5.1 多項式

まず,多項式について紹介する.定義を以下に述べる.

Definition 5.1 (多項式) \(f(x)\)が多項式であるとは

\[\begin{align} f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k \end{align}\]

という形で表されることをいう.ただし,\(k=0,1,2,\ldots\)とする.また\(a_k = 0\)の時,\(k\)をを多項式の次数という.

例えば,以下をグラフにしてみると

$$ \[\begin{align} f(x) &= 2x-1 \\ f(x) &= -3x^2 + 12x - 9 \\ f(x) &= x^3 - 2x^2 + 2 \end{align}\] $$ このようになる.

次数が増えると曲線が増えていくことがわかる.

5.1.1 指数の性質

次に多項式や指数関数で登場する指数,についての性質について紹介する.

::: {.theorem name=“指数の性質”

\(a,b > 0, p,q \in \mathbb R\)とする.この時以下が成り立つ.

  1. \(a^{p+q} = a^p a^q\)
  2. \((a^p)^q = a^{pq}\)
  3. \((ab)^p = a^p b^p\)
  4. \(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\)

:::

\(f(x) = a^x, a > 0, a \neq 1\)について,xを連続的に変化させると次のようになる. ここでは,関数\(2^x, (1/2)^x\)様子を図示している.