Inferência Estatística

Intervalos de Confiança

Rosineide da Paz

Invervalos de confiança: exemplo

Considere que um psicultor deseja estimar a média do peso de peixes existentes em um criadouro em um determinado tempo.
Suponha que todos os peixes têm a mesma idade e são da mesma espécie.
Considere que foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10.
Seja $X=$ “peso dos peixes”
É razoavel admitir $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ .
vamos supor $\sigma^2$ desconhecida.

Suponha que a distribuição para os pesos, que iremos supor normal, seja a seguinte.

Exemplo

Assim, desta população é selecionada a amostra aleatória de tamanho $n=10$ .

0.49	0.36	0.45	0.54	0.78
0.69	0.52	0.65	0.53	0.29

$\overline{X}$ :	0.53
$S:$	0.15

Então, obtemos o seguinte IC(95%).

	Limite Inferior	Limite superior
IC(95%)	0.423	0.637

Tamanho da amostra

As vezes, o IC obtido não é pequeno o suficiente para ser útil na tomada de decisão.
Assim, existe o interesse de se controlar o tamanho do intervalo obtido.
Note que, em torno da estimativa da média é obtido um intervalo simétrico

$\overline{x} \pm E_{max}$

em que $E_{max} = T_{\alpha/2} \frac{S}{\sqrt{n}}$ é o erro máximo cometido ao nível $\gamma$ % de confiança, para o caso 3.

Muitas vezes, é necessário controlar essa amplitude.

Exemplo: No exemplo anterior, suponha que o produtor queira reduzir pela metade, o intervalo obtido com a amostra de tamnho $n=10$ .

0.49	0.36	0.45	0.54	0.78
0.69	0.52	0.65	0.53	0.29

A qual forneceu média e desvio-padrão amostral e IC, como segue.

$\overline{X}$ :	0.53
$S:$	0.15

	Limite Inferior	Limite superior
IC(95%)	0.423	0.637

Suponha que o interesse é reduzir esse intervalo pela metade, qual seria o tamanho da amostra para se ter este IC.

Resolução

Assim, queremos:

$|\mu-\overline{X}|<E_{max}.$ Para isso, fixamos: $E_{max}=T_{\alpha/2}\frac{S}{\sqrt{n}}\ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ n=T_{\alpha/2}^2\frac{S^2}{E_{max}^2}.$ Como estimativas de $\sigma$ depende de uma amostra observada, uma amostra piloto deve ser utilizada para obter esta estimativa, caso a variância da população seja desconhecida.

Seja o $E_{max}$ para o primeiro intervalo:

$E_{max}=\frac{0,637-0,423}{2}=0,107$ Que pela metade fica

$E^*_{max}=\frac{0,107}{2}=0,0535.$

Logo:

$n = 40,151$

Logo, precisamos de uma amostra deste tamanho para conseguir reduzir o intervalo pela metade.

Voltando ao Exemplo

Assim, desta população é selecionada a amostra aleatória de tamanho $n=10$ .

0.49	0.69	0.36	0.52	0.45	0.65	0.54	0.53	0.78
0.29	0.45	0.85	0.55	0.65	0.69	0.57	0.66	0.63
0.33	0.71	0.52	0.51	0.66	0.58	0.63	0.49	0.53
0.60	0.75	0.79	0.60	0.41	0.83	0.72	0.64	0.47
1.05	0.87	0.77	0.76	0.76	NA	NA	NA	NA

$\overline{X}$ :	0.618
$S:$	0.158

Então, obtemos o seguinte IC(95%).

	Limite Inferior	Limite superior
IC(95%)	0.568	0.668

Comprimento IC (n = 10)	Comprimento IC (n=41)
0.214	0.1