Teoria de Probabilidades:

• Classe de eventos.

• Definições de probabilidade.

• Algumas propriedades.

$$\begin{aligned} \mathcal{P}(\Omega) &= \left\{ \begin{array}{ll} \emptyset, &\\ \{CK\}, \{KC\},\{CC\},\{KK\}, & \\ \{CK,KC\}, \{CK,CC\}, \{CK,KK\}, \{KC,CC\}, \{KC,KK\}, \{CC,KK\}, &\\ \{CK,KC,CC\}, \{CK,KC,KK\}, \{CK,CC,KK\}, \{KC,CC,KK\}, \\ \{CK,KC,CC,KK\}. \\ \end{array} \right.\\ \end{aligned}$$

O conjunto das partes de um espaço amostral é um conjunto de conjuntos, sendo chamado de classes de conjuntos.

O conceito formal de probabilidade está associado aos experimentos, e a partir disso, pode ser apresentado de três maneiras:

• clássica

• frequentista,

• e axiomática.

• Seja $\Omega$ finito em que todos os seus eventos elementares são igualmente prováveis.

• A probabilidade de um evento $A \in \mathcal{P}(\Omega)$ é:

$$P(A)= \frac{\text{nº de casos favoráveis a A}}{\text{nº de casos possíveis}}= \frac{\sharp A}{\sharp \Omega}$$

Exemplo

• Suponha que um lote com 20 peças existam cinco defeituosas.

• Experimento: Escolher ao acaso quatro peças desse lote (uma amostra de 4 elementos).

• Qual a probabilidade de ter duas peças defeituosas na amostra?

Diz respeito a frequência relativa dos eventos associados a um experimento (acontecimento) aleatório.

Simulação de lançamentos de uma moeda honesta.

• Frequência relativa da variável “Face da moeda”

    ## Experimento
    set.seed(13684)
    moeda <- c("Cara", "Coroa")
    n = seq(10,5000,30)
    nA = numeric()
    for(l in 1:length(n)){
      ## lançamento da moeda
      lanc <- sample(moeda, size=n[l], replace = TRUE)  
      ## frequência relativa dos lançamentos
      nA=rbind(nA,as.vector(table(lanc)/n[l]))
      }
    nA = cbind(nA, n)
    nA = data.frame(nA)
    names(nA) = c(moeda, "Lançamentos")

Seja $\epsilon$ um experimento e $\Omega$ o espaço amostral associado ao mesmo. A cada evento $A$ desse espaço amostral associamos uma medida $P(A)$, denominada probabilidade de $A$, que satisfaz:

1. $0\leq P(A) \leq 1$;

2. $P(\Omega) = 1$;

3. se $A_1,A_2,\cdots, A_n \in \mathcal{P}(\Omega)$ forem disjuntos 2 a 2 (ou seja $(A_i\cap A_j)=\emptyset$, para todo $i\neq j)$, então $P(\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} A_i) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} P(A_i)$.

Se $\emptyset$ é o evento impossível, então $P(\emptyset)=0$.

Se A e B são dois eventos quaisquer então:

$$P(A\cup B)= P(A) + P(B) - P(A\cap B).$$

Se $A\subset B$, então $P(A) \leq P(B).$

$P(A^c)= 1-P(A)$.

Dado que o estudante seja do curso de Engenharia de Produção, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?

• $P(1^a\ op.|P)=$

• No exemplo anterior, considere o item:

• dado que o estudante seja do curso de Engenharia de Produção, qual a probabilidade do curso ter sido sua primeira escolha?

• Observe que a resolução obedece a expressão:

para os demais cursos.

• $P(1^a\ op.| C)=\frac{32}{35} \approx 0,91$.

• $P(1^a\ op.| Ci)=\frac{7}{11} \approx 0,64$.

• $P(1^a\ op.| S)=\frac{29}{40} \approx 0,73$.

• $P(1^a\ op.| M)=\frac{58}{65} \approx 0,89$.

• Definir a probabilidade condicional;
• Apresentar a probabilidade conjunta (Teorema do Produto)
• Estabelecer independência entre eventos;
• Derivar a Lei da Probabilidade Total e o Teorema de Bayes;
• Aplicar os resultados em problemas práticos.

• Forma de obter valores de probabilidade, quando se tem alguma informação parcial a respeito do resultado de um experimento aleatório.

• muitas vezes é utilizada para computar mais facilmente valores de probabilidades que se tem interesse.

• Seja um experimento aleatório com espaço amostral $\Omega$.

• Se $A,B \subset \Omega$, então a probabilidade condicional do evento $A$ dado que $B$ ocorreu é definida como:

$$P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \ \ \ \ \ P(B)>0,$$

• Seja um experimento aleatório com espaço amostral $\Omega$.

• Se $A,B \subset \Omega$, então a probabilidade condicional do evento $A$ dado que $B$ ocorreu é definida como:

$$P(A|B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \ \ \ \ \ P(B)>0,$$

Isso implica que
$P(A \cap B)= P(A|B)\cdot P(B) \Longrightarrow P(A \cap B)= P(B|A)\cdot P(A).$

A relação acima é conhecida como Teorema do Produto.

Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 azuis e 5 verdes.

• Se duas bolas são retiradas ao acaso sem reposição, qual a probabilidade de que:

ambas sejam verdes.

• Primeira retirada

B (branca): $P(B)$

A (azul): $P(A)$

V (verde): $P(V)$

Nota: Vejam mais exemplos nos materiais de apoio.

• Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição.

- Uma urna contém 2 bolas brancas, 3 azuis e 5 verdes.

• Considerando duas retiradas de forma aleatória e com reposição.

$P(VV)=P(V \cap V)= P(V)P(V|V)= P(V)P(V)=\frac{4}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\approx 0,198$

• Nesse caso, os eventos são independentes.

Denotemos por $B=TTTTAAAAAA$, então

a)

${P}(B)= P(B|C1)P(C_1)+P(B|C_2)P(C_2)+P(B|C_3)P(C_3)$ ${P}(B)= (0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}+ (0,3)^4(0,7)^6\frac{1}{3}+ (0,1)^4(0,9)^6\frac{1}{3}=0,0003$

$$\begin{align}{P}(C_1|B)&= \frac{P(B|C1)P(C_1)}{P(B|C1)P(C_1)+P(B|C_2)P(C_2)+P(B|C_3)P(C_3)}\\ &=\frac{(0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}}{(0,4)^4(0,6)^6\frac{1}{3}+ (0,3)^4(0,7)^6\frac{1}{3}+ (0,1)^4(0,9)^6\frac{1}{3}}=0,54.\end{align}$$

$$\begin{align}{P}(A_j|B)= \frac{ {P}(B|A_j){P}(A_j)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {P}(B|A_i){P}(A_i)}, j=1,2, \ldots, n.\end{align}$$

• O Teorema de Bayes relaciona $P(A_j|B)$ com $P(B|A_j)$, situação em que a ordem da condicionalidade é invertida.