2 Basic Topology

2.1 Cardinality

可數集的子集都會是可數集！

Theorem 2.1 Every infinite subset of a countable set $A$ is countable.

Proof. 可數意味著可以列出來。假設 $E \subset A$，且 $E$ 是 infinite set。那我們要證明的就是 $E$ 是可以某種形式列出來的。把 $x \in A$ 排成一個有 distinct elements 的 sequence $\{x_n\}$。建構一個 subsequence $\{n_k\}$：

• 令 $n_1$ 為使得 $x_{n_1} \in E$ 的最小整數；
• 以此類推，選取 $n_1,\dots{},n_{k-1}$，
• 令 $n_k$ 為大於 $n_{k - 1}$ 而使得 $x_{n_k} \in E$ 的最小整數。

接著，我們定義一個函數 $f(k) = x_{n_k}$，其中 $k = 1, 2, \dots{}$，我們就會發現 $\mathbb{N}$ 與 $E$ 之間為一對一且映成。

可數集的可數個聯集也會是可數集！

Theorem 2.2 Let $\{ E_n\}$, $n = 1, 2, 3, \dots{}$, be a sequence of countable sets, and put $$S = \bigcup_{n = 1}^\infty E_n.$$ Then $S$ is countable.

Theorem 2.3 The collection of all sets is not a set.

Theorem 2.4 (Schröder–Bernstein Theorem) Assume there exists a 1–1 function $f : X → Y$ and another 1–1 function $g : Y → X$. There exists a 1–1, onto function $h : X → Y$ and hence $X ∼ Y$.

選擇公理（Axiom of Choice）有助於我們證明某些定理。

Axiom of Choice.

Let $\{A_i\}_{i∈I}$ be a family of nonempty sets index by some (nonempty) set $I$. Then there is a function $f : I → \bigcup_{i∈I}A_i$ with $f(i) ∈ A_i$ for all $i ∈ I$. In other words “given a family of sets $\{A_i\}_{i∈I}$ we can choose an element in each set $A_i$.”

2.2 Metric Space

Definition 2.1 令 $X$ 為一 metric space。以下所提到的點或集合都是 $X$ 的元素或子集。

1. Neighborhood. 點 $p$ 的 neighborhood 為一集合，記做 $N_r(p)$。對於某些 $r > 0$，$N_r(p)$ 包含了所有使得 $d(p, q)<r$ 的 $q$；其中，$r$ 是 $N_r(p)$ 的半徑（radius）。

2. Interior point. 如果存在一個 $N_r(p)$ 使得 $N_r(p)\subset E$，則點 $p$ 稱為 $E$ 的 interior point。

3. Open set. 如果 $E$ 的所有點都是 $E$ 的 interior point，則稱 $E$ 是 open。

4. Limit point. 如果所有 $N_r(p)$ 都包含一個 $q \neq p$，使得 $q \in E$，則稱點 $p$ 是 $E$ 的 limit point。（Neighborhood 非空且不只有 $p$，$\forall N_r(p) \cap E \neq \emptyset, \{p\}$。）

5. Isolated point. 如果點 $p \in E$，且 $p$ 並非 $E$ 的 limit points，則稱 isolated point。（$\exists r > 0$ such that $N_r(p) \cap E = \{p\}$.）

6. Closed set. $E$ 的所有 limit points 都屬於 $E$ 的元素。

Example 2.1 $(a, b)$ 在 $\mathbb{R}$ 上 open；$[a, b]$ 在 $\mathbb{R}$ 上則否。

Remark. 令任意 $x \in (a,b)$，$r = \min\{b-x, x-a\} > 0$。如此會發現，$N_r(x) \subset (a,b)$。因此，$(a, b)$ 所有的點都是 interior point，即 $(a,b)$ 在 $\mathbb{R}$ 是 open set。另一方面，因為 $(a, b) \subset [a, b]$，所以這些點仍都是 interior point，尚未確認的僅剩 $a$、$b$ 兩點。考慮 $b$，對於所有 $r > 0$，我們都沒辦法找到 $N_r(b) \subset [a, b]$（總是會有一小塊凸出去），因此 $[a, b]$ 的所有點並非都是 interior point，即 $[a, b]$ 在 $\mathbb{R}$ 上並非 open。

Example 2.2 $(a, b)$ 在 $\mathbb{R}$ 的 limit point 為 $[a, b]$ 中的任一點。

Remark. 因為 $(a, b)$ 在 $\mathbb{R}$ 上 open；即 $\forall p \in (a, b), \exists r > 0$ such that $N_r(p) \subset (a, b)$。而對於任意的 $r_1 > 0$， $$N_{r_1}(p) \cap N_r(p) = N_{\min\{r_1, r\}}(p) \subset (a, b).$$ 故，所有 $(a, b)$ 內的點都是 limit points。事實上，連 $a$ 與 $b$ 都是 $(a, b)$ 的 limit points。

Example 2.3 考慮一集合 $$E = \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}.$$ 該集合並非 open set，甚至集合中的每個點都是 isolated points。其唯一的 limit point 即 $0$。

Example 2.4 $(a, b)$ 不是 closed set，因為它有兩個 limit points $a$ 與 $b$ 並沒有落在 $(a, b)$ 裡頭，但是 open；$[a, b]$ 是 closed，但不是 open；$E = \{\frac{1}{n}:n\in \mathbb{N}\}$ 不是 closed 也不是 open。

以下的定理串連了 open 與 closed。

Theorem 2.5 A set $E$ is open iff $E^c$ is closed.

Proof. 分成兩部份證明：

1. 假設 $E$ 為 open。

   令 $x$ 為 $E^c$ 的 limit point。根據 limit point 的定義，即 $N_r^* (p) \cap E^c \neq \emptyset$，故 $x$ 的任意 neighborhood 必然包含 $E^c$ 的點。如此，$N_r(x) \nsubseteq E$，即 $x$ 並非 $E$ 的 interior point。這樣就會發現，所有 limit point $x$ 都在 $E^c$ 裡頭，即 $E^c$ 為 closed。

2. 假設 $E^c$ 為 closed。

   令 $x \in E$。因為 $x \notin E^c$，所以 $x$ 並非 $E^c$ 的 limit point。根據 limit point 定義的 negation，存在一個 $N_r^*(x)$，使得 $N^*_r(x) \cap E^c = \emptyset$，即 $N_r^*(x) \subset E$。如此表示，$x$ 是 $E$ 的 interior point，而 $E$ 為 open。

以下的定理描述了 open set 與 closed set 的不同數量的聯集或交集的性質。

Theorem 2.6 令 $X$ 為一 metric space：

1. 對於所有 open sets 所成的集合 $\{G_\alpha\}$，$\bigcup_\alpha G_\alpha$ 為 open set。

2. 對於有限個 open sets 所成的集合 $G_1, \dots{}, G_n$，$\bigcap_{i = 1}^n G_i$ 為 open set。

3. 對於所有 closed sets 所成的集合 $\{F_\alpha\}$，$\bigcap_\alpha F_\alpha$ 為 closed set。

4. 對於有限個 closed sets 所成的集合 $F_1, \dots{}, F_n$，$\bigcap_{i = 1}^n F_i$ 為 closed set。

Proof. 只要證明出 (a)、(b)，則 (c)、(d) 透過 DeMorgan’s Law 即得證：

1. 令 $x \in \bigcup_{\alpha}G_\alpha$，則 $x \in G_\alpha$ for some $\alpha$。因為該 $G_\alpha$ 是 open set，故所有 $E$ 的點都是 interior point，即存在 $N_r(x) \subset G_\alpha$，又 $G_\alpha \subseteq \bigcup_\alpha G_\alpha$，得 $$N_r(x) \subset \bigcup_\alpha G_\alpha,$$ 即 $x$ 都會是 $\bigcup_\alpha G_\alpha$ 的 interior point，故 $\bigcup_\alpha G_\alpha$ 為 open set。

2. 對於任意 $x \in \bigcap_{i = 1}^n G_i$，它在不同的 $G_i$ 中都有 neighborhood 為 $N_i$，而有半徑 $r_i$ 使得 $N_i \subset G_i$。如此，只要取 $$r = \min \{r_1,\dots{},r_n \},$$ 就會讓 $N_r(x) \subset G_i$，就能落在所有 $G_i$ 裡頭，所以 $N_r(x) \subset \bigcap_{i = 1}^nG_i$，如此得知 $\bigcap_{i = 1}^nG_i$ 為 open。

3. $F_\alpha^c$ 為 open set，根據 (a)，$\bigcup_\alpha F_\alpha^c$ 為 open set；故 $\left(\bigcup_\alpha F_\alpha^c \right)^c = \bigcap_\alpha F_\alpha$ 為 closed set。

4. $F_i^c$ 為 open set，根據 (b)，$\bigcap_{i = 1}^n F_i^c$ 為 open set；故 $\left(\bigcap_{ i = 1}^n F_i^c\right)^c = \bigcup_{i = 1}^n F_i$ 為 closed set。