Variáveis Aleatórias:

esperança e variância

Rosineide da Paz

Esperança e Variâcia

Motivação

Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

$\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}$

Seja a variável aleatória:

$X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}$

Qual é a esperança do ganho?

Motivação

Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

$\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}$

Seja a variável aleatória:

$X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}$

Qual é a esperança do ganho?

$p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}$

Motivação

Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

$\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}$

Seja a variável aleatória:

$X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}$

Qual é a esperança do ganho?

$p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}$

Representação na tabela.
X	P(x)
100	0.25
200	0.5
-500	0.25
Total	1

Motivação

Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

$\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}$

Seja a variável aleatória:

$X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}$

Qual é a esperança do ganho?

$p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}$

Representação na tabela.
X	P(x)	$x p(x)$
100	0.25	25
200	0.5	100
-500	0.25	-125
Total	1	0

Motivação

Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

$\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}$

Seja a variável aleatória:

$X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}$

Qual é a esperança do ganho?

$p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}$

Representação na tabela.
X	P(x)	$x p(x)$
100	0.25	25
200	0.5	100
-500	0.25	-125
Total	1	0

$E[X]=0$ , o ganho esperado é zero.

Esperança, Média ou Valor Esperado de uma v.a. Discreta

Denotada por $E(X)$ , é a soma dos produtos de todos os possíveis valores da v.a. pelos seus respectivos valores de probabilidades.
Se $X\in\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ , então:

$E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).$

Se $X\in\{x_1,x_2,\cdots \}$ , então:

$E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_i \cdot P(X=x_i).$

Propriedades da Esperança Matemática

Sejam $X$ e $Y$ variáveis aleatórias discretas e $a,c$ constantes, então:

$E[c]=c$ ;
$E[c.X] = c E[X]$ ;
$E[ X \pm Y] = E[X] \pm E[Y]$ ;
$E [aX \pm b] = a E[X] \pm b$ ;
$E[X - E[X]]= 0$ ;
$E[h(X)]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}h(x_i)\cdot P(X=x_i)$ , em que $h(X)$ é uma função de $X$ ;
se $X_1,X_2,\cdots,X_n$ são variáveis aleatórias, então $E[\sum_{i=1}^{n} X_i]=\sum_{i=1}^{n} E[X_i]$ .

Variância de uma v.a.

A variância de uma v.a. $X$ qualquer é a média dos quadrados dos desvios de $X$ em torno da sua esperança,
ou seja:

$\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]$

Da definição acima, decorre que:

$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.$
Se $X$ é um v.a. discreta com valores em $\{x_1,x_2,\cdots\}$ , então:

$E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).$

O desvio-padrão de $X$ é:

$\sigma=\sqrt{Var(X)}.$

Variância de uma v.a.

A variância de uma v.a. $X$ qualquer é a média dos quadrados dos desvios de $X$ em torno da sua esperança,
ou seja:

$\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]$

Da definição acima, decorre que:

$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.$
Se $X$ é um v.a. discreta com valores em $\{x_1,x_2,\cdots\}$ , então:

$E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).$

O desvio-padrão de $X$ é:

$\sigma=\sqrt{Var(X)}.$

Propriedades da Variância
$Var (c)= 0$ ;
$Var (c \cdot x) = c^2 Var(X)$ ;
$Var (aX \pm b) = a^2 Var (X)$ ;
$Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y) \pm 2 Cov (X,Y)$ , em que $Cov (X,Y) = E[XY] - E[X] E[Y]$ .
Se $X$ e $Y$ são independentes: $Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y).$

Exemplo

Um produtor vende pacotes com 15 sementes. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são idenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,95.

Obtenha a distribuição, média e variância da v.a. $X=\begin{cases}1 &\mbox{ se pacot. idenizado}\\ 0 &\mbox{se pacot. não idenizado } \\ \end{cases}$
Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão idenizados?
Apresente o desvio-padrão.

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, pg. 86.

Exemplo

Um produtor vende pacotes com 15 sementes. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são idenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,95.

a) Obtenha a distribuição, média e variância da v.a. $X=\begin{cases}1 &\mbox{ se pacot. idenizado}\\ 0 &\mbox{se pacot. não idenizado } \\ \end{cases}$

b) Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão idenizados?

c) Apresente o desvio-padrão.

Resolução: a)

$\begin{array}{rl}P(X=0)=&P(\mbox{todas germ.})+P(\mbox{1 não germ.})+P(\mbox{2 não germ.})\}\\=&\{(0,95)^{15}+15(0,95)^{14}(0,05)+\binom{15}{2}(0,95)^{13}(0,05)^2\}\\=&0,9637998\approx 0,96.& \end{array}\\$

$P(X=1)=1-P(X=0)\approx 0,036$

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, pg. 86.

Esperança: $E[X]=0 P(X=0)+1 P(X=1)=0,036.$

$E[X^2]=0^2P(X=0)+1^2 P(X=1)=0,036$

Variância: $\sigma^2=E[X^2]-(E[X])^2=(0,0384)-(0,0384)^2\approx 0,0384$

Desvio-padrão: $\sigma=\sqrt{\sigma^2}\approx 0,19$ .

b) Seja: $Y=$ “número de pacotes idenizados”

$Y=X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}$

$\begin{array}{rl}E[Y]=&E[X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}]=E[X_1]+E[X_2]+ \cdots+E[X_{2000}]\\ =&2000E[X]\\=&2000 \times 0,036\\=&72.\\ \end{array}\\$

$E[Y]=72.$

c) Considerando independência entre os $X$ ’s: $\sigma=\sqrt{Var(Y)}=\sqrt{Var(X_1+X_2+ \cdots+X_{2000})}$

$\sigma_Y=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)+ \cdots+Var(X_{2000}))}\approx 8,76.$