2 Basic Topology

2.1 Cardinality

可數集的子集都會是可數集！

Theorem 2.1 Every infinite subset of a countable set \(A\) is countable.

Proof. 可數意味著可以列出來。假設 \(E \subset A\)，且 \(E\) 是 infinite set。那我們要證明的就是 \(E\) 是可以某種形式列出來的。把 \(x \in A\) 排成一個有 distinct elements 的 sequence \(\{x_n\}\)。建構一個 subsequence \(\{n_k\}\)：

  • 令 \(n_1\) 為使得 \(x_{n_1} \in E\) 的最小整數；
  • 以此類推，選取 \(n_1,\dots{},n_{k-1}\)，
  • 令 \(n_k\) 為大於 \(n_{k - 1}\) 而使得 \(x_{n_k} \in E\) 的最小整數。

接著，我們定義一個函數 \(f(k) = x_{n_k}\)，其中 \(k = 1, 2, \dots{}\)，我們就會發現 \(\mathbb{N}\) 與 \(E\) 之間為一對一且映成。

可數集的可數個聯集也會是可數集！

Theorem 2.2 Let \(\{ E_n\}\), \(n = 1, 2, 3, \dots{}\), be a sequence of countable sets, and put \[ S = \bigcup_{n = 1}^\infty E_n. \] Then \(S\) is countable.

Theorem 2.3 The collection of all sets is not a set.

Theorem 2.4 (Schröder–Bernstein Theorem) Assume there exists a 1–1 function \(f : X → Y\) and another 1–1 function \(g : Y → X\). There exists a 1–1, onto function \(h : X → Y\) and hence \(X ∼ Y\).

選擇公理（Axiom of Choice）有助於我們證明某些定理。

Axiom of Choice.

Let \(\{A_i\}_{i∈I}\) be a family of nonempty sets index by some (nonempty) set \(I\). Then there is a function \(f : I → \bigcup_{i∈I}A_i\) with \(f(i) ∈ A_i\) for all \(i ∈ I\). In other words “given a family of sets \(\{A_i\}_{i∈I}\) we can choose an element in each set \(A_i\).”

2.2 Metric Space

Definition 2.1 令 \(X\) 為一 metric space。以下所提到的點或集合都是 \(X\) 的元素或子集。

  1. Neighborhood. 點 \(p\) 的 neighborhood 為一集合，記做 \(N_r(p)\)。對於某些 \(r > 0\)，\(N_r(p)\) 包含了所有使得 \(d(p, q)<r\) 的 \(q\)；其中，\(r\) 是 \(N_r(p)\) 的半徑（radius）。

  2. Interior point. 如果存在一個 \(N_r(p)\) 使得 \(N_r(p)\subset E\)，則點 \(p\) 稱為 \(E\) 的 interior point。

  3. Open set. 如果 \(E\) 的所有點都是 \(E\) 的 interior point，則稱 \(E\) 是 open。

  4. Limit point. 如果所有 \(N_r(p)\) 都包含一個 \(q \neq p\)，使得 \(q \in E\)，則稱點 \(p\) 是 \(E\) 的 limit point。（Neighborhood 非空且不只有 \(p\)，\(\forall N_r(p) \cap E \neq \emptyset, \{p\}\)。）

  5. Isolated point. 如果點 \(p \in E\)，且 \(p\) 並非 \(E\) 的 limit points，則稱 isolated point。（\(\exists r > 0\) such that \(N_r(p) \cap E = \{p\}\).）

  6. Closed set. \(E\) 的所有 limit points 都屬於 \(E\) 的元素。

Example 2.1 \((a, b)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上 open；\([a, b]\) 在 \(\mathbb{R}\) 上則否。

Remark. 令任意 \(x \in (a,b)\)，\(r = \min\{b-x, x-a\} > 0\)。如此會發現，\(N_r(x) \subset (a,b)\)。因此，\((a, b)\) 所有的點都是 interior point，即 \((a,b)\) 在 \(\mathbb{R}\) 是 open set。另一方面，因為 \((a, b) \subset [a, b]\)，所以這些點仍都是 interior point，尚未確認的僅剩 \(a\)、\(b\) 兩點。考慮 \(b\)，對於所有 \(r > 0\)，我們都沒辦法找到 \(N_r(b) \subset [a, b]\)（總是會有一小塊凸出去），因此 \([a, b]\) 的所有點並非都是 interior point，即 \([a, b]\) 在 \(\mathbb{R}\) 上並非 open。

Example 2.2 \((a, b)\) 在 \(\mathbb{R}\) 的 limit point 為 \([a, b]\) 中的任一點。

Remark. 因為 \((a, b)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上 open；即 \(\forall p \in (a, b), \exists r > 0\) such that \(N_r(p) \subset (a, b)\)。而對於任意的 \(r_1 > 0\)， \[ N_{r_1}(p) \cap N_r(p) = N_{\min\{r_1, r\}}(p) \subset (a, b). \] 故，所有 \((a, b)\) 內的點都是 limit points。事實上，連 \(a\) 與 \(b\) 都是 \((a, b)\) 的 limit points。

Example 2.3 考慮一集合 \[ E = \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}. \] 該集合並非 open set，甚至集合中的每個點都是 isolated points。其唯一的 limit point 即 \(0\)。

Example 2.4 \((a, b)\) 不是 closed set，因為它有兩個 limit points \(a\) 與 \(b\) 並沒有落在 \((a, b)\) 裡頭，但是 open；\([a, b]\) 是 closed，但不是 open；\(E = \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}\) 不是 closed 也不是 open。

以下的定理串連了 open 與 closed。

Theorem 2.5 A set \(E\) is open iff \(E^c\) is closed.

Proof. 分成兩部份證明：

  1. 假設 \(E\) 為 open。

    令 \(x\) 為 \(E^c\) 的 limit point。根據 limit point 的定義，即 \(N_r^* (p) \cap E^c \neq \emptyset\)，故 \(x\) 的任意 neighborhood 必然包含 \(E^c\) 的點。如此，\(N_r(x) \nsubseteq E\)，即 \(x\) 並非 \(E\) 的 interior point。這樣就會發現，所有 limit point \(x\) 都在 \(E^c\) 裡頭，即 \(E^c\) 為 closed。

  2. 假設 \(E^c\) 為 closed。

    令 \(x \in E\)。因為 \(x \notin E^c\)，所以 \(x\) 並非 \(E^c\) 的 limit point。根據 limit point 定義的 negation，存在一個 \(N_r^*(x)\)，使得 \(N^*_r(x) \cap E^c = \emptyset\)，即 \(N_r^*(x) \subset E\)。如此表示，\(x\) 是 \(E\) 的 interior point，而 \(E\) 為 open。

以下的定理描述了 open set 與 closed set 的不同數量的聯集或交集的性質。

Theorem 2.6 令 \(X\) 為一 metric space：

  1. 對於所有 open sets 所成的集合 \(\{G_\alpha\}\)，\(\bigcup_\alpha G_\alpha\) 為 open set。

  2. 對於有限個 open sets 所成的集合 \(G_1, \dots{}, G_n\)，\(\bigcap_{i = 1}^n G_i\) 為 open set。

  3. 對於所有 closed sets 所成的集合 \(\{F_\alpha\}\)，\(\bigcap_\alpha F_\alpha\) 為 closed set。

  4. 對於有限個 closed sets 所成的集合 \(F_1, \dots{}, F_n\)，\(\bigcap_{i = 1}^n F_i\) 為 closed set。

Proof. 只要證明出 (a)、(b)，則 (c)、(d) 透過 DeMorgan’s Law 即得證：

  1. 令 \(x \in \bigcup_{\alpha}G_\alpha\)，則 \(x \in G_\alpha\) for some \(\alpha\)。因為該 \(G_\alpha\) 是 open set，故所有 \(E\) 的點都是 interior point，即存在 \(N_r(x) \subset G_\alpha\)，又 \(G_\alpha \subseteq \bigcup_\alpha G_\alpha\)，得 \[ N_r(x) \subset \bigcup_\alpha G_\alpha, \] 即 \(x\) 都會是 \(\bigcup_\alpha G_\alpha\) 的 interior point，故 \(\bigcup_\alpha G_\alpha\) 為 open set。

  2. 對於任意 \(x \in \bigcap_{i = 1}^n G_i\)，它在不同的 \(G_i\) 中都有 neighborhood 為 \(N_i\)，而有半徑 \(r_i\) 使得 \(N_i \subset G_i\)。如此，只要取 \[ r = \min \{r_1,\dots{},r_n \}, \] 就會讓 \(N_r(x) \subset G_i\)，就能落在所有 \(G_i\) 裡頭，所以 \(N_r(x) \subset \bigcap_{i = 1}^nG_i\)，如此得知 \(\bigcap_{i = 1}^nG_i\) 為 open。

  3. \(F_\alpha^c\) 為 open set，根據 (a)，\(\bigcup_\alpha F_\alpha^c\) 為 open set；故 \(\left(\bigcup_\alpha F_\alpha^c \right)^c = \bigcap_\alpha F_\alpha\) 為 closed set。

  4. \(F_i^c\) 為 open set，根據 (b)，\(\bigcap_{i = 1}^n F_i^c\) 為 open set；故 \(\left(\bigcap_{ i = 1}^n F_i^c\right)^c = \bigcup_{i = 1}^n F_i\) 為 closed set。