Variáveis Aleatórias Contínuas:

• A FDA pode ser obtida integrando a função de probabilidade até um valor $x$.

$$\begin{array}{rrl} F(x)&=& P( X <x)\\ &=& \int_{-\infty}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy\\ &=&\int_{-\infty}^{0}0 dy+\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy\\ &=& \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy.\\ \end{array}$$

• Fazendo $u=-\lambda y$ e derivando ambos os lados da igualdade,

• tem-se que $du=-\lambda dy,$ isso implica $dy=-\frac{1}{\lambda}du$.

• Substituindo $y$ e $dy$ na integral indefinida, integramos como segue.

$$\begin{array}{rrl} \int \lambda e^{-\lambda y }dy&=& \int\lambda e^{u}(-\frac{1}{\lambda})du\\ &=& -\int e^{u}du= -e^{u}\\ &=& -e^{-\lambda y }. \end{array}$$

• Deste modo, obtém-se:

$$\begin{array}{rrl} F(x)& =& P( X <x)\\ & =&\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy\\ & =&\left[ -e^{-\lambda y }\right]_{0}^{x}\\ &=&\left[ -e^{-\lambda x }\right] -\left[ -e^{0}\right]\\ &=&1-e^{-\lambda x }. \end{array}$$

O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10,00, mas se durar menos de 200 horas há um custo adicional de R$8,00, devido a garantia.

1. Qual é o custo esperado?
2. Qual é o desvio-padrão do custo?

O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10,00, mas se durar menos de 200 horas há um custo adicional de R$8,00, devido a garantia.

1. Qual é o custo esperado?
2. Qual é o desvio-padrão do custo?

• Resolução:

Incialmente obtemos a distribuição de probabilidade do custo.

• Defina $T$: tempo de vida do fusível, com: $T \sim Exp(\lambda=1/100)$.

$P(C=18)=P(T < 200)\approx 0,865$

$P(C=10)=P(T \geq 200)=1-P(T < 200)\approx 0,135$

O custo esperado é: $E[C]=10 (0,135) + 18 (0,865)= 16,92$ reais.

Para o cálculo do desvio-padrão, obtemos:

• $E[C^2]=10^2 (0,135) + 18^2 (0,865)= 293,76$

• $Var(C)=E[C^2]-E[C]^2=7,47.$

Assim, o desvio-padrão do custo é de

$DP = \sqrt{7,47}= 2,73$ reais.

• O modelo normal é um dos mais importantes modelos probabilísticos,

• Aplicado em inúmeros fenômenos, naturais ou artificiais, e constantemente utilizado para desenvolvimento teórico da inferência estatística, este modelo é definido pela Distribuição Normal.

  Fenômeno natural

• Seja o experimento, selecionar um recém-nascido ao acaso, em uma população, e observar o perímetro cefálico.

Fenômeno artificial

• Considere o experimento que consite em comprar uma garrafa de água mineral e verificar seu volume, o qual deve ser de 300 ml.

• O modelo normal é um dos mais importantes modelos probabilísticos,

• Aplicado em inúmeros fenômenos, naturais ou artificiais, e constantemente utilizado para desenvolvimento teórico da inferência estatística, este modelo é definido pela Distribuição Normal.

Fenômeno natural

• Seja o experimento, selecionar um recém-nascido ao acaso, em uma população, e observar o perímetro cefálico.

Fenômeno artificial

• Considere o experimento que consite em comprar uma garrafa de água mineral e verificar seu volume, o qual deve ser de 300 ml.

Uma variável aleatória $X$ segue uma distribuição normal com parâmetros $\mu$ e $\sigma^2$, se sua função densidade é dada por:

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}, \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}$,

em que $-\infty< \mu <\infty$ e $\sigma>0$.

• Notação: $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

Curva da função $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}$

a curva da densidade da distribuição normal, $f(x)$, tem forma de sino, de modo que:

1. $f(x)$ atinge seu máximo em $\mu$;
2. a curva de $f(x)$ é simétrica em relação a $\mu$;
3. assim, moda, mediana e média coincidem;
4. $\mu- \sigma$ e $\mu+ \sigma$ são pontos de inflexão de $f(x)$;
5. $E(X)= \mu$;
6. $Var(X)= \sigma^2$ então $DP= \sigma$;
7. O desvio-padrão $\sigma$ e a média $\mu$ são diretamente parâmetros da distribuição.

Função de distribuição acumulada da variável $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$.

$F(y)=\int_{-\infty}^{y}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} dx$

• A integral da curva da distribução normal é analiticamente integrável.

• Além disso, devido as muitas propriedades boas da distribuição normal, faz sentido pensar em uma distribuição padrão.

• Ou seja, uma distribuição que possa ser obtida a partir de qualquer distribuição normal.

• A distribuição normal padrão é aquela em que a média da distribuição é 0 e a variâmcia é 1.

• Notação: $Y \sim N(0,1)$.

• Sua densidade é aquela apresentada anteriormente, fixando $\mu=0$ e $\sigma^2=1$.

• Ou seja, $f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \mbox{ para todo } y \in \mathbb{R}.$

• A FDA da distribuição normal padrão é normalmente denotada por $\Phi(x)$, sendo, então, dada por:

$\Phi(y)=P(Y\leq y)=\int_{-\infty}^{y}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx, \mbox{ para todo } y \in \mathbb{R}$.

• O nome “Normal Padrão” é justificado pela obtenção da distribuição $N(0,1)$ a partir da variável transformada:

em que $Y \sim N(\mu, \sigma^2).$

• Como $Z$ é uma transformação de uma variável normal, $Z$ também tem distribuição normal, e sua média e variância são dadas por:

$E[Z]=E[\frac{Y-\mu}{\sigma}]= \frac{E[Y]-\mu}{\sigma}=\frac{\mu-\mu}{\sigma}=0$

$Var[Z]=Var(\frac{Y-\mu}{\sigma})=\frac{Var[Y]}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2}{\sigma}=1.$

• Ou seja, $E[Z]=0$ e $Var(Z)=1$.

• Deste modo, a variável padrozinada obdedece: $Z \sim N(0,1)$.

Observação: use calda a esquerda para distribuição normal padrão em: Probabilidades Normais

1. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 980 $cm^3$?

## [1] 0.02275013

2. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

## [1] 0.9544997

3. Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 3 tenham volume de líquido inferior a 990 $cm^3$?