Esperança e Variâcia

Motivação

  • Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

Motivação

  • Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}\]

Motivação

  • Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}\]

Representação na tabela.
X P(x)
100 0.25
200 0.5
-500 0.25
Total 1

Motivação

  • Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}\]

Representação na tabela.
X P(x) \(x p(x)\)
100 0.25 25
200 0.5 100
-500 0.25 -125
Total 1 0

Motivação

  • Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por

\(\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}\)

Seja a variável aleatória:

\[X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}\]

  • Qual é a esperança do ganho?

\[p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-500\\ \end{cases}\]

Representação na tabela.
X P(x) \(x p(x)\)
100 0.25 25
200 0.5 100
-500 0.25 -125
Total 1 0
  • \(E[X]=0\), o ganho esperado é zero.

Esperança, Média ou Valor Esperado de uma v.a. Discreta

  • Denotada por \(E(X)\), é a soma dos produtos de todos os possíveis valores da v.a. pelos seus respectivos valores de probabilidades.

  • Se \(X\in\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\), então:

\[E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).\]

  • Se \(X\in\{x_1,x_2,\cdots \}\), então:

\[E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_i \cdot P(X=x_i).\]

Propriedades da Esperança Matemática

Sejam \(X\) e \(Y\) variáveis aleatórias discretas e \(a,c\) constantes, então:

  • \(E[c]=c\);
  • \(E[c.X] = c E[X]\);
  • \(E[ X \pm Y] = E[X] \pm E[Y]\);
  • \(E [aX \pm b] = a E[X] \pm b\);
  • \(E[X - E[X]]= 0\);
  • \(E[h(X)]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}h(x_i)\cdot P(X=x_i)\), em que \(h(X)\) é uma função de \(X\);
  • se \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) são variáveis aleatórias, então \(E[\sum_{i=1}^{n} X_i]=\sum_{i=1}^{n} E[X_i]\).

Variância de uma v.a.

  • A variância de uma v.a. \(X\) qualquer é a média dos quadrados dos desvios de \(X\) em torno da sua esperança,

  • ou seja:

\(\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]\)

  • Da definição acima, decorre que:

    \(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.\)

  • Se \(X\) é um v.a. discreta com valores em \(\{x_1,x_2,\cdots\}\), então:

\(E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).\)

  • O desvio-padrão de \(X\) é:

\(\sigma=\sqrt{Var(X)}.\)

Variância de uma v.a.

  • A variância de uma v.a. \(X\) qualquer é a média dos quadrados dos desvios de \(X\) em torno da sua esperança,

  • ou seja:

\(\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]\)

  • Da definição acima, decorre que:

    \(Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.\)

  • Se \(X\) é um v.a. discreta com valores em \(\{x_1,x_2,\cdots\}\), então:

\(E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).\)

  • O desvio-padrão de \(X\) é:

\(\sigma=\sqrt{Var(X)}.\)

  • Propriedades da Variância

  • \(Var (c)= 0\);

  • \(Var (c \cdot x) = c^2 Var(X)\);

  • \(Var (aX \pm b) = a^2 Var (X)\);

  • \(Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y) \pm 2 Cov (X,Y)\), em que \(Cov (X,Y) = E[XY] - E[X] E[Y]\).

  • Se \(X\) e \(Y\) são independentes: \(Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y).\)

Exemplo

  • Um produtor vende pacotes com 15 sementes. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são idenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,95.

  1. Obtenha a distribuição, média e variância da v.a. \[X=\begin{cases}1 &\mbox{ se pacot. idenizado}\\ 0 &\mbox{se pacot. não idenizado } \\ \end{cases}\]

  2. Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão idenizados?

  3. Apresente o desvio-padrão.

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, pg. 86.

Exemplo

  • Um produtor vende pacotes com 15 sementes. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são idenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,95.

a) Obtenha a distribuição, média e variância da v.a. \[X=\begin{cases}1 &\mbox{ se pacot. idenizado}\\ 0 &\mbox{se pacot. não idenizado } \\ \end{cases}\]

b) Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão idenizados?

c) Apresente o desvio-padrão.

Resolução: a)

\(\begin{array}{rl}P(X=0)=&P(\mbox{todas germ.})+P(\mbox{1 não germ.})+P(\mbox{2 não germ.})\}\\=&\{(0,95)^{15}+15(0,95)^{14}(0,05)+\binom{15}{2}(0,95)^{13}(0,05)^2\}\\=&0,9637998\approx 0,96.& \end{array}\\\)

\(P(X=1)=1-P(X=0)\approx 0,036\)

Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, pg. 86.

Esperança: \(E[X]=0 P(X=0)+1 P(X=1)=0,036.\)

\(E[X^2]=0^2P(X=0)+1^2 P(X=1)=0,036\)

Variância: \(\sigma^2=E[X^2]-(E[X])^2=(0,0384)-(0,0384)^2\approx 0,0384\)

Desvio-padrão:\(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\approx 0,19\).

b) Seja: \(Y=\)“número de pacotes idenizados”

\(Y=X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}\)

\(\begin{array}{rl}E[Y]=&E[X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}]=E[X_1]+E[X_2]+ \cdots+E[X_{2000}]\\ =&2000E[X]\\=&2000 \times 0,036\\=&72.\\ \end{array}\\\)

\(E[Y]=72.\)

c) Considerando independência entre os \(X\)’s: \(\sigma=\sqrt{Var(Y)}=\sqrt{Var(X_1+X_2+ \cdots+X_{2000})}\)

\(\sigma_Y=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)+ \cdots+Var(X_{2000}))}\approx 8,76.\)