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Estatística Descritiva

Resumos Numéricos

Rosineide da Paz

Mediana e outras separatrizes

Separatrizes

Separatrizes são medidas que dividem o conjunto de dados ordenados em partes iguais.

São separatrizes: - mediana (uma única medida num conjunto de dados), - quartís (três medidas) - decís (nove medidas) - e percentís (noventa e nove medidas).

Mediana

Mediana a partir de uma série de dados

Seja a sequência de dados $x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$ sem ordenação. Vamos denotar por $x_{(1)},x_{(2)},\cdots,x_{(n)}$ o conjunto ordenado, ou seja

$x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}.$

Assim, a mediana é o valor que 50% dos dados ordandos estão abaixo dele e os demais 50% estão acima.
Aqui, $x_{(1)}$ denota o valor valor mínimo da série de dados e $x_{(n)}$ corresponde ao valor máximo.

Obtenção da mediana de uma série de dados

A obtenção da mediana de uma série de dados $\textbf{x}=(x_1,x_2, \cdots, x_n)$ pode ser feita da seguinte forma.

$\begin{aligned} Med(\textbf{x}) &= \left\{ \begin{array}{ll} x_{(\frac{n+1}{2})}, &\ \text{se n é ímpar}; \\ \frac{x_{(\frac{n}{2})}+ x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}, &\ \text{se n par}. \end{array} \right.\\ \end{aligned}$

1.Para a série $\textbf{x}=(5, 2, 6, 13, 9, 15, 10)$ , a mediana é:

$\begin{aligned} (\underbrace{2, 5, 6,}_{3 \ elementos}\fbox{9,}\underbrace{10, 13, 15}_{3\ elementos}) \Rightarrow Med(\textbf{x})=9\\ \end{aligned}$

A série $\textbf{y}=(1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6)$ tem mediana como segue:

$\begin{aligned}(\underbrace {0,0,1,1,}_{4\ elementos}\fbox{2,3,}\underbrace{3,4,5,6}_{4\ elementos}) \Rightarrow Med(\textbf{y})=\frac{2+3}{2}= 2,5 \end{aligned}$

Mediana a partir da tabela de frequência simples

Suponha que o controle de qualidade de uma empresa faça o registro do número de itens produzidos com defeito por dia. Considerando um período de um ano, foi construída a seguinte tabela de frequência.

População: todos os lotes de peças produzidas por dia na empresa.
Unidades amostrais ou indivíduos: lote de peças investigados.
Variável: quantidade de peças com defeito em um dia de produção.

$X:$ Número de defeitos	$n_i$	$f_i$	$F_{ac}$	$X_i \times f_i$
1	6	0,02	0,02	0,02
2	23	0,06	0,08	0,13
3	81	0,22	0,30	0,67
4	104	0,28	0,59	1,14
5	95	0,26	0,85	1,30
6	46	0,13	0,97	0,76
7	10	0,03	1,00	0,19
Total	365	1,00	1,00	4,20

Mediana a partir da tabela de frequência simples

Mediana=4	Média=4,2

Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

Considere as notas obtidas por alunos da engenharia na primeira avaliação da disciplina de probabilidade e estatística.

Nota (0-10)	$X_i$	$n_i$	$f_i$	$X_i \times f_i$	$F_{ac}$
[ 0 ; 1,22 ]	0,61	11	0,24	0,1464	0,24
( 1,22 ; 2,44 ]	1,83	4	0,09	0,1647	0,33
( 2,44 ; 3,66 ]	3,05	2	0,04	0,1220	0,38
( 3,66 ; 4,88 ]	4,27	5	0,11	0,4697	0,49
( 4,88 ; 6,1 ]	5,49	2	0,04	0,2196	0,53
( 6,1 ; 7,32 ]	6,71	6	0,13	0,8723	0,67
( 7,32 ; 8,54 ]	7,93	7	0,16	1,2688	0,82
( 8,54 ; 9,76 ]	9,15	8	0,18	1,6470	1
Total		45	1,00	4,9105

Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

$\begin{aligned}Med&=L_i+\left[\frac{\left( 0,5 - F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times \delta\end{aligned}$

$L_i$ : limite inferior da classe mediana;

$X_i$ : ponto médio das classes, para aproximação da média;

$F_{ac(ant)}$ : frequência relativa acumulada da classe anterior à classe mediana;

$\delta$ : amplitude da classe;

$f_i$ frequência relativa da classe mediana.

Nota (0-10)	$X_i$	$n_i$	$f_i$	$X_i \times f_i$	$F_{ac}$
[ 0 ; 1,22 ]	0,61	11	0,24	0,1464	0,24
( 1,22 ; 2,44 ]	1,83	4	0,09	0,1647	0,33
( 2,44 ; 3,66 ]	3,05	2	0,04	0,1220	0,38
( 3,66 ; 4,88 ]	4,27	5	0,11	0,4697	0,49
( 4,88 ; 6,1 ]	5,49	2	0,04	0,2196	0,53
( 6,1 ; 7,32 ]	6,71	6	0,13	0,8723	0,67
( 7,32 ; 8,54 ]	7,93	7	0,16	1,2688	0,82
( 8,54 ; 9,76 ]	9,15	8	0,18	1,6470	1
Total		45	1,00	4,9105

Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

$F_{ac}$ = 0,53
Classe mediana: $(4,88; 6,1]$
$f_i=0,04$
$F_{ac(ant)}=0,49$
$\delta = 1,22$

Nota (0-10)	$X_i$	$n_i$	$f_i$	$X_i \times f_i$	$F_{ac}$
[ 0 ; 1,22 ]	0,61	11	0,24	0,1464	0,24
( 1,22 ; 2,44 ]	1,83	4	0,09	0,1647	0,33
( 2,44 ; 3,66 ]	3,05	2	0,04	0,1220	0,38
( 3,66 ; 4,88 ]	4,27	5	0,11	0,4697	0,49
( 4,88 ; 6,1 ]	5,49	2	0,04	0,2196	0,53
( 6,1 ; 7,32 ]	6,71	6	0,13	0,8723	0,67
( 7,32 ; 8,54 ]	7,93	7	0,16	1,2688	0,82
( 8,54 ; 9,76 ]	9,15	8	0,18	1,6470	1
Total		45	1,00	4,9105

$\begin{aligned}Med&=L_i+\left[\frac{\left( 0,5 - F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times \delta =4,88+\left[\frac{\left( 0,5 - 0,49\right) }{0,04}\right] \times 1,22 \end{aligned} \approx 5,185.$

Histograma

Mediana: $5,185$
Média a partir da série de dados: $4,889$
Média a partir da Tabela: $4,9$

Histograma

Média com exclusão de zeros: $5,367$

Quartis

São medidas que dividem a distribuição de frequência em quatro partes.
Para obtenção dos quartis a partir de uma série de dados, basta ordenar os dados e proceder de forma semelhante a mediana para cada uma das três medidas que separam os dados.
$Q_1$ (primeiro quartil): 25% dos dados ordenados estão abaixo desse valor.
$Q_2$ (segundo quartil): mediana.
$Q_3$ (terceiro quartil): 75% dos dados ordenados estão abaixo desse valor.

Quartis a partir de tabelas em intervalos

Para os quartis:

$\begin{aligned}F_j&= \frac{ j}{4}, \mbox{ para } j = 1,2,3 \\Q_j&=L_i+\left[\frac{\left( F_j- F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times\delta\end{aligned}$ com:

$F_j$ frequência acumulada até o quartil desejado;
$L_i$ é o limite inferior da classe definida por $p_j$ ;
$F_{ac(ant)}$ é a frequência absoluta acumulada da classe anterior à que contém o $j$ -ésimo quartil;
$\delta$ é a amplitude da classe e
$f_i$ é a frequência relativa da classe definida por $p_j$ .

Obtenção dos Quartis

Suponha que se tenha dados de valores de imóveis para um determinado bairro.

Obtenção dos Quartis

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

$\begin{aligned}F_j&= \frac{ j}{4}, \mbox{ para } j = 1,2,3 \\Q_j&=L_i+\left[\frac{\left( F_j- F_{ac(ant)}\right) }{f_i}\right] \times\delta\end{aligned}$

Obtenção do $Q_1$

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

$\begin{aligned}F_1&= \frac{ 1}{4},\\ Q_1&=155+\left[\frac{\left( 0,25- 0,19\right) }{0,14}\right] \times 43 \approx 173,43\end{aligned}$

Obtenção do $Q_2$

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

$\begin{aligned}F_j&= \frac{ j}{4}, \mbox{ para } j = 1,2 ,\\ Q_1&=155+\left[\frac{\left( 0,25- 0,19\right) }{0,14}\right] \times 43 \approx 173,43\\ Q_2&=198+\left[\frac{\left( 0,50- 0,33\right) }{0,23}\right] \times 43 \approx 229,78 \end{aligned}.$

Obs: a notação para o decimal está em inglês na tabela e no gráfico devido aos comandos utilizados, no entanto não é recomendada notação em inglês para trabalhos em português.

Obtenção do $Q_3$

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

$\begin{aligned}F_j&= \frac{ j}{4}, \mbox{ para } j = 1,2,3 ,\\ Q_1&=155+\left[\frac{\left( 0,25- 0,19\right) }{0,14}\right] \times 43 \approx 173,43\\ Q_2&=198+\left[\frac{\left( 0,50- 0,33\right) }{0,23}\right] \times 43 \approx 229,78 \\ Q_3&=284+\left[\frac{\left( 0,75- 0,73\right) }{0,12}\right] \times 43 \approx 291,17 \end{aligned}$

Medida da variabilidade

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

Distância interquartil.

$\begin{aligned} D&= Q_3-Q_1 = 289,06-173,43 =115,63.\end{aligned}$

Indentificação de pontos atípicos

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

Distância interquartil.

$\begin{aligned} D&= Q_3-Q_1 = 289,06-173,43 =115,63.\end{aligned}$

Limites para detecção de pontos atípicos.

$\begin{aligned} l_{inf}= Q_1-\frac{3}{2}(Q_3-Q_1) & \mbox{; } & l_{sup}=Q_3+\frac{3}{2}(Q_3-Q_1).\end{aligned}$

Indentificação de pontos atípicos

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

Distância interquartil.

$\begin{aligned} D&= Q_3-Q_1 = 289,06-173,43 =115,63.\end{aligned}$

Limites para detecção de pontos atípicos.

$\begin{aligned} l_{inf} &= 173,43-\frac{3}{2}(289,06-173,43) \approx -0,015\ \ \ \color{red}{ então } \ \ \ l_{inf}=69 \mbox{ reais.}\\ l_{sup}&=289,06+\frac{3}{2}(289,06-173,43) \approx 462,505 \ \ \color{red}{ então } \ \ \ l_{sup}= 462,505 \mbox{ reais}.\end{aligned}$

Desenho Esquemático (Boxplot)

F. Preço	$F_{ac}$
[69,112]	0,11
(112,155]	0,19
(155,198]	0,33
(198,241]	0,56
(241,284]	0,73
(284,327]	0,85
(327,370]	0,94
(370,413]	0,97
(413,456]	0,98
(456,499]	0,98
(499,542]	1,00

Quartis

Distância interquartil.

$\begin{aligned} D&= Q_3-Q_1 = 289,06-173,43 =115,63.\end{aligned}$

Limites para detecção de pontos atípicos.

Desenho esquemático para a distribuição de preços de imóveis.

Considerações

Média e mediana são medidas de tendência central.
Se esses valores são divergentes, melhor analisar a adequação da média como uma boa medida de tendência central.
A média é afetada por pontos extremos, enquanto a mediana não.
A moda também é uma medida de tendência central, e correponde ao valor mais frequênte do conjunto de dados.
Para tabelas de frequência em intervalos, pode-se aproximar o valor da moda pelo ponto médio do intervalo de maior frequência.

Exercícios do AME

Realizar no sistema.

Estatística Descritiva

Resumos Numéricos

Mediana e outras separatrizes

Separatrizes

Mediana

Mediana a partir de uma série de dados

Obtenção da mediana de uma série de dados

Mediana a partir da tabela de frequência simples

Mediana a partir da tabela de frequência simples

Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

Mediana a partir da tabela de frequência em intervalos de classe

Histograma

Histograma

Quartis

Quartis a partir de tabelas em intervalos

Obtenção dos Quartis

Obtenção dos Quartis

Obtenção do Q1Q_1

Obtenção do Q2Q_2

Obtenção do Q3Q_3

Medida da variabilidade

Indentificação de pontos atípicos

Indentificação de pontos atípicos

Desenho Esquemático (Boxplot)

Desenho esquemático para a distribuição de preços de imóveis.

Considerações

Exercícios do AME

Obtenção do $Q_1$

Obtenção do $Q_2$

Obtenção do $Q_3$