Teste Estatístico de Hipóteses

Hipóteses

Monta-se uma hipótese principal (hipótese nula)

  • \(H_0: \theta=\theta_0\)

em que \(\theta\) é uma característica da população.

Exemplos:

  • proporção populacional;

  • média populacional;

  • variância da população;

  • distribuição da população;

  • homogeneidade;

  • entre outros.

Ou seja, é feita uma afirmação sobre uma característica.

  • Obtém-se uma estatística para testar \(H_0\).

  • Decide-se sobre rejeitar ou não essa hipótese.

  • Caso \(H_0\) seja rejeitada, sua hipótese complementar (alternativa) é considerada como verdadeira.

  • Então, o teste deve ser dicotômico, com apenas duas possibilidades.

  • A hipótese alternativa é normalmente denotada por \(H_a\) ou \(H_1\).

  • Aqui denotaremos por \(H_a\).

Exemplo de aplicação

  • Um tipo de cabo de aço é fabricado de modo que sua resistência seja uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média de 12 kgf e desvio-padrão de 5 kgf.

  • O controle de qualidade decide analisar a qualidade dos cabos produzidos.

  • Para isto, seleciona uma amostra aleatória de tamanho 15, que forneceu os seguintes valores:

3.89 8.56 9.79 10.98 8.78 6.43 14.92 7.69 13 11.77 9.04 12.8 7.35 7.64 19.86
\(\mu_0\) \(\overline{x}_{obs}\) \(\sigma\)
12 10.17 5

O que dizer sobre a resistência, tem mesmo média \(\mu_0\)?

Realização de um teste de hipóteses para a média da população

  • Para realização de um teste de hipóteses para a média da população, \(\mu\),

  • deve-se formular duas hipóteses:

    • hipótese nula \(H_0\) e

    • hipótese alternativa \(H_a\).

  • Se \(\mu_0\) é um valor suposto para a média da população,

  • então podem ocorrer os seguintes testes.

- Teste bilateral: \[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\neq\mu_0\] - Teste unilateral a esquerda: \[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu < \mu_0\]

  • Teste unilateral a direita: \[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu > \mu_0\]

Teste bilateral usando o Valor de p (p-valor)

- Primeiro devemos formular as hipóteses

\[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\neq\mu_0\]

  • Se a distância \(|\mu_0-\overline{X}|\) for grande, rejeitamos a hipótese \(H_0\) e ficamos com \(H_a\).

  • Caso contrário, não rejeitamos \(H_0\), concluíndo que é plausível a afirmação \(\mu=\mu_0\).

  • Como avaliar a distância entre a média proposta e a média amostral?

  • Deve-se calcular a probabilidade de se ter valores mais extremos que \(\overline{X}\), sob \(H_0\).

  • \(P(\overline{X}>\overline{x}_{obs})\) ou \(P(\overline{X}< \overline{x}_{obs})\).

  • Sob a hipótese \(H_0\): \(\overline{X} \sim N(12,\frac{5^2}{15})\).

Valor de P

  • obter o valor \(P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})\) se \(\overline{x}_{obs}<\mu_0\) ou

  • obter o valor \(P=P(\overline{X}>\overline{x}_{obs})\) se \(\overline{x}_{obs}>\mu_0\)

    • Valor de P

    Para tomar a decisão com base no valor de P, deve-se fixar um nível de significância \(\alpha\) para comparação com esse valor.

    • Para um teste bilateral, o valor de \(\alpha\) é dividido entre as caldas da distribuição.

    Comparação

  • Valor P: \(P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})\)

  • Valor P: \(P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})\)

    • Decisão

    • O nível de significância \(\alpha\), em geral, é um dos valores: 0,1;0,05;0,02;0,01.

    • Se \(P < \alpha/2\), rejeita-se \(H_0\).

    Decisão com base nos quantis

    - Para tomar a decisão com base nos quantis, deve-se obter um intervalo de confiança em torno de \(\mu_0\).

    • \(\mu_0 \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

    • A hipótese \(H_0\) é rejeitada se \(\overline{x}_{obs} \notin \left[\mu_0 - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \mu_0+ Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\).

  • Essa região é chamada de Região de Não Rejeição.
  • O complementar dessa região é chamada de Região Crítica.

    • - Se \(H_0\) não é aceita pode ser cometido o erro do tipo 1: - rejeitar \(H_0\) verdadeira:

    \[P(\mbox{ rejetar } H_0 |\mbox{ verdadeira}) = \alpha\] - não rejeitar \(H_0\) falsa, erro do tipo 2:

    • a probabilidade de não rejeitar \(H_0\) falsa é mais complidada de ser calculada.

    Em geral o erro do tipo 2 é analisado por meio de uma função, denomidada “função poder do teste”, em que se deseja equilibrar esses dois tipos de erros.

    Testes unilaterais

    • Se o teste é unilateral, deve-se considerar o valor completo do nível de significância para decidir sobre se rejeita ou não \(H_0\).
    • Ou seja, o valor \(\alpha\) não deve ser dividido por 2, pois o nível é considerado apenas para um lado da distribuição da estatística.
    • Outra consideração a se fazer, é sobre a distribuição da estatística.

    • Se o teste é para a média, tem-se o seguinte.
      • Se a variância é conhecida, a distribuição da estatística é normal (caso 1).
      • Se a variância é desconhecida e a amostra é grande, a distribuição da estatística é normal (caso 2).
      • Se a variância é desconhecida e a amostra é pequena, deve-se ter distribuição normal para a população e, nesse caso, a distribuição da estatística é t de Student (caso 3).