Inferência Estatística

Teste de Hipóteses

Rosineide da Paz

Teste Estatístico de Hipóteses

Hipóteses

Monta-se uma hipótese principal (hipótese nula)

$H_0: \theta=\theta_0$

em que $\theta$ é uma característica da população.

Exemplos:

proporção populacional;
média populacional;
variância da população;
distribuição da população;
homogeneidade;
entre outros.

Ou seja, é feita uma afirmação sobre uma característica.

Obtém-se uma estatística para testar $H_0$ .
Decide-se sobre rejeitar ou não essa hipótese.
Caso $H_0$ seja rejeitada, sua hipótese complementar (alternativa) é considerada como verdadeira.
Então, o teste deve ser dicotômico, com apenas duas possibilidades.
A hipótese alternativa é normalmente denotada por $H_a$ ou $H_1$ .
Aqui denotaremos por $H_a$ .

Exemplo de aplicação

Um tipo de cabo de aço é fabricado de modo que sua resistência seja uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média de 12 kgf e desvio-padrão de 5 kgf.
O controle de qualidade decide analisar a qualidade dos cabos produzidos.
Para isto, seleciona uma amostra aleatória de tamanho 15, que forneceu os seguintes valores:

3.89

8.56

9.79

10.98

8.78

6.43

14.92

7.69

11.77

9.04

12.8

7.35

7.64

19.86

$\mu_0$	$\overline{x}_{obs}$	$\sigma$
12	10.17	5

O que dizer sobre a resistência, tem mesmo média $\mu_0$ ?

Realização de um teste de hipóteses para a média da população

Para realização de um teste de hipóteses para a média da população, $\mu$ ,
deve-se formular duas hipóteses:
- hipótese nula $H_0$ e
- hipótese alternativa $H_a$ .
Se $\mu_0$ é um valor suposto para a média da população,
então podem ocorrer os seguintes testes.

- Teste bilateral: $H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\neq\mu_0$ - Teste unilateral a esquerda: $H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu < \mu_0$

Teste unilateral a direita: $H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu > \mu_0$

Teste bilateral usando o Valor de p (p-valor)

- Primeiro devemos formular as hipóteses

$H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\neq\mu_0$

Se a distância $|\mu_0-\overline{X}|$ for grande, rejeitamos a hipótese $H_0$ e ficamos com $H_a$ .
Caso contrário, não rejeitamos $H_0$ , concluíndo que é plausível a afirmação $\mu=\mu_0$ .
Como avaliar a distância entre a média proposta e a média amostral?
Deve-se calcular a probabilidade de se ter valores mais extremos que $\overline{X}$ , sob $H_0$ .
$P(\overline{X}>\overline{x}_{obs})$ ou $P(\overline{X}< \overline{x}_{obs})$ .

Sob a hipótese $H_0$ : $\overline{X} \sim N(12,\frac{5^2}{15})$ .

Valor de P

obter o valor

$P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})$ se

$\overline{x}_{obs}<\mu_0$ ou

obter o valor

$P=P(\overline{X}>\overline{x}_{obs})$ se

$\overline{x}_{obs}>\mu_0$

Valor de P

Para tomar a decisão com base no valor de P, deve-se fixar um nível de significância $\alpha$ para comparação com esse valor.

Para um teste bilateral, o valor de $\alpha$ é dividido entre as caldas da distribuição.

Comparação

Valor P:

$P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})$

Valor P:

$P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})$

Decisão

O nível de significância $\alpha$ , em geral, é um dos valores: 0,1;0,05;0,02;0,01.
Se $P < \alpha/2$ , rejeita-se $H_0$ .

Decisão com base nos quantis

- Para tomar a decisão com base nos quantis, deve-se obter um intervalo de confiança em torno de $\mu_0$ .

$\mu_0 \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
A hipótese $H_0$ é rejeitada se $\overline{x}_{obs} \notin \left[\mu_0 - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \mu_0+ Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]$ .

Essa região é chamada de Região de Não Rejeição.

O complementar dessa região é chamada de Região Crítica.

- Se $H_0$ não é aceita pode ser cometido o erro do tipo 1: - rejeitar $H_0$ verdadeira:

$P(\mbox{ rejetar } H_0 |\mbox{ verdadeira}) = \alpha$ - não rejeitar $H_0$ falsa, erro do tipo 2:

a probabilidade de não rejeitar $H_0$ falsa é mais complidada de ser calculada.

Em geral o erro do tipo 2 é analisado por meio de uma função, denomidada “função poder do teste”, em que se deseja equilibrar esses dois tipos de erros.

Testes unilaterais

Se o teste é unilateral, deve-se considerar o valor completo do nível de significância para decidir sobre se rejeita ou não $H_0$ .
Ou seja, o valor $\alpha$ não deve ser dividido por 2, pois o nível é considerado apenas para um lado da distribuição da estatística.
Outra consideração a se fazer, é sobre a distribuição da estatística.

Se o teste é para a média, tem-se o seguinte.

Se a variância é conhecida, a distribuição da estatística é normal (caso 1).
Se a variância é desconhecida e a amostra é grande, a distribuição da estatística é normal (caso 2).
Se a variância é desconhecida e a amostra é pequena, deve-se ter distribuição normal para a população e, nesse caso, a distribuição da estatística é t de Student (caso 3).