1 格兰格因果性

1.1 介绍

考虑两个时间序列之间的因果性。 这里的因果性指的是时间顺序上的关系， 如果$X_{t-1}, X_{t-2}, \dots$对$Y_t$有作用， 而$Y_{t-1}, Y_{t-2}, \dots$对$X_t$没有作用， 则称$\{X_t \}$是$\{ Y_t \}$的格兰格原因， 而$\{ Y_t \}$不是$\{ X_t \}$的格兰格原因。 如果$X_{t-1}, X_{t-2}, \dots$对$Y_t$有作用， $Y_{t-1}, Y_{t-2}, \dots$对$X_t$也有作用， 则在没有进一步信息的情况下无法确定两个时间序列的因果性关系。

注意这种因果性与采样频率有关系， 在日数据或者月度数据中能发现的领先——滞后性质的因果关系， 到年度数据可能就以及混杂在以前变成同步的关系了。

1.2 格兰格因果性的定义

设$\{ \xi_t \}$为一个时间序列， $\{ \boldsymbol{\eta}_t \}$为向量时间序列， 记 $$\begin{aligned} \bar{\boldsymbol{\eta}}_t =& \{ \boldsymbol{\eta}_{t-1}, \boldsymbol{\eta}_{t-2}, \dots \} \end{aligned}$$

记 $\text{Pred}(\xi_t | \bar{\boldsymbol{\eta}}_t)$为基于 $\boldsymbol{\eta}_{t-1}, \boldsymbol{\eta}_{t-2}, \dots$ 对$\xi_t$作的最小均方误差无偏预报， 其解为条件数学期望$E(\xi_t | \boldsymbol{\eta}_{t-1}, \boldsymbol{\eta}_{t-2}, \dots)$， 在一定条件下可以等于$\xi_t$在$\boldsymbol{\eta}_{t-1}, \boldsymbol{\eta}_{t-2}, \dots$张成的线性Hilbert空间的投影 （比如，$(\xi_t, \boldsymbol{\eta}_t)$为平稳正态多元时间序列）， 即最优线性预测。 直观理解成基于过去的$\{\boldsymbol{\eta}_{t-1}, \boldsymbol{\eta}_{t-2}, \dots \}$的信息对当前的$\xi_t$作的最优预测。

令一步预测误差为 $$\varepsilon(\xi_t | \bar{\boldsymbol{\eta}}_t) = \xi_t - \text{Pred}(\xi_t | \bar{\boldsymbol{\eta}}_t)$$ 令一步预测误差方差，或者均方误差， 为 $$\sigma^2(\xi_t | \bar{\boldsymbol{\eta}}_t) = \text{Var}(\varepsilon_t(\xi_t | \bar{\boldsymbol{\eta}}_t) ) = E \left[ \xi_t - \text{Pred}(\xi_t | \bar{\boldsymbol{\eta}}_t) \right]^2$$

考虑两个时间序列$\{ X_t \}$和$\{ Y_t \}$， $\{(X_t, Y_t) \}$宽平稳或严平稳。

• 如果 $$\sigma^2(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) < \sigma^2(Y_t | \bar Y_t)$$ 则称$\{ X_t \}$是$\{ Y_t \}$的格兰格原因， 记作$X_t \Rightarrow Y_t$。 这不排除$\{ Y_t \}$也可以是$\{ X_t \}$的格兰格原因。
• 如果$X_t \Rightarrow Y_t$，而且$Y_t \Rightarrow X_t$， 则称互相有反馈关系， 记作$X_t \Leftrightarrow Y_t$。
• 如果 $$\sigma^2(Y_t | \bar Y_t, X_t, \bar X_t) < \sigma^2(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t)$$ 即除了过去的信息， 增加同时刻的$X_t$信息后对$Y_t$预测有改进， 则称$\{X_t \}$对$\{Y_t \}$有瞬时因果性。 这时$\{Y_t \}$对$\{X_t \}$也有瞬时因果性。
• 如果$X_t \Rightarrow Y_t$， 则存在最小的正整数$m$， 使得 $$\sigma^2(Y_t | \bar Y_t, X_{t-m}, X_{t-m-1}, \dots) < \sigma^2(Y_t | \bar Y_t, X_{t-m-1}, X_{t-m-2}, \dots)$$ 称$m$为因果性滞后值(causality lag)。 如果$m>1$， 这意味着在已有$Y_{t-1}, Y_{t-2}, \dots$和$X_{t-m}, X_{t-m-1}, \dots$的条件下， 增加$X_{t-1}$, , $X_{t-m+1}$不能改进对$Y_t$的预测。

例1.1 设$\{ \varepsilon_t, \eta_t \}$是相互独立的零均值白噪声列， $\text{Var}(\varepsilon_t)=1$, $\text{Var}(\eta_t)=1$, 考虑 $$\begin{aligned} Y_t =& X_{t-1} + \varepsilon_t \\ X_t =& \eta_t + 0.5 \eta_{t-1} \end{aligned}$$

用$L(\cdot|\cdot)$表示最优线性预测，则 $$\begin{aligned} & L(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) \\ =& L(X_{t-1} | X_{t-1}, \dots, Y_{t-1}, \dots) + L(\varepsilon_t | \bar Y_t, \bar X_t) \\ =& X_{t-1} + 0 \\ =& X_{t-1} \\ \sigma(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) =& \text{Var}(\varepsilon_t) = 1 \end{aligned}$$ 而 $$Y_t = \eta_{t-1} + 0.5\eta_{t-2} + \varepsilon_t$$ 有 $$\begin{aligned} \gamma_Y(0) = 2.25, \gamma_Y(1) = 0.5, \gamma_Y(k) = 0, k \geq 2 \end{aligned}$$ 所以$\{Y_t \}$是一个MA(1)序列， 设其方程为 $$Y_t = \zeta_t + b \zeta_{t-1}, \zeta_t \sim \text{WN}(0, \sigma_\zeta^2)$$ 可以解出 $$\begin{aligned} \rho_Y(1) =& \frac{\gamma_Y(1)}{\gamma_Y(0)} = \frac{2}{9} \\ b =& \frac{1 - \sqrt{1 - 4 \rho_Y^2(1)}}{2 \rho_Y(1)} \approx 0.2344 \\ \sigma_\zeta^2 =& \frac{\gamma_Y(1)}{b} \approx 2.1328 \end{aligned}$$ 于是 $$\begin{aligned} \sigma(Y_t | \bar Y_t) =& \sigma_\zeta^2 = 2.1328 \end{aligned}$$ 所以 $$\begin{aligned} \sigma(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) = 1 < 2.1328 = \sigma(Y_t | \bar Y_t) \end{aligned}$$ 即$X_t$是$Y_t$的格兰格原因。

反之， $X_t$是MA(1)序列， 有 $$\eta_t = \frac{1}{1 + 0.5 B} X_t = \sum_{j=0}^\infty (-0.5)^j X_{t-j}$$ 其中$B$是推移算子（滞后算子）。 于是 $$\begin{aligned} L(X_t | \bar X_t) =& L(\eta_t | \bar X_t) + 0.5 L(\eta_{t-1} | \bar X_t) \\ =& 0.5 \sum_{j=0}^\infty (-0.5)^j X_{t-1-j} \\ =& - \sum_{j=1}^\infty (-0.5)^j X_{t-j} \\ \sigma(X_t | \bar X_t) =& \text{Var}(X_t - L(X_t | \bar X_t)) \\ =& \text{Var}(\eta_t) = 1 \end{aligned}$$ 而 $$\begin{aligned} L(X_t | \bar X_t, \bar Y_t) =& L(\eta_t | \bar X_t, \bar Y_t) + 0.5 L(\eta_{t-1} | \bar X_t, \bar Y_t) \\ =& 0 + 0.5 L(\sum_{j=0}^\infty (-0.5)^j X_{t-1-j} | \bar X_t, \bar Y_t) \\ =& -\sum_{j=1}^\infty (-0.5)^j X_{t-j} \\ =& L(X_t | \bar X_t) \end{aligned}$$ 所以$Y_t$不是$X_t$的格兰格原因。

考虑瞬时因果性。 $$\begin{aligned} L(Y_t | \bar X_t, \bar Y_t, X_t) =& X_{t-1} + 0 (\text{注意}\varepsilon_t\text{与}\{X_s, \forall s\}\text{不相关} \\ =& L(Y_t | \bar X_t, \bar Y_t) \end{aligned}$$ 所以$X_t$不是$Y_t$的瞬时格兰格原因。

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例1.2 在例1.1中，如果模型改成 $$\begin{aligned} Y_t =& X_{t} + \varepsilon_t \\ X_t =& \eta_t + 0.5 \eta_{t-1} \end{aligned}$$ 有怎样的结果？

这时 $$Y_t = \varepsilon_t + \eta_t + 0.5 \eta_{t-1}$$ 仍有 $$\begin{aligned} \gamma_Y(0) = 2.25, \gamma_Y(1) = 0.5, \gamma_Y(k) = 0, k \geq 2 \end{aligned}$$ 所以$Y_t$还服从MA(1)模型 $$Y_t = \zeta_t + b \zeta_{t-1}, b \approx 0.2344, \sigma^2_\zeta \approx 2.1328$$

$$\begin{aligned} L(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) =& L(X_t | \bar Y_t, \bar X_t) + 0 \\ =& L(\eta_t | \bar Y_t, \bar X_t) + 0.5 L(\eta_{t-1} | \bar Y_t, \bar X_t) \\ =& 0 + 0.5 L(\sum_{j=0}^\infty (-0.5)^j X_{t-1-j} | \bar Y_t, \bar X_t) \\ =& - \sum_{j=1}^\infty (-0.5)^j X_{t-j} \\ =& X_t - \eta_t \\ \sigma(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) =& \text{Var}(\varepsilon_t + \eta_t) = 2 \end{aligned}$$ 而 $$\sigma(Y_t | \bar Y_t) = \sigma^2_\zeta \approx 2.1328 > \sigma(Y_t | \bar Y_t, \bar X_t) = 2$$ 所以$X_t$是$Y_t$的格兰格原因。

反之， $$\begin{aligned} L(X_t | \bar X_t, \bar Y_t) =& - \sum_{j=1}^\infty (-0.5)^j X_{t-j} \\ =& L(X_t | \bar X_t) \end{aligned}$$ 所以$Y_t$不是$X_t$的格兰格原因。

考虑瞬时因果性。 $$\begin{aligned} L(Y_t | \bar X_t, \bar Y_t, X_t) =& X_{t} + 0 (\text{注意}\varepsilon_t\text{与}\{X_s, \forall s\}\text{不相关} \\ =& X_t \\ \sigma(Y_t | \bar X_t, \bar Y_t, X_t) =& \text{Var}(\varepsilon) \\ =& 1 < 2 = \sigma(Y_t | \bar X_t, \bar Y_t) \end{aligned}$$ 所以$X_t$是$Y_t$的瞬时格兰格原因。

$$\begin{aligned} [aaa] \end{aligned}$$