pendiente (en este caso de una curva de nivel) aún sin conocer la función \(f\) de forma explícita. Para ser más precisos, nos circunscribimos a un entorno abierto del punto \(\left(x_{0},y_{0}\right)\) donde la derivada parcial \(\frac{\partial F}{\partial y}\neq0\). Si esto es así, diremos que satisfacemos la condición suficiente para obtener la derivada de la función implícita en el entorno:
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x_{0})=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}\left(x_{0},y_{0}\right)}{\frac{\partial F}{\partial y}\left(x_{0},y_{0}\right)} \]
Clase 3: Funciones Homogéneas
A continuación vamos a definir un concepto que tiene mucho interés en Economía. Decimos que una función \(f(x,y)\) es homogénea de grado \(k\in\mathbb{R}\) si
\[ f(tx,ty)=t^{k}f(x,y) \]
Es decir:
1 Tengo una función \(f(x,y)\), tal que \(f:D\rightarrow\mathbb{R}\) con inputs \((x,y)\in D\)
2 Esa función \(f\) es diferenciable en un entorno abierto del punto \((x_{0},y_{0})\)
3 Modifico tanto la \(x\) como la \(y\) en la misma proporción (es decir, las multiplico por el mismo número \(t\), que representará un incremento porcentual (ej: si \(t=1.1\), eso quiere decir que se incrementa un 10%))
4 Tengo, por tanto, nuevos inputs para mi función \(tx,ty\)\(\in D\)
Tal y como hemos dicho, si la función es homogénea de grado \(k\), entonces:
concepto de homogeneidad!
Podré predecir exactamente el valor de la función \(f(tx,ty)\). Dado el grado de homogeneidad, \(k\), tendremos que multiplicar el valor de la función en \(x,y\) por \(t^{k}\).
¿es eso siempre posible? Pues no. Sólo si la función es homogénea. Por ejemplo, si \(f(x,y)=2x^{2}y\), la función vale en \(f(2,3)=24.\) Si modifico los inputs (por ejemplo, los multiplico por 4) ¿cuánto valdrá \(f(8,12)\)? Con la función en la mano, sabemos que \(f(8,12)=1536.\) Ahora bien, ¿podemos usar el anterior resultado teórico?. Debemos asegurarnos si la función es homogénea. Una manera sencilla de hacerlo es la siguiente:
PASO 1: \(\rightarrow\) Evalúo en la nueva función \(f(tx,ty)\) PASO 2: \(\rightarrow\) Donde antes ponía \(x\), ahora tengo \(tx\) (igual para la y). Entonces, \(f(tx,ty)=2(tx)^{2}ty\). Hazlo con cuidado: no necesitas nada más que conocer leyes básicas PASO 3: \(\rightarrow\) Será homogénea si soy capaz de separar la función de tal forma que tenga algo así \[ f(tx,ty)=t^{k}f(x,y) \]
En este caso, si operas, obtienes \(2t^{2}x^{2}ty=t^{3}2x^{2}y\). Es decir, obtenemos algo de esta forma: \(f(tx,ty)=t^{3}2x^{2}y=t^{3}f(x,y).\) Por lo tanto, tenemos una función homogénea de grado 3. Eso quiere decir que, si multiplico ambos inputs por \(4\), puedo saber que la nueva función será la original multiplicada por \(t^{3}\), esto es \(f(4x,4y)=4^{3}f(x,y)\).
El teorema de Euler
Un resultado muy práctico y útil es el que nos proporciona el Teorema de Euler. Vamos a derivarlo utilizando la regla de la cadena. Llamaremos \(x^{*}=tx\) , \(y^{*}=ty\). Según la definición de homogeneidad:
\[ f(x^{*},y^{*})=t^{k}f(x,y) \]
Ahora vamos a derivar con respecto a \(t\). Usando la regla de la cadena:
\[ \frac{\partial f}{\partial x^{*}}(x^{*},y^{*})\frac{\mathrm{d}x^{*}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y^{*}}(x^{*},y^{*})\frac{\mathrm{d}y^{*}}{\mathrm{d}t}=kt^{k-1}f(x,y) \]
trabajamos un poco:
\[ \frac{\partial f}{\partial x^{*}}(x^{*},y^{*})x+\frac{\partial f}{\partial y^{*}}(x^{*},y^{*})y=kt^{k-1}f(x,y) \]
Ahora bien, como esta ecuación vale para cualquier valor de \(t\), vamos a elegir uno que sea cómodo, por ejemplo, \(t=1\). Sustituyendo, tenemos que \(x^{*}=x\) , \(y^{*}=y\). Entonces, en (1.9), que es el Teorema de Euler para funciones homogéneas tenemos que:
Teorema de Euler
si una función \(C^{1}\) es homogénea de grado \(k\), entonces se cumple
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)x+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)y=kf(x,y) \tag{1.9} \]
¿Qué ocurre con las elasticidades parciales? Fíjate, si dividimos la expresión anterior por la función \(f(x,y)\)
\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\frac{x}{f(x,y)}+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\frac{y}{f(x,y)}=k \]
Obtenemos que \[ \varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}=k \]
Es decir, la suma de las elasticidades de funciones homogéneas de grado \(k\) es, exactamente \(k\).
¿cuál es el grado de homogeneidad de una derivada parcial?
Podemos plantearnos también esta cuestión. Para verlo, partimos otra vez de la definición inicial y derivamos con respecto a \(x\) (se hace de manera análoga con \(y\))
\[ f(x^{*},y^{*})=t^{k}f(x,y) \]
derivamos con respecto a \(x\) en ambos lados:
\[ \frac{\partial f}{\partial x^{*}}(x^{*},y^{*})\frac{\mathrm{d}x^{*}}{\mathrm{d}x}=t^{k}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \]
operando, tenemos que
\[ \frac{\partial f}{\partial x^{*}}(x^{*},y^{*})t=t^{k}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \]
dividiendo por \(t\)
\[ \frac{\partial f}{\partial x^{*}}(x^{*},y^{*})=\frac{t^{k}}{t}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \]
Es decir, la derivada parcial de una función homogénea de grado \(k\) es de grado de homogeneidad \(k-1\)
\[ \frac{\partial f}{\partial x^{*}}(x^{*},y^{*})=t^{k-1}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) \]