Chapter 6 Black-Scholes-Merton 미분방정식

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일반 미적분학에서 이변수 함수 $f(x,y)$의 전미분 (total differentiation)은 $$\begin{equation}\label{totaldiff} df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \end{equation}$$ 으로 표현된다. 식 () 의미는 특정한 점 $(x_0, y_0)$ 부근에서의 함수값 $f$의 작은 변화량, $\Delta f = f(x,y) - f(x_0, y_0)$는 이 함수의 $x$축 방향으로의 $f$의 변화량과 $y$축 방향으로의 $f$의 변화량의 합으로 근사화 될 수 있다는 것이다. 여기서, $x$ 축 방향으로의 $f$의 변화량은 $x$에 대한 편미분 $\partial f / \partial x$과 $\Delta x = (x-x_0)$의 곱으로 나타내고, $y$ 축 방향으로의 $f$의 변화량은 $y$ 대한 편미분 $\partial f / \partial y$과 $\Delta y = (y-y_0)$의 곱으로 표현된다. \ \ 이를 테일러 전개 (Taylor expansion)의 관점에서 생각해 보기로 하자. 미분가능한 임의의 함수 $f(x,y)$를 이차항까지 Taylor 전개하면, $$\begin{eqnarray}\label{Taylor} \Delta f &=& \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \\ &+& \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \, (\Delta x)^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \,(\Delta y)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \, (\Delta x)(\Delta y) + \cdots \nonumber \end{eqnarray}$$ 이 된다. 식 ()에 $\Delta x$와 $\Delta y$를 점점 작게하여 0에 가깝게 만들면 만들수록 $\Delta x$ 의 1승 보다 높은 차수를 갖는 항, 즉 $(\Delta x)^2$, $(\Delta x)^3$등의 항은 더욱 빠른 속도로 0으로 수렴하게 된다. 이는 $\Delta y$에 대하여서도 마찬가지이고, 교차항인 $(\Delta x)(\Delta y)$에 대하여서도 마찬가지이다. \ \ 이는 0.1을 제곱하면, 0.01이 되어 원래의 숫자보다 더욱 작은 숫자가 되는 것으로 이해하여 직관적으로 받아들일 수도 있고, 또는 수학적으로 증명을 할 수도 있다. 따라서 식 ()로부터 $\Delta x$와 $\Delta y$를 점점 작게하여 0에 가깝게 만들면 식 ()이 됨을 알 수 있다. \ \ 이제 우리에게 주어진 이변수 함수를 $f(W_t, t)$라고 가정하여 보자. 여기서 $t$는 앞선 $x$나 $y$처럼 보통의 변수로서 시간을 의미하는 변수이지만, $W_t$는 브라운 운동을 나타내는 확률변수이다. 이러한 경우 $f(W_t, t)$의 미분을 식()와 같은 형식으로 쓸 수 있을까? 결론부터 이야기하면 "No이다. \ \ 그 이유를 이해하기 위해서 다시 테일러 전개 (Taylor expansion)로 되돌아가 보자. 식 ()를 우리에게 주어진 $f(W_t, t)$에 적용하면 $$\begin{eqnarray}\label{Taylor2} \Delta f &=& \frac{\partial f}{\partial W_t} \Delta W_t + \frac{\partial f}{\partial t} \Delta t \\ &+& \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2} \, (\Delta W_t)^2 + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} \,(\Delta t)^2 + \frac{\partial^2 f}{\partial W_t \partial y} \, (\Delta W_t)(\Delta t) + \cdots \nonumber \end{eqnarray}$$ 이 된다. 식()에서 2차 이상의 항과 교차항이 모두 없어질 수 있었던 이유는 $\Delta x$와 $\Delta y$를 점점 작게하여 0에 가깝게 만들수록 이차 이상의 항과 교차항이 모두 더 빠른 속도로 0으로 가기 때문이었다. 그러나 식()에서는 $(\Delta t)^2$항에 대하여서는 같은 논리를 적용할 수 있으나, $(\Delta W_t)^2$에는 같은 논리를 적용할 수 없다. \ \ 식()의 $(\Delta W_t)^2$는 브라운 운동의 quadratic variation이기 때문이다. 우리는 이미 앞 장에서 브라운 운동의 quadratic variaion은 $(\Delta W_t)^2 = dt$로 해석할 수 있음을 보였다. 따라서 식()는 $$\begin{equation}\label{Ito} \Delta f = \frac{\partial f}{\partial W_t} \Delta W_t + \frac{\partial f}{\partial t} \Delta t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2} \, (\Delta W_t)^2 \end{equation}$$ 로 바뀌고, 이를 미분형으로 바꾸면, $$\begin{equation}\label{Ito2} df = \frac{\partial f}{\partial W_t} d W_t + \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2} \, dt \end{equation}$$ 이 된다. 이를 Ito’s Lemma라 한다.

Ito’s lemma는 stochastic calculus의 중요한 결과물로 본 장의 주제인 Black-Scholes-Merton 미분방정식의 유도는 그 응용의 하나이다. 본 절에서는 금융공학과 직접적 관련은 없지만, Ito’s lemma의 여러가지 응용 예를 소개함으로 그 중요성을 강조하고자 한다. 본 주제인 Black-Scholes-Merton 미분방정식의 유도만이 관심인 경우에는 본 절을 뛰어 넘어도 논리적 연결에 아무런 문제가 없음을 밝혀둔다.

우선 기초자산 $S_t$의 움직임이 다음의 stochastic differential equation을 따르는 것으로 가정하자. $$\begin{equation}\label{underlying} dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \end{equation}$$ 여기서 $\mu$는 기초자산의 기대 수익률, $\sigma$는 기초자산의 변동성을 표현하며, 이들은 시간에 의존하지 않은 알려진 상수로 가정한다. 실제로 이를 어떻게 추정하는가는 실무적으로로 매우 중요하지만, 이론을 전개하는데는 불필요한 논의이므로 우리는 이 값들을 미리 알고 있다고 가정한다. \ \ 다음으로 우리가 알고자 하는 파생상품의 가격식을 $F(S_t, t)$로 나타내기로 하자. 상품의 가격이 기초자산의 가격에 의존하는 상품을 파생상품이라고 정의하였던 것을 상기하면, $F(\cdot,\cdot)$라는 파생상품의 가격식의 input으로 $S_t$가 들어가는 것은 당연하게 받아들일 수 있을 것이다. 또한 파생상품의 가격이 시간에 의존하고, 만기가 존재한다는 것을 생각하면, $F(S_t, \cdot)$ 함수의 input으로 $t$도 들어가야 한다고 미루어 짐작할 수 있을 것이다. \ \ 기초자산의 가격을 ()으로 가정하였으므로, 다음 스텝은 $F(S_t, t)$로 나타내기로 한 파생상품의 가격식이 어떠한 stochastic differential equation을 따르는가를 찾을 필요가 있다. 이를 위하여 $F(S_t, t)$를 다시 살펴보면 $S_t$는 브라운 운동의 영향을 받는 변수이고, $t$는 일반적인 변수이므로 앞서 배운 Ito’s lemma를 적용시키기에 적합한 모양을 가지고 있다는 것을 알 수 있다. \ \ 따라서 $F(S_t, t)$에 Ito’s lemma를 적용시키면 $$\begin{eqnarray} dF &=& \frac{\partial F}{\partial S_t} dS_t + \frac{\partial F}{\partial t} dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial S_t^2} (dS_t)^2 \\ &=& \frac{\partial F}{\partial S_t} \left(\mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\right) + \frac{\partial F}{\partial t} dt + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial S_t^2} \left( \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t\right)^2 \end{eqnarray}$$ 이 되고, 여기에 Ito’s lemma의 곱셈규칙을 적용한 후, 주어진 식을 $dt$를 가진 항과 $dW_t$를 가진 항으로 다시 정리하면, $$\begin{equation} dF = \left(\mu S_t \frac{\partial F}{\partial S_t} + \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 F}{\partial S_t^2} \right) dt + \left( \sigma S_t \frac{\partial F}{\partial S_t} \right) dW_t \end{equation}$$ 이 된다. 이 식은 비록 복잡하여 보이지만, 결국은 또 다른 하나의 stochastic differential equation일 뿐이다. \ \ 이상까지의 유도는 비록 복잡하여 보이지만, 결국 Ito’s lemma의 한 예에 불과하다. Black과 Scholes, 그리고 Merton의 훌륭한 idea는 이제부터 나타나기 시작한다. 그들은 다음과 같은 가상의 포트폴리오를 생각한다. $$\begin{equation} \Pi = \Delta S_t + (-1) F \end{equation}$$ 즉, $\Pi$라 불리우는 이 포트폴리오는 하나의 파생상품을 팔고, 즉 $(-1) F$, $\Delta$개 만큼의 기초자산을 사서, 즉 $\Delta S_t$, 구성한 포트폴리오이다. 아직 $\Delta$는 우리가 결정하여야 하는 미지수이다. 이는 마치 CRR 모형에서 우리가 결정해야 할 $\Delta$와 같은 역할을 한다.

이제 약간의 시간이 흐르면 우리가 구성한 가상의 포트폴리오의 가치도 변화할 것이다. 왜냐하면, 포트폴리오가 기초자산과 파생상품으로 구성되어 있기 때문에 시간의 변화에 따라 이들의 가치가 달라질 것이기 때문이다.

이 가상의 포트폴리오의 가치의 변화를 $d\Pi$로 표시하면, 이는 $$\begin{equation} d\Pi =\Delta dS_t + (-1) dF \end{equation}$$ 인데, 우리는 이미 앞에서 $d S_t$와 $dF$에 해당하는 stochastic differential equation을 가정 및 유도하여 놓았다. 따라서 이들을 대입하면, $$\begin{eqnarray} d\Pi &=& \Delta dS_t + (-1) dF \\ &=& \Delta \left( \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \right) \\ && - \left[ \left(\mu S_t \frac{\partial F}{\partial S_t} + \frac{\partial F}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 F}{\partial S_t^2} \right) dt + \left( \sigma S_t \frac{\partial F}{\partial S_t} \right) dW_t \right] \end{eqnarray}$$