5.1 多項式
まず，多項式について紹介する．定義を以下に述べる．
Definition 5.1 (多項式) \(f(x)\)が多項式であるとは
\[\begin{align} f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_k x^k \end{align}\]
という形で表されることをいう．ただし，\(k=0,1,2,\ldots\)とする．また\(a_k = 0\)の時，\(k\)をを多項式の次数という．
例えば，以下をグラフにしてみると
$$ \[\begin{align} f(x) &= 2x-1 \\ f(x) &= -3x^2 + 12x - 9 \\ f(x) &= x^3 - 2x^2 + 2 \end{align}\] $$ このようになる．
次数が増えると曲線が増えていくことがわかる．
5.1.1 指数の性質
次に多項式や指数関数で登場する指数，についての性質について紹介する．
::: {.theorem name=“指数の性質”
\(a,b > 0, p,q \in \mathbb R\)とする．この時以下が成り立つ．
- \(a^{p+q} = a^p a^q\)
- \((a^p)^q = a^{pq}\)
- \((ab)^p = a^p b^p\)
- \(a^{-p} = \frac{1}{a^p}\)
:::
\(f(x) = a^x, a > 0, a \neq 1\)について，xを連続的に変化させると次のようになる． ここでは，関数\(2^x, (1/2)^x\)様子を図示している．
