9 Estymacje używające danych uzupełniających

Odtworzenie obliczeń z tego rozdziału wymaga załączenia poniższych pakietów oraz wczytania poniższych danych:

W wielu przypadkach, oprócz konkretnych pomiarów, istnieje również informacja na temat zmienności innych cech na analizowanym obszarze. W sytuacji, gdy dodatkowe zmienne są skorelowane ze zmienną analizowaną można wykorzystać jedną z metod krigingu wykorzystującą dane uzupełniające, tj. kriging stratyfikowany, kriging prosty ze zmiennymi średnimi lokalnymi, czy kriging uniwersalny.

9.1 Kriging prosty ze zmiennymi średnimi lokalnymi (LVM)

9.1.1 Kriging prosty ze zmiennymi średnimi lokalnymi (LVM) (ang. Simple kriging with varying local means)

Kriging prosty ze zmiennymi średnimi lokalnymi zamiast znanej (stałej) stacjonarnej średniej wykorzystuje zmienne średnie lokalne uzyskane na podstawie innej informacji.

Lokalna średnia może być uzyskana za pomocą wyliczenia regresji liniowej pomiędzy zmienną badaną a zmienną dodatkową. W takiej sytuacji konieczne jest użycie funkcji lm(). W poniższym przykładzie budowany jest model liniowy relacji pomiędzy temperaturą powietrza (temp), a wysokością nad poziomem morza (srtm).

## (Intercept)        srtm 
## 17.41296753 -0.01021971

Wykorzystując relację pomiędzy tymi dwoma zmiennymi tworzony jest semiwariogram empiryczny, który następnie jest modelowany (rycina 9.1).

##   model      psill    range
## 1   Nug  0.6756367    0.000
## 2   Sph 13.1450299 5085.204
Model semiwariogramy zmiennej temp używając zmiennej srtm.

Rycina 9.1: Model semiwariogramy zmiennej temp używając zmiennej srtm.

Ostatnim krokiem jest estymacja geostatystyczna, w której oprócz czterech podstawowych argumentów, definiujemy także parametr beta. W tym wypadku jest to wypadku obiekt uzyskany na podstawie regresji liniowej.

## [using simple kriging]
## stars object with 2 dimensions and 2 attributes
## attribute(s):
##    var1.pred        var1.var     
##  Min.   : 8.559   Min.   :1.066  
##  1st Qu.:12.745   1st Qu.:1.876  
##  Median :14.959   Median :2.248  
##  Mean   :15.524   Mean   :2.321  
##  3rd Qu.:17.759   3rd Qu.:2.638  
##  Max.   :24.241   Max.   :6.853  
##  NA's   :1242     NA's   :1242   
## dimension(s):
##   from  to offset delta               refsys point values    
## x    1 127 745542    90 ETRS89 / Poland CS92    NA   NULL [x]
## y    1  96 721256   -90 ETRS89 / Poland CS92    NA   NULL [y]
Estymacja i wariancja estymacji używając metody prostego krigingu ze zmiennymi średnimi lokalnymi (LVM).

Rycina 9.2: Estymacja i wariancja estymacji używając metody prostego krigingu ze zmiennymi średnimi lokalnymi (LVM).

9.2 Kriging uniwersalny

9.2.1 Kriging uniwersalny (ang. Universal kriging)

Kriging uniwersalny, określany również jako kriging z trendem (ang. Kriging with a trend model) zakłada, że nieznana średnia lokalna zmienia się stopniowo na badanym obszarze. W krigingu uniwersalnym możemy stosować zarówno zmienne jakościowe, jak i ilościowe.

W pierwszym przykładzie, kriging uniwersalny służy stworzeniu semiwariogramu, modelowaniu oraz estymacji temperatury powietrza z użyciem zmiennej pokrycia terenu (ryciny 9.3, 9.4, 9.5).

##   model    psill    range
## 1   Nug 1.626245    0.000
## 2   Sph 9.059005 6426.143
Model semiwariogramy zmiennej temp używając zmiennej clc.

Rycina 9.3: Model semiwariogramy zmiennej temp używając zmiennej clc.

Rozkład przestrzenny wartości zmiennej clc używanej w modelu.

Rycina 9.4: Rozkład przestrzenny wartości zmiennej clc używanej w modelu.

## [using universal kriging]
Estymacja i wariancja estymacji używając zmiennej clc i metody krigingu uniwersalnego (KU).

Rycina 9.5: Estymacja i wariancja estymacji używając zmiennej clc i metody krigingu uniwersalnego (KU).

W kolejnym przykładzie zastosowane są już dwie zmienne uzupełniające - wartość wskaźnika wegetacji (ndvi) oraz wysokość nad poziomem morza (srtm) (ryciny 9.6, 9.7).

##   model      psill    range
## 1   Nug  0.7602125    0.000
## 2   Sph 12.4326154 5188.676
Model semiwariogramy zmiennej temp używając zmiennych ndvi i srtm.

Rycina 9.6: Model semiwariogramy zmiennej temp używając zmiennych ndvi i srtm.

## [using universal kriging]
Estymacja i wariancja estymacji używając zmiennych ndvi i srtm i metody krigingu uniwersalnego (KU).

Rycina 9.7: Estymacja i wariancja estymacji używając zmiennych ndvi i srtm i metody krigingu uniwersalnego (KU).

9.3 Zadania

Zadania w tym rozdziale są oparte o dane z obiektu punkty.

  1. Zastosuj kriging prosty ze zmiennymi średnimi lokalnymi do stworzenia estymacji zmiennej ndvi używając jej relacji ze zmienną savi.
  2. Stwórz estymację krigingu uniwersalnego dla zmiennej ndvi używając jej relacji ze zmienną savi.
  3. Stwórz estymację krigingu uniwersalnego dla zmiennej ndvi używając jej relacji ze zmiennymi clc, srtm, temp i savi.
  4. Porównaj graficznie trzy powyższe estymacje. Opisz podobieństwa i różnice.