\[X \sim Normal(\mu, \sigma^2 = 4)\].

Suponha que foi extraída uma amostra aleatória de tamanho n=10, como segue:

• Pelo TLC, se \(X_1,X_2, \cdots, X_n\) é uma amostra aleatória de uma população normal, então:

\[\overline{X} \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ \ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1). \]

• O desvio-padrão da média amostral \(\sigma/\sqrt{n}\) é chamado de Erro-Padrão.

• Este nome especial é dado para evitar confunsão entre o desvio-padrão da população \(X\) e o desvio-padrão da média amostral \(\overline{X}\).

Assim, dado \(0<\gamma<1\), existe um \(\alpha = 1 - \gamma\) definindo quantis \(\left(\pm Z_{\alpha/2}\right)\) que delimita uma região contendo \(\gamma \times 100\) % das amostras na distribuição de \(Z\).

Assim, dado \(0<\gamma<1\), existe um \(\alpha = 1 - \gamma\) definindo quantis \(\left(\pm Z_{\alpha/2}\right)\) que delimita uma região contendo \(\gamma \times 100\) % das amostras na distribuição de \(Z\).

\[\begin{array}{rrcl} &P(-z_{\alpha/2}\leq Z \leq z_{\alpha/2})&= &\gamma\\ &&\\ \Longrightarrow &P(-z_{\alpha/2}\leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2})&= & \gamma\\ &&\\ \Longrightarrow &P(-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\leq \bar{X}-\mu \leq z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n})&= & \gamma\\ &&\\ \Longrightarrow& P( \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n} \leq\mu \leq \bar{X}+z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n})&= & \gamma\\ \end{array}\]

O intervalo aleatório que depende de \(\alpha\):

\[ \left[ \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}; \bar{X}+z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n} \right], \]

contém o verdadeiro valor de \(\mu\) com probabilidade \(\gamma=1-\alpha\).

• \(\gamma\) é denominado coeficiente de confiança.

• \(\alpha\) é dito ser o nível de significância.

• Este intervalo é um estimador intervalar para a média populacional.

• Os estimadores intervalares, juntamente com os seus coeficientes de confiança \(\gamma\), são chamados de Intervalos de Confiança (IC).

• Dada uma amostra observada, o intervalo de confiança pode ser obtido substituindo os valores de \(\overline{x}\), \(\sigma\), \(n\) e \(z_{\alpha/2}\) na equação do estimador.

• O valor \(z_{\alpha/2}\) pode ser obtido da distribuição \(N(0,1)\) de modo que \(P(Z \leq - z_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}\).

• Considere que um psicultor deseja estimar a média do peso de peixes existentes em um criadouro em um determinado tempo.

• Suponha que todos os peixes têm a mesma idade e são da mesma espécie.

• Considere que foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10.

• Seja \(X=\)“peso dos peixes”

• É razoavel admitir \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

• vamos supor, que devido a estudos realizados, \(\sigma^2\) seja conhecida.

Suponha que a distribuição para os pesos, que iremos supor normal, seja a seguinte.

Assim, desta população é selecionada a amostra aleatória de tamanho \(n=10\).

• Então, obtemos o seguinte IC(95%).

• Neste caso, devemos ter amostras suficientemente grande para obter boa aproximação.

• Aqui, amostras maiores ou iguais a 30 são consideradas grande o suficiente para a obtenção do ICM.

• Com amostra grande, se a variância da população não é conhecida, basta substituir a variância da população pela variância da amostra (\(S^2\)).

Aqui, usaremos \(S\), para estimar \(\sigma\).

• Sempre que a amostra for pequena, a população deve ser suposta normal para esta metodologia.

• Podendo ser feita essa suposição, ainda é comum não ser conhecida a variância da população.

• Neste caso, a variância deve ser estimada usando a variância amostral.

• No entanto, o uso deste estimador muda a distribuição da variável aleatória \(T=\frac{\overline{X}-\mu}{S\sqrt{n}}\).

• Assim, teremos outra variável aleatória \(T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\), que tem distribuição t de Student.

• A curva densidade da t de Student é similar a curva da normal, mas com mais massa de probabilidades nas caldas.

• Este desvio da normalidade, pode conduzir o estudo a um resultado enganoso.

• Então, neste caso, usaremos a distribução t de Student, em vez da normal padrão, para obter os quantis que determinam o ICM.

• Considere \(X=\)“peso dos peixes com mesma idade e espécie”

• É razoavel supor \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

• Se \(\sigma^2\) é desconhecido, vamos usar a variância amostral para obter uma estimativa.

Distribuição real da população, suposta normal.

• Selecionada uma amostra aleatória, \(n=10\).

• Considere desconhecido o desvio-padrão, assim devemos usar o desvio-padrão amostral \(S\), para estimá-lo.

• Usando: \(\left[ \bar{X}-t_{\alpha/2}S/\sqrt{n}; \bar{X}+t_{\alpha/2}S/\sqrt{n} \right]\),

• obtemos o seguinte IC(95%).

(Montgomery, Pag: 178, 8-38, adaptado): Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de n bastões, mostrada a seguir, é selecionada para ter o diâmetro medido (em milímetros).

1. Apresente a média amostral e seu erro-padrão, respectivamente;
2. Complete a frase:

(Montgomery, Pag: 178, 8-34, adaptado): Suponha que a energia solar consumida (em trilhões de BTU) nos Estados Unidos, por ano, de 1989 a 2004, seja como mostrada no quadro a seguir.

Construa um intervalo de confiança para a energia sola média consumida, usando a confiança que segue.