纤维丛
前言
此笔记整理自(Cohen 1998)
简单来说, 纤维丛 (fiber bundle) 就是在基空间 (base space) 的每点附着同一个1纤维 (fiber) , 最经典的例子就是流形上的切丛: 在流形 \(M\) 上的每点 \(p\) 处附着 “同一个” 线性空间, 也就是切空间 \(T_p M\), 所有这些切空间的不交并便是切丛 \(TM\). 对于一般的纤维丛而言, 基空间不一定是流形, 纤维也不一定是线性空间.
比纤维丛更一般的概念是纤维化 (fibration) , 即不要求基空间的附着物都一样, 这样就可以和代数几何中处理的奇异性问题相吻合.
纤维化是一个非常具有普适性的概念.
例子
例 0.1 (集合的纤维化) 例如对任意的集合映射 \[ f\colon A\to B, \] 我们所说的纤维 \[f ^{-1}(b):=\{a\in A : f(a)=b\}\] 指的正是纤维化里的纤维: 我们对集合 \(B\) 中的每点 \(b\) 附着一个集合 \(f^{-1}(b)\); 而平常所说的满射在这就是指每处的纤维 \(f^{-1}(b)\) 都非空. 由此可见, 纤维化给了我们一个看待映射的全新视角, 即在陪域上 “长” 出一族纤维2.
形象地说，基空间 \(B\) 就是地面, 一个打到 \(B\) 的函数就是地面上的一种地貌, 即函数决定了地面上长了些什么东西 (也就是纤维, fiber):
- 满射就是指地面上没有荒地, 每一处都长了东西 (即每点的纤维都非空)
- 单射就是在每一处要么不长东西, 要长也只长一个东西
当我们要求函数不单纯是集合意义下的函数, 而是具备一些比较好的性质时, 很显然如何定义这样的函数高度依赖于定义域与陪域本身的性质. 纤维化的观点就是告诉我们, 为方便起见, 我们可以只盯着陪域, 把函数看成是陪域上的一种生态景观, 即在栖息于其上的生灵所形成的景观. 正如一方水土养育一方生灵, 陪域本身的特性限制了一些 “野蛮” 分布方式的存在可能.
例 0.2 (线丛是纤维丛) 可以把欧式空间想象成稻田, 其上整齐生长的水稻就是该欧式空间的线丛 (line bundle); 流形上的线丛就是同样一批稻丛, 只不过生长在山地上, 随着坡面起伏. 此处的整齐正好对应了我们对 纤维丛的纤维彼此同构的要求. 而当坡面在某处的起伏过于剧烈, 水稻难以生存, 该点便有可能成为奇点: 不仅是该点处没有水稻, 生长在附近的水稻也很不同于其他地方, 甚至可能会出现一些奇观.
例 0.3 (复叠空间是纤维丛) 复叠空间 (covering space) 其实就是拓扑空间上长出的一丛3离散纤维, 即纤维是离散集合.
例 0.3 (纤维积是纤维化) 纤维积 ( fiber product) 其实也是纤维化. 具体来说就是, 在范畴里给定两个态射 \(X\to Z \leftarrow Y\), 纤维积给出的正是基于此的 “自然” 对象. 用纤维化的观点来看, \(X,Y\) 都可以看成是 \(Z\) 的纤维化, 而纤维积所做的就是两件事: 既是某种意义上的乘积, 同时也保持给定的两个纤维化的结构.
纤维丛的应用
一般来说, 纤维丛和纤维化的目的是打包空间的拓扑信息与几何信息, 毕竟数学研究的就是如何获取并分析数学对象所含有的数学信息, 以此来理解纷繁复杂的数学现象. 下面举出这一思想在各个数学领域中的应用:
- 微分流形: 许多结构都是在流形的切丛上构造的: 定向 (orientation), 活动标架 (framing), 殆复结构 (almost complex structure), 自旋结构 (spin structure) 以及黎曼度量 (Riemannian metric).
- 代数拓扑: 纤维化的同伦序列和谱序列一直是半个多世纪以来的基本工具.
- 代数几何: 一大基本问题便是理解仿射簇上代数丛 (algebraic bundle) 的代数截面 (algebraic section).
- \(K\)-理论:
- 微分拓扑: 杨-米尔斯方程.