9 Regresión Discontinua

En esta nota nos enfocaremos a estimar densidades de ciertas variables y una vez hecho, utilizaremos las herramientas desarrolladas para llevar a cabo estimaciones no paramétricas de medias condicionales. Daremos una intuición de cómo esto se asocia y cómo se diferencia de las estimaciones tradicionales de MCO.

9.1 Regresión Discontinua

Regresiones Kernel no son buenas elecciones para la estimación de Regresión Discontinua a pesar de que las regresiones no perimétricas suelen ser el método más utilizado. La razón es que en Regresión Discontinua nos interesa la estimación en un punto que además es una frontera. Regresión Kernel suele no ser tan adecuado para esos propósitos. Además la selección del bin suele ser difícil. Lo mas común es usar Local Linear.

Para estimar el efecto de Regresión Discontinua:

9.1.1 Sharp

\[\begin{align*} \begin{aligned} \underset{\alpha_{L},\beta_{L}}{\text{min}} \sum\limits_{i|c-h\leq x_{i}<c}K\left( \frac{x_{i}-c}{h}\right)\left( y_{i}-\alpha_{L}-\beta_{L}\left(x_{i}-c\right)\right)^{2} \end{aligned} \end{align*}\] y… \[\begin{align*} \begin{aligned} \underset{\alpha_{R},\beta_{R}}{\text{min}} \sum\limits_{i|c\leq x_{i}<c+h}K\left( \frac{x_{i}-c}{h}\right)\left( y_{i}-\alpha_{R}-\beta_{R}\left(x_{i}-c\right)\right)^{2} \end{aligned} \end{align*}\]

Y, por lo tanto, \(\tau_{SRD} = \widehat{\alpha_{R}}-\widehat{\alpha_{L}}\)

Nota que alternativamente se podría estimar como: \[\begin{align*} {\text{min}} \sum\limits_{i=1}^{N}K\left( \frac{x_{i}-c}{h}\right)\left( y_{i}-\alpha-\beta\left(x_{i}-c\right)-\tau w_{i}-\gamma\left(x_{i}-c\right)w_{i}\right)^{2} \end{align*}\]

Donde \(\tau = \tau_{SRD}\).

Para Fuzzy es similar pero en 2 etapas. De hecho equivale a estimar \(Y_{i} = \alpha + \tau w_{i}+u_{i}\), donde se instrumenta \(w_{i}\) con \(\mathbf{1}\left\lbrace x_{i} \geq c \right\rbrace\).