4 量化风险管理
4.1 风险管理的基本概念
4.1.1 建模价值和价值变动
风险映射
在描述金融风险的一般数学模型中，通常把未来世界状态的不确定性表示为概率空间\((\Omega,\mathcal{F},P)\),这是接下来要介绍的所有随机变量的定义域。考虑风险（或者损失\(L\)）的随机变量\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R}\).
考虑一个给定的由资产和可能负债组成的投资组合。这个投资组合在时间\(t\)（当前时刻）的价值记为\(V_t\)(于是\(V_{t+1}\)是一随机变量，在假设\(t\)时刻\(V_t\)已知)。我们考虑一个给定的时间展望期\(\Delta t\)并假设
- 在\(\Delta t\)中投资组合成分不变;
- 在\(\Delta t\)中没有流动和流出.
显然这些假设只能针对比较短的\(\Delta t,\)在长期中不太可能实现这些假设。
投资组合价值的变化由下面的式子给出
\[
\Delta V_{t+1}=V_{t+1}-V_t
\]
同时也能给出损失的定义\(L_{t+1}:=-\Delta V_{t+1}.\)在量化风险管理中我们主要考虑的是损失。
Remark 2.1
- 随机变量\(L_{t+1}\)的分布称为损失分布。
- 风险管理从业者通常比较关注所谓的损益（P&L）分布即为\(-L_{t+1}=\Delta V_t\)的分布。
- 对于较长的时间间隔，可以选择把损失定义为\(L_{t+1}:=V_t-V_{t+1}/(1+r_{t,1})\),其中\(r_{t,1}\)是指从\(t\)时刻到\(t+1\)时刻简单的无风险利率，它度量了时间\(t\)的单位货币损失，但在书中基本忽略这个问题。
通常来说，投资组合价值\(V_t\)是由时间函数和风险因子的\(d\)维随机向量\(\boldsymbol{Z}_t=(Z_{t,1},...,Z_{t,d})'\)构建的模型表示的，对于一些可测函数\(f:\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^d\)来说可以写出表达式
\[
V_t=f(t,\boldsymbol{Z}_t)
\]
风险因子通常被假设是可以被观察到的，因此在\(t\)时刻随机向量\(\boldsymbol{Z}_t\)表示为实现价值\(\boldsymbol{z}_t\),投资组合价值\(V_t\)由实现价值\(f(t,\boldsymbol{z}_t)\)表示。下面提供一些关于映射过程的例子。
我们将一定时间范围内风险因子变化定义为随机向量\(\boldsymbol{X}_{t+1}:=\boldsymbol{Z}_{t+1}-\boldsymbol{Z}_t\),假定当前时间为\(t\),投资组合的损失可以由下式得出：
\[
L_{t+1}=-(f(t+1,\boldsymbol{z}_t+\boldsymbol{X}_{t+1})-f(t,\boldsymbol{z}_t))
\]
由该式可以看出损失分布由风险因子变化\(\boldsymbol{X}_{t+1}\)的分布所决定。 因此我们可以把\(L_{t+1}\)写作\(L(\boldsymbol{X}_{t+1})\),其中损失算子\(L(\boldsymbol{x}):=-(f(t+1,\boldsymbol{z}_t+\boldsymbol{x})-f(t,\boldsymbol{z}_t))\).
如果\(f\)是可微的，其一阶泰勒近似（由于\(f(\boldsymbol{y})\approx f(\boldsymbol{y}_0)+\nabla f(\boldsymbol{y}_0)^T(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{y}_0)\)其中 \(\boldsymbol{y}=(t+1,Z_{t,1}+X_{t+1,1},...,Z_{t,d}+X_{t+1,d})\), \(\boldsymbol{y}_0=(t,Z_{t,1},...,Z_{t,d})\)） 就是 \[ f(t+1,\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X}_{t+1})\approx f(t,\boldsymbol{Z}_t)+f_t(t,\boldsymbol{Z}_t)\cdot 1+\sum_{j=1}^df_{z_j}(t,\boldsymbol{Z}_t)\cdot X_{t+1,j} \] 因此我们可以定义损失的一阶近似\(L_{t+1}^\Delta\)形式， \[ \begin{align} L_{t+1}^\Delta:&=-\left( f_t(t,\boldsymbol{z}_t)+\sum_{j=1}^df_{z_j}(t,\boldsymbol{z}_t)X_{t+1,j} \right)\\ &=-(c_t+\boldsymbol{b}_t'\boldsymbol{X}_{t+1}),\tag{3.1}\label{lt} \end{align} \] 这个式子将损失表示为风险因子变化的线性函数。如果风险因子变化很小（即如果我们在很短的时间范围内测量风险）并且投资组合的价值与风险因子线性相关（即如果函数\(f\)的二阶导数很小）则上式中的近似质量非常好。
现在通过有关市场风险、信用风险和保险领域的一些例子说明典型的风险管理问题如何适用于这个框架之中。
例 2.1 股票投资组合
考虑一个包含\(d\)种股票的固定投资组合，\(t\)时刻投资组合中股票\(i\)的份额用\(\lambda_i\)表示，股票\(i\)的价格过程用\((S_{t,i})_{t\in\mathbb{N}}\)表示。根据金融和风险管理的标准做法，使用自然对数价格作为风险因子，即\(Z_{t,i}:=\ln S_{t,i},i=1,...,d.\)于是我们有
\[
V_t=f(t,\boldsymbol{Z_t})=\sum_{i=1}^d\lambda_i\exp(Z_{t,i})
\]
风险因子变化表示为\(X_{t+1,i}=\ln S_{t+1,i}-\ln S_{t,i}\),相当于投资组合中股票的对数收益。从\(t\)时刻到\(t+1\)时刻投资组合的损失可以由下式得出：
\[
L_{t+1}=-(V_{t+1}-V_t)=-\sum_{i=1}^d\lambda_iS_{t,i}(e^{X_{t+1,i}}-1)
\]
线性化的损失可以写为
\[
L_{t+1}^\Delta=-\sum_{i=1}^d\lambda_iS_{t,i}X_{t+1,i}=-V_t\sum_{i=1}^dw_{t,i}X_{t+1,i}
\]
其中权重\(w_{t,i}:=(\lambda_iS_{t,i})/V_t\)是指\(t\)时刻投资于股票\(i\)的投资组合的价值比例。当然也可以通过\(f_{z_j}(t,\boldsymbol{Z}_t)=\lambda_i\exp(Z_{t,i})=\lambda_iS_{t,i}\overset{d}{=}\tilde{w}_{t,i}=V_t w_{t,i}\)如下改写线性化损失
\[
L^\Delta_{t+1}=\sum_{i=1}^d\tilde{w}_{t,i}X_{t+1,i}=-\tilde{\boldsymbol{w}}^T_tX_{t+1}
\]
这是前面一阶近似的线性损失(\(\ref{lt}\))的特例，只需\(c_t=0,\boldsymbol{b}_t=\tilde{\boldsymbol{w}_t}.\)
如果\(\mathbb{E}\boldsymbol{X}_{t+1}=\boldsymbol{\mu},\text{cov}\boldsymbol{X}_{t+1}=\Sigma\)已知，可以得到
\[ \begin{aligned} \mathbb{E}L_{t+1}^\Delta&=-\sum_{i=1}^d\tilde{w}_{t,i}\mathbb{E}(X_{t+1,i})=-\tilde{\boldsymbol{w}}_t^T\boldsymbol{\mu},\\ \text{var}L_{t+1}^\Delta&=\text{var}(\tilde{\boldsymbol{w}}^T_tX_{t+1})=\tilde{\boldsymbol{w}}^T_t\text{cov}(\boldsymbol{X}_{t+1})\tilde{\boldsymbol{w}}_t =\tilde{\boldsymbol{w}}^T_t\Sigma\tilde{\boldsymbol{w}}_t. \end{aligned} \]
例2.2 欧式看涨期权（European call option）
考虑一个有关衍生证券投资组合的简单例子，也就是一个建立在零股息股票上的到期日为\(T,\)行权价为\(K\)的标准欧式看涨期权。我们用BS期权定价公式来确定投资组合的价值。在时间\(t\)时，价格为\(S_t\)的股票的看涨期权价值如下
\[
V_t=C^{\text{BS}}(t,S_t;r,\sigma,K,T):=S_t\Phi(d_1)-Ke^{-r(T-t)}\Phi(d_2),
\]
其中\(\Phi\)是标准正态分布的分布函数，\(r\)是连续复利无风险利率，\(\sigma\)是标的股票对数收益率的波动率，并且
\[
d_1=\frac{\ln (S/K)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}},\quad d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}
\]
为了简便起见，假设距离期权到期的时间\(T-t\)以投资期为一单位来度量（即一年一年），同时参数\(r,\sigma\)也采取了同样的度量单位（即年化收益率和波动率）。
然而实际情况下除了\(\ln S_t,r_t,\sigma_t\)也都是风险因子，因此我们定义风险因子向量如下
\[
\boldsymbol{Z}_t=(\ln S_t,r_t,\sigma_t)'\Rightarrow \boldsymbol{X}_{t+1}=(\ln (S_{t+1}/S_t),r_{t+1}-r_t,\sigma_{t+1}-\sigma_t)'.
\]
后一个式子是风险因子的变动，可以发现有三种风险因子。
$$ \[\begin{aligned} L_{t+1}^\Delta =& -(f_t(t,\boldsymbol{Z}_t)+\sum_{i=1}^3f_{z_i}(t,\boldsymbol{Z}_t)X_{t+1,i})\\ =&-(C_t^{\text{BS}}\Delta t+C_{S_t}^{\text{BS}}S_tX_{t+1,1}+C_{r_t}^{\text{BS}}X_{t+1,2}+C_{\sigma_t}^{\text{BS}}X_{t+1,3}). \end{aligned}\]
$$ 如果我们风险管理时间的范围是1天而不是1年，我们需要在这里引入\(\Delta t:=1/250.\)因为上述都是年化利率和波动率。于是我们就引入风险管理常见的希腊字母了！\(C_t^{\text{BS}}\)就是期权的\(theta;C_{S_t}^{\text{BS}}\)是\(delta;C_{r_t}^{\text{BS}}\)是\(rho;C_{\sigma_t}^{\text{BS}}\)是\(vega.\)
估值方法
风险中性估值
风险中性估值广泛用于金融产品的定价，例如衍生品。在风险中性定价中，金融工具的现值是由未来现金流的预期贴现值计算得到的。其中预期值的确定与某种概率测度\(Q\)相关，这种测度被称为风险中性定价测度。\(Q\)是一种人工测度，将可交易证券的贴现价格变成鞅，因此是公平下注，也叫等价鞅测度（EMM）。与现实世界/物理测度\(\mathbb{P}\)相对。风险中性定价测度是一个概率测度\(Q,\)使得这点牛\(Q\)的贴现收益的期望等于\(V_0.\)
在\(T\)时，时间\(t\)时的债权\(H\)的风险中性估值通过风险中性定价规则进行：
\[
V_t^H=\mathbb{E}^Q_{t}(e^{-r(T-t)}H),\;t<T,
\]
其中\(\mathbb{E}_{Q,t}\)表示在时间\(t\)及之前的信息下针对\(Q\)的期望。\(\mathbb{P}\)是基于历史数据估计的；\(Q\)是根据市场价格进行校准的。交易证券的价格用于在风险中性测度\(P\)下校准模型参数，然后用这一测度用于给非交易产品定价。
例2.4 欧式看涨期权（续）
假设行权价为\(K\)或到期时间为\(T\)的期权没有被交易，但以该股票为标的的其他期权产品是有交易的。给定\(\mu\in\mathbb{R}\)是漂移项、\(\sigma>0\)是波动率，\((W_t)\)是一个标准布朗运动，我们假设在真实测度\(\mathbb{P}\)下，股票价格\((S_t)\)遵循几何布朗运动模型，即所谓的B-S模型，其动态过程由下式表示
\[
dS_t=\mu S_tdt+\sigma S_tdW_t
\]
众所周知，存在等价鞅测度\(Q,\)其中股票价格折现值\((e^{-rt}S_t)\)是鞅，在\(Q\)下股价遵循具有漂移项\(r\)和波动率\(\sigma\)的几何布朗运动模型。欧式看涨期权到期收益\(H=(S_T-K)^+=\max\{S_T-K,0\}\)于是风险中性估值公式就可以写作
\[
V_t=\mathbb{E}_t^Q(e^{-r(T-t)}(S_T-K)^+)=C^{\text{BS}}(t,s_t;r,\sigma,K,T),\quad t<T;\tag{3.2}\label{rnv}
\]
为了在\(t\)时刻给定看涨期权一个风险中性定价（知道股票的当前价格\(S_t\)、利率\(r\)以及期权特征\(K,T\)），我们需要校准模型参数\(\sigma\).如上所述，我们通常使用具有不同特征的股票期权的报价\(C^{\text{BS}}(t,S_t;r,\sigma,K^*,T^*)\)来推断\(\sigma.\)然后将所谓的隐含波动率代入公式\((\ref{rnv})\).
风险中性定价有两个理论支持。首先，数理金融的标准结果（所谓的资产定价第一基本定理）指出，当且仅当证券定价模型承认至少有一个等价鞅测度\(Q\)时，该模型是无套利的。因此，如果一个金融产品按照无套利原则定价，则其价格必须由一些风险中性测度\(Q\)的风险中性定价公式给出。第二个理由是对冲：在金融模型中，通常可以通过资产交易来复制金融产品的收益率，其中一种就是动态对冲，在一个无摩擦市场中实施对冲是由风险中性定价规则给定的。
损失分布
在确定映射\(f\)后，我们可以确定量化风险管理（QRM）的以下关键统计任务：
1. 找到\(\boldsymbol{X}_{t+1}\)的统计模型（通常是基于历史数据估计的\(\boldsymbol{X}_{t+1}\)预测模型）；
2. 计算/推导\(L_{t+1}\)的分布函数\(F_{L_{t+1}}\)（需要\(f(t+1,\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X}_{t+1})\)）;
3. 从\(F_{L_{t+1}}\)计算风险度量
有三种方法解决这些问题，分别是解析法、历史模拟法和蒙特卡洛方法。下面介绍历史模拟法和蒙特卡洛方法。
历史模拟法
基于
\[
L_k=L(X_k)=-(f(t+1,\boldsymbol{Z}_t+\boldsymbol{X}_k)-f(t,\boldsymbol{Z}_t)),\tag{4}\label{Lk}
\]
其中\(k\in\{ t-n+1,...,t \}.L_{t-n+1},...,L_t\)显示了如果风险因子在过去\(n\)个时间步的变化再次发生，当前的投资组合将会发生什么变化。
通过经验分布函数估计\(F_{L_{t+1}}\):
\[
\begin{equation}
\hat{F}_{L_{t+1},n}(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nI_{\{L_{t-i+1}\leq x\}},\; x\in \mathbb{R},\tag{5}\label{edf}
\end{equation}
\]
蒙特卡洛方法
为\(\boldsymbol{X}_{t+1}\)选择合适的模型，模拟\(\boldsymbol{X}_{t+1}\)，计算相应的损失，如公式\((\ref{lk})\),并如公式\((\ref{edf})\)估计\(F_{L_{t+1}}\).