Inferência Estatística

$$X \sim Normal(\mu, \sigma^2 = 4)$$ .

Suponha que foi extraída uma amostra aleatória de tamanho n=10, como segue:

• Pelo TLC, se $X_1,X_2, \cdots, X_n$ é uma amostra aleatória de uma população normal, então:

$$\overline{X} \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ \ \ \ \ Z=\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).$$

• O desvio-padrão da média amostral $\sigma/\sqrt{n}$ é chamado de Erro-Padrão.

• Este nome especial é dado para evitar confunsão entre o desvio-padrão da população $X$ e o desvio-padrão da média amostral $\overline{X}$.

Assim, dado $0<\gamma<1$, existe um $\alpha = 1 - \gamma$ definindo quantis $\left(\pm Z_{\alpha/2}\right)$ que delimita uma região contendo $\gamma \times 100$ % das amostras na distribuição de $Z$.

Assim, dado $0<\gamma<1$, existe um $\alpha = 1 - \gamma$ definindo quantis $\left(\pm Z_{\alpha/2}\right)$ que delimita uma região contendo $\gamma \times 100$ % das amostras na distribuição de $Z$.

$$\begin{array}{rrcl} &P(-z_{\alpha/2}\leq Z \leq z_{\alpha/2})&= &\gamma\\ &&\\ \Longrightarrow &P(-z_{\alpha/2}\leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha/2})&= & \gamma\\ &&\\ \Longrightarrow &P(-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}\leq \bar{X}-\mu \leq z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n})&= & \gamma\\ &&\\ \Longrightarrow& P( \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n} \leq\mu \leq \bar{X}+z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n})&= & \gamma\\ \end{array}$$

O intervalo aleatório que depende de $\alpha$:

$$\left[ \bar{X}-z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n}; \bar{X}+z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt{n} \right],$$

contém o verdadeiro valor de $\mu$ com probabilidade $\gamma=1-\alpha$.

• $\gamma$ é denominado coeficiente de confiança.

• $\alpha$ é dito ser o nível de significância.

• Este intervalo é um estimador intervalar para a média populacional.

• Os estimadores intervalares, juntamente com os seus coeficientes de confiança $\gamma$, são chamados de Intervalos de Confiança (IC).

• Dada uma amostra observada, o intervalo de confiança pode ser obtido substituindo os valores de $\overline{x}$, $\sigma$, $n$ e $z_{\alpha/2}$ na equação do estimador.

• O valor $z_{\alpha/2}$ pode ser obtido da distribuição $N(0,1)$ de modo que $P(Z \leq - z_{\alpha/2})=\frac{\alpha}{2}$.

• Considere que um psicultor deseja estimar a média do peso de peixes existentes em um criadouro em um determinado tempo.

• Suponha que todos os peixes têm a mesma idade e são da mesma espécie.

• Considere que foi extraída uma amostra aleatória de tamanho 10.

• Seja $X=$“peso dos peixes”

• É razoavel admitir $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

• vamos supor, que devido a estudos realizados, $\sigma^2$ seja conhecida.

Suponha que a distribuição para os pesos, que iremos supor normal, seja a seguinte.

Assim, desta população é selecionada a amostra aleatória de tamanho $n=10$.

• Então, obtemos o seguinte IC(95%).

• Neste caso, devemos ter amostras suficientemente grande para obter boa aproximação.

• Aqui, amostras maiores ou iguais a 30 são consideradas grande o suficiente para a obtenção do ICM.

• Com amostra grande, se a variância da população não é conhecida, basta substituir a variância da população pela variância da amostra ($S^2$).

Aqui, usaremos $S$, para estimar $\sigma$.

• Sempre que a amostra for pequena, a população deve ser suposta normal para esta metodologia.

• Podendo ser feita essa suposição, ainda é comum não ser conhecida a variância da população.

• Neste caso, a variância deve ser estimada usando a variância amostral.

• No entanto, o uso deste estimador muda a distribuição da variável aleatória $T=\frac{\overline{X}-\mu}{S\sqrt{n}}$.

• Assim, teremos outra variável aleatória $T=\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$, que tem distribuição t de Student.

• A curva densidade da t de Student é similar a curva da normal, mas com mais massa de probabilidades nas caldas.

• Este desvio da normalidade, pode conduzir o estudo a um resultado enganoso.

• Então, neste caso, usaremos a distribução t de Student, em vez da normal padrão, para obter os quantis que determinam o ICM.

• Considere $X=$“peso dos peixes com mesma idade e espécie”

• É razoavel supor $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

• Se $\sigma^2$ é desconhecido, vamos usar a variância amostral para obter uma estimativa.

Distribuição real da população, suposta normal.

• Selecionada uma amostra aleatória, $n=10$.

• Considere desconhecido o desvio-padrão, assim devemos usar o desvio-padrão amostral $S$, para estimá-lo.

• Usando: $\left[ \bar{X}-t_{\alpha/2}S/\sqrt{n}; \bar{X}+t_{\alpha/2}S/\sqrt{n} \right]$,

• obtemos o seguinte IC(95%).

(Montgomery, Pag: 178, 8-38, adaptado): Uma máquina produz bastões metálicos usados em um sistema de suspensão de automóveis. Uma amostra aleatória de n bastões, mostrada a seguir, é selecionada para ter o diâmetro medido (em milímetros).

1. Apresente a média amostral e seu erro-padrão, respectivamente;
2. Complete a frase:

(Montgomery, Pag: 178, 8-34, adaptado): Suponha que a energia solar consumida (em trilhões de BTU) nos Estados Unidos, por ano, de 1989 a 2004, seja como mostrada no quadro a seguir.

Construa um intervalo de confiança para a energia sola média consumida, usando a confiança que segue.