Capítulo 5 Coronavirus en Colombia con JAGS.

5.1 Instalación

Para instalar JAGS sigue estos pasos:

  1. Ve al enlace https://sourceforge.net/projects/mcmc-jags/files/ y descarga: JAGS-4.3.0.dmg y rjags_4-4.tgz. Diferentes versiones de estos archivos puedes encontrarlos dentro de las carpetas JAGS y rjags al abrir el enlace mencionado.

  2. Deja los dos archivos en el escritorio.

  3. Ejecuta el archivo JAGS-4.3.0.dmg dando clic sobre él. Sigue el procedimiento normal de acuerdo al paso a paso que te aparece.

  4. Instala el paquete rjags_4-4.tgz desde R:

    Tienes que tener cuidado con la ruta: /Users/Dan/Desktop/rjags_2.2.0-1.tar.gz que te lleva al archivo ubicado en tu escritorio, esta es apenas un ejemplo. Verifica la ruta para llegar al archivo en tu pc y úsala.

  5. En R digita:

    Si R importa las funciones contenidas en el paquete al entorno de trabajo actual, quedó bien instalado. Si sale este mensaje de error: Error: package ‘rjags’ is not installed for ‘arch=x86_64’ trata de instalarlo desde el Terminal.

  6. Para que lo instales desde el Terminal de Mac usando la entrada de línea de comandos, puedes usar las siguientes instrucciones:

  • Abre el Terminal (/Applications/Utilities/Terminal.app)
  • Navega hasta donde descargaste el paquete. En el ejemplo que aquí te damos, el escritorio se encuentra en la ruta: cd /Users/Dan/Desktop/
  • Instala desde el Terminal de la siguiente forma: R –arch x86_64 CMD INSTALL rjags_4-4.tar.gz

En teoría, esto debió funcionar, ahora carga los paquetes en R, junto con el paquete coda:

5.2 El modelo.

Este breve trabajo es resultado de un primer ejercicio realizado con base en el curso de Modelos Dinámicos impartido por el profesor Dani Gamerman, profesor visitante de la Universidad Federal de Minas Gerais y motivado por las notas del profesor José Marcos Andrade Figueiredo de la Universidad Federal de Minas Gerais, puede ser consultado en (“Base de Dados, Cenários E Previsões. Departamento de Estatística, Ufmg” 2020) en el cual se pretende usar el modelo de crecimiento logístico para estimar el tamaño final de la epidemia de COVID-19 en Colombia.

Se propone el modelo de crecimiento logístico para ajustar el fenómeno de interés. Este modelo, que proviene de aplicaciones simples de las ecuaciones diferenciales y que puede ser adaptado a la dinámica de las epidemias, se especifica a partir de la ecuación diferencial: \[\begin{equation} \frac{d \mu(t)}{dt}=c \mu(t)[1-\frac{\mu(t)}{M}] \label{eq:model1} \end{equation}\]

donde \(\mu(t)\) coincide con el número medio de contagiados hasta el tiempo \(t\), \(c>0\), es la tasa de infección y \(M>0\) es el tamaño final de la epidemia. El factor entre corchetes, a mano derecha de la expresión es de interés fundamental en el modelo. Si \(\mu(t)\) es pequeño respecto al valor de \(M\), la curva tiende a crece exponencialmente. Por otro lado, si \(\mu(t)\) se aproxima a \(M\) conforme \(t\) aumenta, la tasa de crecimiento de la curva disminuye, por tanto, la recta horizontal a una altura de \(M\) unidades se convierte en una asíntota para la curva. Si \(\mu < \mu_0=\mu(0)\) es el número inicial de contagiados, la solución para la ecuación diferencial de la expresión en está dada por: \[\begin{equation} \mu(t)=c \frac{a \exp(ct)}{1+b exp(ct)} \label{eq:model2} \end{equation}\]

en donde,

\[\begin{equation} a=\frac{\mu_0}{M-\mu_0} \,\,\,\, \text{e} \,\,\,\,b=\frac{\mu_0}{M-\mu_0} \end{equation}\]

La asíntota de la curva también puede obtenerse mediante el cálculo del límite de la función dada en la expresión ,

\[\begin{equation} \frac{a \exp(ct)}{1+b\exp(ct)}=\frac{1}{b}=M \end{equation}\]

este valor permite obtener el total de casos acumulados a lo largo de toda la pandemia. Si \(b=0\) la asíntota es \(+\infty\), esto significa que la cantidad de casos nuevos nunca deja de crecer.

Finalmente, el modelo se establece suponiendo que la variable aleatoria \(Y(t)\), que mide el número acumulado de infectados hasta el día \(t\), tiene una distribución Poisson con parámetro \(\mu(t)\).

##Estimación

Para el proceso de estimación, se usa un enfoque de tipo Bayesiano haciendo uso del paquete JAGS desde R. Se utilizan valores altos para la varianza de la distribución a priori, es decir distribuciones “no informativas” obteniendo ajustes que otorgan mayor importancia a la información proveniente de la muestra. El proceso de estimación recae sobre los parámetros \(a\), \(b\) y \(c\). Por tanto, asignamos a cada parámetro una distribución a priori \(Gamma(0.001, 0.001)\). F. (2014)

5.2.2 Correr el modelo en JAGS

Inicialmente hay que definir en modelo y salvarlo como un archivo .bug usando la función cat desde R.

Además, tenemos que armar una lista con los datos que vamos a pasarle a JAGS, una función para generar los valores iniciales de las cadenas Markovianas, y definir los parámetros que queremos guardar… seguir explicando para qué cada función.

Especificação da assíntota (total de casos)

##     2.5%      50%    97.5% 
## 808.1638 882.2931 979.9619

As curvas usam valores de (a,b,c) associados a esse quantil da assintota. Esses valores são obtidos com os seguintes comandos no R

##      lim Inf     Mediana     lim sup
## a 4.09611020 4.221345387 5.093906481
## b 0.00506848 0.004784518 0.005198068
## c 0.32678561 0.317568393 0.298542408

GRAFICA NMNC

Bibliografía

“Base de Dados, Cenários E Previsões. Departamento de Estatística, Ufmg.” 2020. urlhttp://www.est.ufmg.br/portal/extensao/coronavirus.

F., Migon H. Gamerman D. Louzada. 2014. Statistical Inference: An Integrated Approach. Chapman; Hall/CRC.