Variáveis Aleatórias:
distribuição, esperança e variância
Rosineide da Paz
Variáveis Aleatórias
Aqui são abordados os seguintes temas:
- Definição de Variável Aleatória (v.a.);
- Variável Aleatória Discreta;
- Distribuição de uma v.a. discreta;
- Função de Probabilidade;
- Função de Distribuição Acumulada.
Variável Aleatória
Diagrama ilustrativo para uma variável aleatória discreta.
Função dos eventos que assume valores na reta.
Possibilita a obtenção de valores de probabilidades induzidas aos números.
Esses valores formam a distribuição de probabilidades da função: variável aleatória.
Exemplo: Mensagens são enviadas por um sevidor e podem resultar em erro com probabilidade de 0,1. Se 2 mensagens são enviadas de forma independente, qual a probabilidade de ocorrer algum erro nesse envio?
Variável Aleatória Discreta e sua distribuição de probabilidade
A variável aleatória é dita ser discreta se o conjunto de valores possíveis para essa v.a. é enumerável (contável).
Exemplo: Considere uma urna com 5 bolas brancas e 10 azuis Seja o experimento: retirar ao acaso e com reposição 3 bolas da urna. Seja X = “número de bolas azuis sorteadas”.
(a) Qual é o espaço das amostras de X?
(b) Qual é a distribuição de X?
Função de Probabilidade
- Função de Probabilidade é a função que associa a cada possível valor da variável X um valor de probabilidade.
Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
Ω={CC,CK,KC,KK}
Seja a variável aleatória X=“número de caras”.
Qual é o espaço das amostras de X?
Função de Probabilidade
- É a função que associa a cada possível valor da variável X um valor de probabilidade.
Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
Ω={CC,CK,KC,KK}
Seja a variável aleatória X=“número de caras”.
A função de probabilidade de X é dada por: p(x)={1/4se x=21/2se x=11/4se x=0
Função de Probabilidade
- É a função que associa a cada possível valor da variável X um valor de probabilidade.
Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
Ω={CC,CK,KC,KK}
Seja a variável aleatória X=“número de caras”.
A função de probabilidade de X é dada por: p(x)={1/4se x=21/2se x=11/4se x=0
Gráfico:
Função de Probabilidade
- É a função que associa a cada possível valor da variável X um valor de probabilidade.
Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
Ω={CC,CK,KC,KK}
Seja a variável aleatória X=“número de caras”.
A função de probabilidade de X é dada por: p(x)={1/4se x=21/2se x=11/4se x=0
Gráfico:
Propriedaddes da Função de Probabilidade
A função de probabilidade obedece as seguintes propriedades.
0≤p(xi)≤1 para todo i=1,2,....
Se a sequência x1,x2,... inclui todos os possíveis valores de X, então ∞∑i=1p(xi)=1.
Se X tem uma distribuição discreta, então
P(X∈I)=∑xi∈Ip(xi), para qualquer intervalo I⊂R.
Função de Distribuição Acumulada
- A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta X é definida como
F(x)=P(X⩽
para todo x \in \mathbb{R}.
Função de Distribuição Acumulada
- A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta X é definida como
F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),
para todo x \in \mathbb{R}.
- Exemplo
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases}
Função de Distribuição Acumulada
- A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta X é definida como
F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),
para todo x \in \mathbb{R}.
- Exemplo
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases} - FDA ?
Função de Distribuição Acumulada
- A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta X é definida como
F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),
para todo x \in \mathbb{R}.
- Exemplo
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases} - FDA ?
F(x)=\begin{cases}0&\mbox{se } x<0\\ 1/4&\mbox{se } 0\leq x <1\\3/4&\mbox{se } 1 \leq x< 2\\1&\mbox{se } 2 \leq x\\ \end{cases}
Função de Distribuição Acumulada
- A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta X é definida como
F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),
para todo x \in \mathbb{R}.
- Exemplo
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases} - FDA ?
F(x)=\begin{cases}0&\mbox{se } x<0\\ 1/4&\mbox{se } 0\leq x <1\\3/4&\mbox{se } 1 \leq x< 2\\1&\mbox{se } 2 \leq x\\ \end{cases}
Função de Distribuição Acumulada
- A Função de distribuição acumulada (f.d.a ou FDA) de uma v.a. discreta X é definida como
F(x)=P(X\leqslant x) = \sum_{x_i \leqslant x} p(x_i),
para todo x \in \mathbb{R}.
- Exemplo
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=0\\ 1/2&\mbox{se } x=1\\1/4&\mbox{se } x=2\\ \end{cases} - FDA ?
F(x)=\begin{cases}0&\mbox{se } x<0\\ 1/4&\mbox{se } 0\leq x <1\\3/4&\mbox{se } 1 \leq x< 2\\1&\mbox{se } 2 \leq x\\ \end{cases}
Esperança, Média ou Valor Esperado de uma v.a. Discreta
Denotada por E(X), é a soma dos produtos de todos os possíveis valores da v.a. pelos seus respectivos valores de probabilidades.
Se X\in\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}, então:
E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).
- Se X\in\{x_1,x_2,\cdots \}, então:
E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}x_i \cdot P(X=x_i).
Exemplo
- E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).
- Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}
Seja a variável aleatória:
X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-500 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}
- Qual é a esperança do ganho?
Exemplo
- E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).
- Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}
Seja a variável aleatória:
X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}
- Qual é a esperança do ganho?
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}
Exemplo
- E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).
- Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}
Seja a variável aleatória:
X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}
- Qual é a esperança do ganho?
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}
| X | P(x) |
|---|---|
| 100 | 0.25 |
| 200 | 0.5 |
| -500 | 0.25 |
| Total | 1 |
Exemplo
- E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).
- Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}
Seja a variável aleatória:
X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}
- Qual é a esperança do ganho?
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}
| X | P(x) | x p(x) |
|---|---|---|
| 100 | 0.25 | 25 |
| 200 | 0.5 | 100 |
| -500 | 0.25 | -125 |
| Total | 1 | 0 |
Exemplo
- E(X)= \mu_X = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot P(X=x_i).
- Exemplo: Lançam-se duas moedas honestas e observa-se suas faces superiores. O espaço amostral é dados por
\Omega=\{CC,CK,KC,KK\}
Seja a variável aleatória:
X=\begin{cases}100 \mbox{ reais}&\mbox{se \{CC\}}\\ \mbox{ 200 reais}&\mbox{se \{CK,KC\}} \\-300 \mbox{ reais}&\mbox{se } \{ KK\}\\ \end{cases}
- Qual é a esperança do ganho?
p(x)=\begin{cases}1/4&\mbox{se } x=100\\ 1/2&\mbox{se } x=200\\1/4&\mbox{se } x=-300\\ \end{cases}
| X | P(x) | x p(x) |
|---|---|---|
| 100 | 0.25 | 25 |
| 200 | 0.5 | 100 |
| -500 | 0.25 | -125 |
| Total | 1 | 0 |
- E[X]=0, o ganho esperado é zero.
Propriedades da Esperança Matemática
Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas e a,c constantes, então:
- E[c]=c;
- E[c.X] = c E[X];
- E[ X \pm Y] = E[X] \pm E[Y];
- E [aX \pm b] = a E[X] \pm b;
- E[X - E[X]]= 0;
- E[h(X)]=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}h(x_i)\cdot P(X=x_i), em que h(X) é uma função de X;
- se X_1,X_2,\cdots,X_n são variáveis aleatórias, então E[\sum_{i=1}^{n} X_i]=\sum_{i=1}^{n} E[X_i].
Probelma dos pontos
Dois jogadores com mesma habilidade jogam partidas de xadrez. O jogador que alcançar o limite de 5 vitórias ganha o jogo e recebe um prêmio em dinheiro de 1000 reais. O jogo é interrompido por motivos alheios aos dois jogadores, em um momento em que o jogador 1 está com 4 vitórias e o jogador 2 está com 3. Como dividir o prêmio?
Variância de uma v.a.
A variância de uma v.a. X qualquer é a média dos quadrados dos desvios de X em torno da sua esperança,
ou seja:
\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]
Da definição acima, decorre que:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.
Se X é um v.a. discreta com valores em \{x_1,x_2,\cdots\}, então:
E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).
- O desvio-padrão de X é:
\sigma=\sqrt{Var(X)}.
Variância de uma v.a.
A variância de uma v.a. X qualquer é a média dos quadrados dos desvios de X em torno da sua esperança,
ou seja:
\sigma^2=Var(X)=E[\left(X-E[X]\right)^2]
Da definição acima, decorre que:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2.
Se X é um v.a. discreta com valores em \{x_1,x_2,\cdots\}, então:
E[X^2]=\sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p(x_i).
- O desvio-padrão de X é:
\sigma=\sqrt{Var(X)}.
Propriedades da Variância
Var (c)= 0;
Var (c \cdot x) = c^2 Var(X);
Var (aX \pm b) = a^2 Var (X);
Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y) \pm 2 Cov (X,Y), em que Cov (X,Y) = E[XY] - E[X] E[Y].
Se X e Y são independentes: Var (X \pm Y) = Var(X) + Var(Y).
Exemplo
- Mensagens são enviadas a partir de um servidor com probabilidade 0,99 de chegar sem erro. Se 50 mensagens são enviadas, qual é o número esperado de mensagens que chegam com erro? Qual é o desvio-padrão do número de mensagens que chegam com erro?
Exemplo
- Um produtor vende pacotes com 15 sementes. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são idenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 0,95.
Obtenha a distribuição, média e variância da v.a. X=\begin{cases}1 &\mbox{ se pacot. idenizado}\\ 0 &\mbox{se pacot. não idenizado } \\ \end{cases}
Se o produtor vende 2000 pacotes, qual o número esperado de pacotes que serão idenizados?
Apresente o desvio-padrão.
Considerando independência entre os X’s: \sigma=\sqrt{Var(Y)}=\sqrt{Var(X_1+X_2+ \cdots+X_{2000})}
\sigma_Y=\sqrt{Var(X_1)+Var(X_2)+ \cdots+Var(X_{2000}))}\approx 8,76.
Fonte: Morettin & Bussab, Estatística Básica, pg. 86.
\begin{array}{rl}P(X=0)=&P(\mbox{todas germ.})+P(\mbox{1 não germ.})+P(\mbox{2 não germ.})\}\\=&\{(0,95)^{15}+15(0,95)^{14}(0,05)+\binom{15}{2}(0,95)^{13}(0,05)^2\}\\=&0,9637998\approx 0,96.& \end{array}\\
P(X=1)=1-P(X=0)\approx 0,036
Esperança: E[X]=0 P(X=0)+1 P(X=1)=0,036.
E[X^2]=0^2P(X=0)+1^2 P(X=1)=0,036
Variância: \sigma^2=E[X^2]-(E[X])^2=(0,0384)-(0,0384)^2\approx 0,0384
Desvio-padrão:\sigma=\sqrt{\sigma^2}\approx 0,19.
Seja: Y=“número de pacotes idenizados”
Y=X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}
\begin{array}{rl}E[Y]=&E[X_1+X_2+ \cdots+X_{2000}]=E[X_1]+E[X_2]+ \cdots+E[X_{2000}]\\ =&2000E[X]\\=&2000 \times 0,036\\=&72.\\ \end{array}\\
E[Y]=72.