Variáveis Aleatórias Contínuas:
FDP, FDA, Esperança e Variância.
Rosineide da Paz
Objetivos
Nessa parte do conteúdo, trataremos dos seguinte temas.
Distribuição de uma variável aleatória contínua.
Esperança e Variância;
Modelo Exponencial;
Modelo Normal.
V.A. Contínua e suas distribuições
Variável Aleatória Contínua
Uma variável aleatória (absolutamente) contínua X assume valores em um intervalo da reta (conjunto não enumerável de valores).
São exemplos de variáveis aleatórias contínuas:
- o tempo de duração de um vídeo escolhido de forma aleatória numa plataforma de streaming;
- a altura da água em uma represa;
- comprimento de parafusos em uma linha de produção;
- pesos de bebês ao nascer;
- o tempo de vida de uma lâmpada.
Distribuição de Probabilidade de uma V.A. Contínua
A distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua é dada pela coleção de probabilidades associadas aos intervalos mensuráveis da reta.
Ou seja, se X é uma v.a. contínua, sua distribuição é dada por:
P[X∈(a,b)], ∀ (a,b)⊂R.
- Para obtenção desses valores de probabilidades, deve-se obter uma função positiva, de modo que a soma da área abaixo de sua curva seja igual a 1.
Exemplo: Os dados apresentados no histograma são observações de rpm (rotação por minuto), de um forno rotativo em uma fábrica de cimento, coletados a cada 30 segundos durante um dia de operação.
Distribuição de Probabilidade de uma V.A. Contínua
A distribuição de probabilidade de uma v.a. contínua é dada pela coleção de probabilidades associadas aos intervalos mensuráveis da reta.
Ou seja, se X é uma v.a. contínua, sua distribuição é dada por:
P[X∈(a,b)], ∀ (a,b)⊂R.
Para obtenção desses valores de probabilidades, deve-se obter uma função positiva, de modo que a soma da área abaixo de sua curva seja igual a 1.
Na prática, precisamos da função que descreve os dados, para obter valores de probabilidades da v.a. em questão.
Exemplo: Os dados apresentados no histograma são observações do torque necessário para girar um forno rotativo em uma fábrica de cimento, coletados a cada 30 segundos durante um dia de operação.
FDP
Representação gráfica
Função densidade de probabilidade (fdp)
Definição
A v.a. X tem uma distribuição de probabilidades contínua se existe uma função não-negativa f:R→[0,∞) que tenha a propriedade de que, para qualquer conjunto (a,b)⊂R,
P(X∈(a,b))=P(a<X<b)=∫baf(x)dx.
A função f é chamada de função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória X.
A probabilidade de que X esteja no intervalo (a,b) pode ser obtida integrando a função densidade de probabilidade ao longo do conjunto (a,b)⊂R.
A definição acima é válida somente para os conjuntos denominados mensuráveis de R,
no entanto, esses conjuntos incluem todos os conjuntos de interesse prático.
Portanto, aqui, a preocupação com essas questões técnicas não é necessária.
Propriedades da função densidade de probabilidade
- f(x)⩾ para todo x \in \mathbb{R};
- P(-\infty<X<\infty)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1.
- Se a=b, então P(a\leq X \leq a)=\int_{a}^{a}f(x)dx=0
Pela propriedade (c), vemos que a inclusão ou não dos extremos de um intervalo,
é irrelevante para obtenção da probabilidade.
Ou seja:
P(a\leq X\leq b)=P(a<X<b)=\int_{a}^{b}f(x)dx.
FDA
Função de Distribuição Acumulada (FDA)
Considere o intervalo I=(-\infty,c], supondo que f(y) seja a f.d.p. da v.a. Y, a sua função de distribuição acumulada (FDA) é: F(k)=P(Y \leq k)= \int_{-\infty}^{k}f(y)dy, para todo k \in \mathbb{R}.
- A probabilidade da v.a. Y estar em um intervalo [a,k] é dada por: P(a<Y<k)=P(a\leq Y \leq k)= F(k)-F(a).
## [1] 0.1024
Exemplo
Seja a função:
f(x)=c(x^2+x),\mbox{ se }0\leq x \leq 1; \mbox{ e } 0 \mbox{ caso contrário.}
Encontre c de modo que f(x) seja uma função densidade de probabilidade de alguma variável aleatória X, em seguida obtenha o que se pede.
A FDA:
Usando a FDA o valor P(0,5<X<0,6).
Exemplo
Seja a função:
f(x)=c(x^2+x),\mbox{ se }0\leq x \leq 1; \mbox{ e } 0 \mbox{ caso contrário.}
Encontre c de modo que f(x) seja uma função densidade de probabilidade de alguma variável aleatória X, em seguida obtenha o que se pede.
A FDA: F(k) = 6\frac{k^3}{15}+6\frac{k^2}{10}.
Usando a FDA o valor P(0,5<X<0,6)=0,1024.
Esperança e Variância de uma v.a. Contínua
Se Y é uma v.a. contínua com f.d.p. f(y), então sua esperança é dada por:
E(Y) = \mu = \int_{-\infty}^{\infty} y f(y)dy. - Se a integral não for finita, dizemos que a distribuição não tem esperança.
- A variância é dada por:
Var(Y) = \sigma^2=E(Y^2)- E(Y)^2,
em que
E(Y^2) = \int_{-\infty}^{\infty} y^2 f(y)dy. - Todas as propriedades válidas para a esperança e a variância de uma v.a. discreta, também valem para o caso contínuo.
Exemplo
Seja a função de densidade de probabilidade da v.a. X:
f(x)= \frac{6}{5}(x^2+x),\mbox{ se }0\leq x \leq 1; \mbox{ e } 0 \mbox{ caso contrário.}
Obtenha a esperança e a variância de X a partir dessa densidade.
Exemplo
Seja a função de densidade de probabilidade da v.a. X:
f(x)= \frac{6}{5}(x^2+x),\mbox{ se }0\leq x \leq 1; \mbox{ e } 0 \mbox{ caso contrário.}
Obtenha a esperança e a variância de X a partir dessa densidade.
E[X]=0,7.
E[X^2]=0,54.
Var(X)=E[X^2]-E[X]^2=0,54-(0,7)^2=0,05
Desvio-padrão: \sqrt{0,05}=0,2236.
Exemplo
Suponha que o tempo gasto por um algoritmo para realizar uma tarefa é uma variável aleatória Y contínua, cuja frequência pode ser descrita por:
f(y) = \left\{ \begin{array}{cc} 2y^2 & \mbox{se } 0\leq y<1;\\ 4y-2y^2 & \mbox{se } 1\leq y<2;\\ 0 & \mbox{ se } y \notin [0,2).\end{array} \right.
Verifique se a f(x) é uma f.d.p., caso seja necessário, encontre a constante normalizadora e faça a correção para obter os valores de probabilidades.- P(0,5<Y<1,5)
- P(0<Y<1)
Exemplo
Obtenha a esperança e a variância da variável dada no exemplo anterior, em que a densidade é dada por:
f(y) = \left\{ \begin{array}{cc} y^2 & \mbox{se } 0\leq y<1;\\ 2y-y^2 & \mbox{se } 1\leq y<2;\\ 0 & \mbox{ se } y \notin [0,2).\end{array} \right.