5.2 単調増加・単調減少

常に増加し続ける,または減少し続けるような関数を,単調増加とか単調減少するという. 具体的には次のように定義される.

Definition 5.2 (単調増加・単調減少) 関数\(f(x)\)について,\({}^{\forall}x_1, x_2 (x_1 < x_2) \rightarrow f(x_1) < f(x_2)\)であるとき,\(f(x)\)を単調増加関数という. 逆に,\({}^{\forall}x_1, x_2 (x_1 < x_2) \rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)であるとき,\(f(x)\)を単調減少関数という.

関数値\(f(x)\)に等号を含める場合は,広義の単調増加(減少)という.これは,少なくとも減少(増加)はしないことを保証する. 等号を含まない上記の定義は狭義の単調増加(減少)と表現することもある.これは量はともかく必ず増加(減少)し続けることを保証する.

Definition 5.3 (逆関数) 関数\(y=f(x)\)が単調増加(減少)であるとき,\(x=g(y)\)となる関数\(g\)\(f\)の逆関数といい,\(f^{-1}\)と表す.

定義より,\(f\)の結果に対して逆関数\(f^{-1}\)を作用させれば,もとの入力\(x\)になる.すなわち,\(f\)の操作に対して逆の操作を行うという意味で \(f^{-1}\)を逆関数と呼んでいる.