5.5 関数の連続性

与えられた関数\(f\)が途切れなく繋がっているかどうかというのは関数の振る舞いを知る上で大切な要素である. そのためには繋がっている,すなわち「連続している」ということがどういうことなのか,数学的に定義しておく必要がある.

Definition 5.6 (関数の連続性) 関数\(f(x)\)\[\begin{align} \lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a) \end{align}\] を満たす時,\(f(x)\)\(x=a\)で連続であるという.また,\(f(x)\)が定義されている任意の\(x\)に対して連続である時,\(f(x)\)は連続関数という.

連続関数とは,まさに途切れなく繋がっている関数であることを指している.

Exercise 5.2 (連続な関数) 次の関数が連続かどうかを検討せよ.

  1. \(f(x) = sin x\)
  2. \(f(x) = |x|\)
  3. \(x<0\)\(f(x)=-1\)\(x=0\)\(f(x)=0\)\(x>0\)\(f(x)=1\)となる関数