5.3 指数関数・対数関数

対数関数とは,指数関数の逆関数として定義される関数である.

Definition 5.4 (対数関数) 指数関数\(f(x)=a^x, a>0,a\neq1\)の逆関数を\(\log_a x\)と表す.これを対数関数という.

後に性質として紹介するが,対数関数は積を和で表すことができ,数値計算上効率が良い.

Theorem 5.1 (対数の性質) \(a,b,x,y > 0, a,b \neq 1, z \in \mathbb R\)とする.このとき,以下の性質が成り立つ.

  1. \(\log_a a = 1\)
  2. \(\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y\)
  3. \(\log_a (x/y) = \log_a x - \log_a y\)
  4. \(\log_a (x^z) = z \log_a x\)
  5. \(\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}\)

また,対数関数は単調増加関数であり,入力の大小関係を保ったままは非常に大きな数を小さく,非常に0に小さい数を大きな負の大きな数に 変換する.もともとのデータのスケールでは扱いにくいオーダーの数値も対数をとると扱いやすくなることがある.