• A FDA pode ser obtida integrando a função de probabilidade até um valor \(x\).

\[ \begin{array}{rrl} F(x)&=& P( X <x)\\ &=& \int_{-\infty}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy\\ &=&\int_{-\infty}^{0}0 dy+\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy\\ &=& \int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy.\\ \end{array} \]

• Fazendo \(u=-\lambda y\) e derivando ambos os lados da igualdade,

• tem-se que \(du=-\lambda dy,\) isso implica \(dy=-\frac{1}{\lambda}du\).

• Substituindo \(y\) e \(dy\) na integral indefinida, integramos como segue.

\[\begin{array}{rrl} \int \lambda e^{-\lambda y }dy&=& \int\lambda e^{u}(-\frac{1}{\lambda})du\\ &=& -\int e^{u}du= -e^{u}\\ &=& -e^{-\lambda y }. \end{array}\]

• Deste modo, obtém-se:

\[ \begin{array}{rrl} F(x)& =& P( X <x)\\ & =&\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda y }dy\\ & =&\left[ -e^{-\lambda y }\right]_{0}^{x}\\ &=&\left[ -e^{-\lambda x }\right] -\left[ -e^{0}\right]\\ &=&1-e^{-\lambda x }. \end{array} \]

O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10,00, mas se durar menos de 200 horas há um custo adicional de R$8,00, devido a garantia.

1. Qual é o custo esperado?
2. Qual é o desvio-padrão do custo?

O tempo de vida de um tipo de fusível segue uma distribuição exponencial com vida média de 100 horas. Cada fusível tem um custo de R$10,00, mas se durar menos de 200 horas há um custo adicional de R$8,00, devido a garantia.

1. Qual é o custo esperado?
2. Qual é o desvio-padrão do custo?

• Resolução:

Incialmente obtemos a distribuição de probabilidade do custo.

• Defina \(T\): tempo de vida do fusível, com: \(T \sim Exp(\lambda=1/100)\).

\(P(C=18)=P(T < 200)\approx 0,865\)

\(P(C=10)=P(T \geq 200)=1-P(T < 200)\approx 0,135\)

O custo esperado é: \(E[C]=10 (0,135) + 18 (0,865)= 16,92\) reais.

Para o cálculo do desvio-padrão, obtemos:

• \(E[C^2]=10^2 (0,135) + 18^2 (0,865)= 293,76\)

• \(Var(C)=E[C^2]-E[C]^2=7,47.\)

Assim, o desvio-padrão do custo é de

\(DP = \sqrt{7,47}= 2,73\) reais.

• O modelo normal é um dos mais importantes modelos probabilísticos,

• Aplicado em inúmeros fenômenos, naturais ou artificiais, e constantemente utilizado para desenvolvimento teórico da inferência estatística, este modelo é definido pela Distribuição Normal.

  Fenômeno natural

• Seja o experimento, selecionar um recém-nascido ao acaso, em uma população, e observar o perímetro cefálico.

Fenômeno artificial

• Considere o experimento que consite em comprar uma garrafa de água mineral e verificar seu volume, o qual deve ser de 300 ml.

• O modelo normal é um dos mais importantes modelos probabilísticos,

• Aplicado em inúmeros fenômenos, naturais ou artificiais, e constantemente utilizado para desenvolvimento teórico da inferência estatística, este modelo é definido pela Distribuição Normal.

Fenômeno natural

• Seja o experimento, selecionar um recém-nascido ao acaso, em uma população, e observar o perímetro cefálico.

Fenômeno artificial

• Considere o experimento que consite em comprar uma garrafa de água mineral e verificar seu volume, o qual deve ser de 300 ml.

Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^2\), se sua função densidade é dada por:

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}, \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}\),

em que \(-\infty< \mu <\infty\) e \(\sigma>0\).

• Notação: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

Curva da função \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}\)

a curva da densidade da distribuição normal, \(f(x)\), tem forma de sino, de modo que:

1. \(f(x)\) atinge seu máximo em \(\mu\);
2. a curva de \(f(x)\) é simétrica em relação a \(\mu\);
3. assim, moda, mediana e média coincidem;
4. \(\mu- \sigma\) e \(\mu+ \sigma\) são pontos de inflexão de \(f(x)\);
5. \(E(X)= \mu\);
6. \(Var(X)= \sigma^2\) então \(DP= \sigma\);
7. O desvio-padrão \(\sigma\) e a média \(\mu\) são diretamente parâmetros da distribuição.

Função de distribuição acumulada da variável \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\).

\(F(y)=\int_{-\infty}^{y}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} dx\)

• A integral da curva da distribução normal é analiticamente integrável.

• Além disso, devido as muitas propriedades boas da distribuição normal, faz sentido pensar em uma distribuição padrão.

• Ou seja, uma distribuição que possa ser obtida a partir de qualquer distribuição normal.

• A distribuição normal padrão é aquela em que a média da distribuição é 0 e a variâmcia é 1.

• Notação: \(Y \sim N(0,1)\).

• Sua densidade é aquela apresentada anteriormente, fixando \(\mu=0\) e \(\sigma^2=1\).

• Ou seja, \(f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \mbox{ para todo } y \in \mathbb{R}.\)

• A FDA da distribuição normal padrão é normalmente denotada por \(\Phi(x)\), sendo, então, dada por:

\(\Phi(y)=P(Y\leq y)=\int_{-\infty}^{y}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx, \mbox{ para todo } y \in \mathbb{R}\).

• O nome “Normal Padrão” é justificado pela obtenção da distribuição \(N(0,1)\) a partir da variável transformada:

em que \(Y \sim N(\mu, \sigma^2).\)

• Como \(Z\) é uma transformação de uma variável normal, \(Z\) também tem distribuição normal, e sua média e variância são dadas por:

\(E[Z]=E[\frac{Y-\mu}{\sigma}]= \frac{E[Y]-\mu}{\sigma}=\frac{\mu-\mu}{\sigma}=0\)

\(Var[Z]=Var(\frac{Y-\mu}{\sigma})=\frac{Var[Y]}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2}{\sigma}=1.\)

• Ou seja, \(E[Z]=0\) e \(Var(Z)=1\).

• Deste modo, a variável padrozinada obdedece: \(Z \sim N(0,1)\).

Observação: use calda a esquerda para distribuição normal padrão em: Probabilidades Normais

1. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 980 \(cm^3\)?

## [1] 0.02275013

2. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

## [1] 0.9544997

3. Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 3 tenham volume de líquido inferior a 990 \(cm^3\)?