R 2차시 - 행렬과 벡터

Acknowledgement: 본 절의 구성에는 다음 교재를 발췌하였다.

• Norman Matloff 지음, 권정민 역 (2012). 빅데이터 분석 도구 R 프로그래밍 (원제 The Art of R Programming). 에이콘.

벡터

벡터는 동일한 자료형(숫자, 문자열 등)의 모음이다. 벡터는 R의 모든 연산의 근간이다. 여기서는 벡터의 생성법 및 특정 성분으로의 접근법을 소개한다.

수치형(numeric) 벡터의 생성

• c(), (number):(number), seq(), rep() 등을 이용할 수 있다.

c(1, 4, 3, 5) 

[1] 1 4 3 5

a = 1:4 
b = 15 
c( c(2, 4), a, b ) 

[1]  2  4  1  2  3  4 15

seq(1, 11, 3) 

[1]  1  4  7 10

# seq()는 from, to, length, by를 지정할 수도 있다. to나 length 중의 하나만 지정하면 수열이 결정# 되므로 둘 중의 하나만 택하는 걸 권한다.
seq(from = 1, to = 11, by = 3) 

[1]  1  4  7 10

seq(from = 1, length = 4, by = 3)

[1]  1  4  7 10

rep(1, 6)

[1] 1 1 1 1 1 1

rep(c(1, 2), 5)

 [1] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

rep(c(1, 2, 3), c(4, 3, 2))

[1] 1 1 1 1 2 2 2 3 3

• 벡터에 입력될 수 있는 성분은 수치(numeric)뿐만 아니라 logical(논리형), character(문자열)도 가능하다. 벡터의 자료형별로 적절한 연산들이 지원된다.

a = "stat"
b = c("research", "community")
paste(a, b)                    # 두 문자열을 붙이기

[1] "stat research"  "stat community"

f = TRUE ; g = c(FALSE, TRUE) ;
f | g                          # or 연산

[1] TRUE TRUE

f & g                         # and 연산

[1] FALSE  TRUE

• 한 벡터/행렬에는 같은 유형의 성분만 사용되는 것이 원칙. 단 NA, NULL은 예외. NA와 NULL은 실수형 벡터(행렬), 논리형 벡터(행렬).. 등 자료 구성원의 유형에 관계없이 성분이 될 수 있다.

a = c(1, 2, 3)
b = c(1, 2, NA)
c = c(1, 2, "ch")
a ; b ; c

[1] 1 2 3

[1]  1  2 NA

[1] "1"  "2"  "ch"

벡터 객체로의 접근법

• 성분에 접근하려면 대괄호 []를 이용한다. 벡터 a에 대해 a[index number]를 입력하는 것이 보편적이다. index number에 아무 것도 입력하지 않으면 모든 성분을 불러온다.

a = c(1, 5, 8, 7) ;
a 

[1] 1 5 8 7

a[3]

[1] 8

a[ ]

[1] 1 5 8 7

c(1, 5, 8, 7) [3] 

[1] 8

• 한꺼번에 여러 index의 성분을 추출할 수도 있다. 단, index들을 벡터로 묶어서 알려줘야 한다.

x = seq(from = 10, to = 100, by = 10)
x

 [1]  10  20  30  40  50  60  70  80  90 100

x[c(2, 4, 6, 8, 10)] 

[1]  20  40  60  80 100

y = x[seq(2, 10, 2)] 
y

[1]  20  40  60  80 100

• 추출하지 않을 성분을 알려주어 나머지 성분을 추출할 수도 있다.

x = seq(from = 10, length = 100, by = 10)
x

  [1]   10   20   30   40   50   60   70   80   90  100  110  120  130  140  150
 [16]  160  170  180  190  200  210  220  230  240  250  260  270  280  290  300
 [31]  310  320  330  340  350  360  370  380  390  400  410  420  430  440  450
 [46]  460  470  480  490  500  510  520  530  540  550  560  570  580  590  600
 [61]  610  620  630  640  650  660  670  680  690  700  710  720  730  740  750
 [76]  760  770  780  790  800  810  820  830  840  850  860  870  880  890  900
 [91]  910  920  930  940  950  960  970  980  990 1000

x[-1]

 [1]   20   30   40   50   60   70   80   90  100  110  120  130  140  150  160
[16]  170  180  190  200  210  220  230  240  250  260  270  280  290  300  310
[31]  320  330  340  350  360  370  380  390  400  410  420  430  440  450  460
[46]  470  480  490  500  510  520  530  540  550  560  570  580  590  600  610
[61]  620  630  640  650  660  670  680  690  700  710  720  730  740  750  760
[76]  770  780  790  800  810  820  830  840  850  860  870  880  890  900  910
[91]  920  930  940  950  960  970  980  990 1000

x[-c(1, 2)]

 [1]   30   40   50   60   70   80   90  100  110  120  130  140  150  160  170
[16]  180  190  200  210  220  230  240  250  260  270  280  290  300  310  320
[31]  330  340  350  360  370  380  390  400  410  420  430  440  450  460  470
[46]  480  490  500  510  520  530  540  550  560  570  580  590  600  610  620
[61]  630  640  650  660  670  680  690  700  710  720  730  740  750  760  770
[76]  780  790  800  810  820  830  840  850  860  870  880  890  900  910  920
[91]  930  940  950  960  970  980  990 1000

• 그 외에도 벡터에 대한 정보를 알려주는 다양한 함수들이 있다.

x = seq(from = 1, length = 100, by = 2) ;

length(x)               # x의 길이

[1] 100

head(x)             # x의 최초 6개 성분만 열람

[1]  1  3  5  7  9 11

summary(x)              # x의 성분들에 대한 기초통계 결과

   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    1.0    50.5   100.0   100.0   149.5   199.0 

sum(x)              # x의 성분들의 합

[1] 10000

mean(x)             # x의 성분들의 평균

[1] 100

var(x)              # x의 성분들의 표본분산(편차제곱을 n-1로 나눔)

[1] 3366.667

• c(1, 5, 19, 2, 1, 2, 2, 8)에 대하여 min(x), max(x), order(x), factor(x), table(x)… 등도 각자 해 보길 바란다. factor(x)와 table(x)는 x가 연속형 실수가 아닌 이산형(문자열형, 혹은 1, 2, 3, ..등)으로 이루어진 자료일 경우에 유용하다.

수치형 벡터의 연산

• 기본적으로 R은 열벡터(column vector)에 매우 친화적이다. R에서 벡터는 열벡터로 인식된다. 벡터가 화면에 가로로 나열되는 건 경제성을 위해서이다. 스칼라값도 R 내부적으로는 길이 1짜리 벡터로 취급된다.

• R은 벡터 단위의 연산을 제공한다. 스칼라 곱은 당연히 되며, element-wise operation 또한 가능하다. element-wise operation은 행렬끼리의 연산에서도 지원된다. R의 좋은 기능 중 하나다.

a = pi/4
tan(a)

[1] 1

b = c(pi/3, pi/4, pi/6) 
sin(b)              # element-wise operation

[1] 0.8660254 0.7071068 0.5000000

exp(c(-1, 0, 1)) 

[1] 0.3678794 1.0000000 2.7182818

d = exp(c(-1, 0, 1)) 
b + d               # element-wise operation

[1] 1.415077 1.785398 3.241881

b - d               # element-wise operation

[1]  0.6793181 -0.2146018 -2.1946831

x = c(1, 2, 3) ; y = c(1, 2, 3) 
x - 1

[1] 0 1 2

2 * x 

[1] 2 4 6

x * y               # element-wise operation

[1] 1 4 9

sum(x * y)              # inner product of x and y

[1] 14

x / y               # element-wise operation

[1] 1 1 1

• x - 1은 왜 가능할까? 길이가 다른 두 벡터가 만나면 짧은 벡터가 알아서 복제된다. 다만, 길이들이 서로 약수/배수의 관계에 있어야 warning이 뜨지 않는다.

x = c(1, 2, 3, 4, 5) 
x - c(1,2) ;                # warning. 실제로는 c(1, 2, 3, 4, 5) - c(1, 2, 1, 2, 1) 계산

Warning in x - c(1, 2): longer object length is not a multiple of shorter
object length

[1] 0 0 2 2 4

x - 1               # 실제로는 c(1, 2, 3, 4, 5) - c(1, 1, 1, 1, 1) 계산

[1] 0 1 2 3 4

• 한편, 위에서 보았듯 *은 기본적으로 성분별 곱셈 연산자이며 이는 행렬에서도 똑같이 취급된다. 행렬의 곱셈은 연산자 %*%로 한다.

• 크롤링 이후에는 문자열형 벡터를 자주 다루게 된다. R의 stringr 패키지를 이용하면 문자열형 벡터도 다양한 변환이 가능하다. 다음 링크의 53페이지부터 따라하면 된다: https://statkclee.github.io/yonsei/data/R_Web_Crawling.pdf

행렬

행렬의 생성

• 일러두기: 아래 예시코드들에서는 쉬운 설명을 위하여 수치형 행렬만 다루고 있으나, 논리형/문자열형 행렬도 같은 코드로 생성/접근이 가능하다.

• 기본적으로 행렬은 matrix()와 벡터로부터 만든다. 관습과 다르게 R은 행렬을 column-wise 채워나간다. R이 열벡터에 친화적이라는 점을 기억하자. row-wise 채워나가려면 byrow=TRUE 옵션을 붙여준다.

a = 1:6 
b = matrix(a, nrow = 3, ncol = 2) 
b 

     [,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    2    5
[3,]    3    6

matrix(a, nrow =3, ncol = 2, byrow = TRUE) ;

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4
[3,]    5    6

matrix(a, 3, 2, byrow = T) ;

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4
[3,]    5    6

matrix(a, 3, byrow = T) ;

     [,1] [,2]
[1,]    1    2
[2,]    3    4
[3,]    5    6

• rbind(), cbind()는 길이가 같은 벡터들을 행별/열별로 엮어 행렬로 만들어 준다. diag()은 대각행렬을 만들 때 유용하다.

x = 1:3 ; y = 4:6 ; A = matrix(7:12, nrow = 3)
rbind(x, y)

  [,1] [,2] [,3]
x    1    2    3
y    4    5    6

cbind(x, y)

     x y
[1,] 1 4
[2,] 2 5
[3,] 3 6

cbind(x, y, A)

     x y     
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12

diag(x)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    0    0
[2,]    0    2    0
[3,]    0    0    3

행렬 객체로의 접근

• 성분에 접근하는 방법은 벡터와 매우 유사하다. 다만 쉼표를 이용하여 A[row index, col index]의 형식을 취한다. 만약 index에 아무 것도 입력하지 않으면 모든 index를 불러온다. 쉼표(‘,’)는 반드시 써야 한다.

A = matrix(1:12, nrow = 3, byrow = TRUE)
A

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12

A[ ]

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12

A[ , ] 

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12

A[2, 3]

[1] 7

A[1, ]

[1] 1 2 3 4

A[c(1,2), ]

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8

A[ , -1]

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    2    3    4
[2,]    6    7    8
[3,]   10   11   12

• 벡터의 정보를 파악하기 위해 썼던 함수들은 대부분 행렬에도 적용 가능하다. 벡터 예제와 비교하여, 새롭게 dim()만 추가하였다.
• 아래 코드들과 더불어, min(x), max(x), order(x), factor(x), table(x).. 들도 여전히 유효한지 확인해 보라.

A = matrix(1:60, nrow = 15, byrow = TRUE )
A

      [,1] [,2] [,3] [,4]
 [1,]    1    2    3    4
 [2,]    5    6    7    8
 [3,]    9   10   11   12
 [4,]   13   14   15   16
 [5,]   17   18   19   20
 [6,]   21   22   23   24
 [7,]   25   26   27   28
 [8,]   29   30   31   32
 [9,]   33   34   35   36
[10,]   37   38   39   40
[11,]   41   42   43   44
[12,]   45   46   47   48
[13,]   49   50   51   52
[14,]   53   54   55   56
[15,]   57   58   59   60

head(A)

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    1    2    3    4
[2,]    5    6    7    8
[3,]    9   10   11   12
[4,]   13   14   15   16
[5,]   17   18   19   20
[6,]   21   22   23   24

length(A)

[1] 60

dim(A)

[1] 15  4

sum(A)

[1] 1830

mean(A)

[1] 30.5

var(A)

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]  320  320  320  320
[2,]  320  320  320  320
[3,]  320  320  320  320
[4,]  320  320  320  320

summary(A)

       V1           V2           V3           V4    
 Min.   : 1   Min.   : 2   Min.   : 3   Min.   : 4  
 1st Qu.:15   1st Qu.:16   1st Qu.:17   1st Qu.:18  
 Median :29   Median :30   Median :31   Median :32  
 Mean   :29   Mean   :30   Mean   :31   Mean   :32  
 3rd Qu.:43   3rd Qu.:44   3rd Qu.:45   3rd Qu.:46  
 Max.   :57   Max.   :58   Max.   :59   Max.   :60  

행렬의 연산

• element-wise operation은 행렬에서도 유효하다.

a = matrix(1:4, nrow = 2, byrow = T) 
b = a
exp(a)

          [,1]      [,2]
[1,]  2.718282  7.389056
[2,] 20.085537 54.598150

a + b 

     [,1] [,2]
[1,]    2    4
[2,]    6    8

2 * a

     [,1] [,2]
[1,]    2    4
[2,]    6    8

a * b

     [,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    9   16

a^2

     [,1] [,2]
[1,]    1    4
[2,]    9   16

• 행렬의 곱셈은 연산자 %*%을 사용한다.

a = matrix(1:4, nrow = 2, byrow = T) 
b = a
x = c(1, 1)
a %*% b

     [,1] [,2]
[1,]    7   10
[2,]   15   22

a %*% x

     [,1]
[1,]    3
[2,]    7

y = matrix(c(1,2), nrow = 1)

## a와 y의 행렬곱도 해 보라. 계산이 잘 정의되지 않는다. 왜?
dim(y)

[1] 1 2

z = a[1, ] 
a %*% z

     [,1]
[1,]    5
[2,]   11

dim(z)

NULL

• 위 계산에서 x는 길이 2짜리 벡터이므로 자동으로 열벡터로 취급되어 a %*% x가 잘 정의된다. y는 1 by 2 matrix이므로 a %*% y가 잘 정의되지 않는다. y가 1 by 2 matrix임은 dim(y)를 통해 확인할 수 있다. z는 명령어로 보건대 1 by 2 matrix같은데 a %*% z는 또 잘 계산된다. dim(z)가 NULL값을 반환하는 것으로 보아 z는 벡터임을 알 수 있다. 어떤 알고리즘 때문인지, 저렇게 추출한 z는 벡터 상태가 되었다.

• R은 고급 행렬 연산도 모두 지원한다.

a = matrix(1:4, nrow = 2, byrow = T) 
t(a)                    # transpose of a

     [,1] [,2]
[1,]    1    3
[2,]    2    4

solve(a)                # inverse of a

     [,1] [,2]
[1,] -2.0  1.0
[2,]  1.5 -0.5

det(a)              # determinant of a

[1] -2

diag(a)                 # diagonal elements of a, if a is a matrix

[1] 1 4

svd(a)              # SVD of a

$d
[1] 5.4649857 0.3659662

$u
           [,1]       [,2]
[1,] -0.4045536 -0.9145143
[2,] -0.9145143  0.4045536

$v
           [,1]       [,2]
[1,] -0.5760484  0.8174156
[2,] -0.8174156 -0.5760484

qr(a)                   # QR decomposition of a

$qr
           [,1]       [,2]
[1,] -3.1622777 -4.4271887
[2,]  0.9486833 -0.6324555

$rank
[1] 2

$qraux
[1] 1.3162278 0.6324555

$pivot
[1] 1 2

attr(,"class")
[1] "qr"

행/열 단위의 함수 적용

• 예제용으로 4 by 4 행렬 X를 만들자.

X = matrix(1:16, 4, 4) 

• 행별/열별 평균이나 합은 rowMeans(), colMeans(), rowSums(), colSums()를 사용할 수 있다. 일반적으로 R에서는 행렬에서 행/열 단위로 임의의 함수를 적용한 결과를 한꺼번에 얻을 수 있는 함수 apply()가 있다. apply의 사용법은 apply(행렬, 행/열방향, 적용할 함수).

apply(X, 1, mean)       # 1 : rowwise

[1]  7  8  9 10

apply(X, 2, mean)       # 2 : columnwise

[1]  2.5  6.5 10.5 14.5

• apply(X, 1, mean)은 rowMeans()와 같은 효과를 내고 있다.