Anhang C — Summenzeichen

Das Summenzeichen erleichert den Umgang mit Summen enorm, wenn man sich an die Notation gewöhnt hat. Als Summenzeichen dient das große Sigma des griechischen Alphabets, $$\sum$$ Zum Summenzeichen gehört immer ein Index, der einen bestimmten Bereich durchläuft. Als Standard hat sich der Index $i$ durchgesetzt, aber andere Symbole sind natürlich ebenfalls möglich. Der Laufindex wird unter dem Summenzeichen, die Grenzen unter bzw. über dem Summenzeichen angegeben.

Der Ausdruck $$\sum _{i=1}^n{x}_i$$ wird gesprochen als “Summe für $i$ gleich 1 bis $n$ über $x_i$” oder “Summe aller $x_i$ für $i$ gleich 1 bis $n$”. Der Index wird in dem Ausdruck hinter dem Summenzeichen auf alle ganzen Werte gesetzt, die der Index durchläuft, also in diesem Fall $$x_1+x_2+x_3+\dots +x_n.$$ Ein weiteres Beispiel ist $$\sum _{i=3}^{12}{y}_i=y_3+y_4+\dots +y_{11}+y_{12}.$$ Der Index muss also nicht unbedingt bei 1 starten (auch wenn er das in den allermeisten Fällen tut).

Die normalen Rechenregeln für die Addition gelten natürlich auch für das Summenzeichen. Daher gilt $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n(x_i+y_i)& =x_1+y_1+x_2+y_2+\dots +x_n+y_n\\ & =x_1+x_2+\dots +x_n+y_1+y_2+\dots +y_n\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i+\sum _{i=1}^n{y}_i\end{array}$$ und (für ein beliebiges $a\in \mathbb{R}$) $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}a{x}_i& =a{x}_1+a{x}_2+\dots +a{x}_n\\ & =a(x_1+x_2+\dots +x_n)\\ & =a\sum _{i=1}^n{x}_i.\end{array}$$ Addiert man immer den gleichen Wert $a\in \mathbb{R}$ auf, ergibt sich $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}a& =a+a+\dots +a\\ & =na.\end{array}$$ Quadriert man eine Summe, ergibt sich $$\begin{array}{rl}{\left(\sum _{i=1}^n{x}_i\right)}^2& =\sum _{i=1}^n{x}_i\times \sum _{j=1}^n{x}_j\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{x}_i{x}_j.\end{array}$$ Hier ist es notwendig, zwei unterschiedliche Indizes zu verwenden, weil nur so zum Ausdruck kommen kann, dass alle Paare von Produkten durchlaufen werden.

Es ist auch möglich, den Index als Zahl in die Summe einzubauen, z.B. $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}i{x}_i& =x_1+2x_2+3x_3+\dots +n{x}_n\end{array}$$ oder $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{a}^i& =a+a^2+a^3+\dots +a^n.\end{array}$$ Die Werte, mit denen man arbeitet, haben manchmal zwei Indizes, z.B. bei Häufigkeitstabellen. Als Beispiel betrachten wir die $I\times J$ Werte $$\begin{array}{cccc}{n}_{11}& n_{12}& \dots & n_{1J}\\ n_{21}& n_{22}& \dots & n_{2J}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ n_{I1}& n_{I2}& \dots & n_{IJ}\end{array}$$ Mit Hilfe des Summenzeichens ist die Summe aller Zahlen in Zeile $i$ $$\sum _{j=1}^J{n}_{ij}$$ und die Summe aller Zahlen in der Spalte $j$ $$\sum _{i=1}^I{n}_{ij}.$$ Um alle Zahlen zu summieren, braucht man eine Doppelsumme $$\sum _{i=1}^I\sum _{j=1}^J{n}_{ij}.$$ Werte, die nur vom äußeren Index abhängen, kann man vor die innere Summe ziehen, weil sie für die innere Summe als multiplikative Konstante gelten, z.B. $$\sum _{i=1}^I\sum _{j=1}^J{n}_{ij}{x}_i=\sum _{i=1}^I{x}_i\sum _{j=1}^J{n}_{ij}.$$ Es ist möglich, die Summationsgrenzen der inneren Summe vom Index der äußeren Summe abhängen zu lassen. Als Beispiel betrachten wir die in einem Quadrat angeordneten Zahlen $$\begin{array}{cccc}{n}_{11}& n_{12}& \dots & n_{1I}\\ n_{21}& n_{22}& \dots & n_{2I}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ n_{I1}& n_{I2}& \dots & n_{II}\end{array}$$ Um nur die Werte auf und unter der Diagonalen zu addieren, lautet der Ausdruck mit Summenzeichen $$\sum _{i=1}^I\sum _{j=1}^i{n}_{ij}.$$ Der Index der inneren Summe endet also bei Wert des Index der äußeren Summe. Ausgeschrieben ergibt sich in diesem Fall $$\begin{array}{rlr}[i=1]& :& n_{11}\\ [i=2]& :& +n_{21}+n_{22}\\ [i=3]& :& +n_{31}+n_{32}+n_{33}\\ & :& \dots \\ [i=I]& :& +n_{I1}+n_{I2}+n_{I3}+\dots +n_{II}\end{array}$$